高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6節(jié) 正弦定理和余弦定理

1、1 / 19 第第 6 節(jié)節(jié) 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考試要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題. 知 識(shí) 梳 理 1.正、余弦定理 在abc 中，若角 a，b，c 所對(duì)的邊分別是 a，b，c，r 為abc 外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 公式 asin absin bcsin c2r a2b2c22bccos_a； b2c2a22cacos_b； c2a2b22abcos_c 常見(jiàn) 變形 (1)a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_c； (2)sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r； (3)abcsin_asin_bs

2、in_c； (4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a cos ab2c2a22bc； cos bc2a2b22ac； cos ca2b2c22ab 2.在abc 中，已知 a，b和 a時(shí)，解的情況如下： a為銳角 a為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 absin a bsin aab ab 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 無(wú)解 3.三角形常用面積公式 (1)s12a ha(ha表示 a邊上的高). (2)s12absin c12acsin b12bcsin aabc4r. 2 / 19 (3)s12r(abc)(r 為內(nèi)切圓半徑). 常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.

3、三角形中的三角函數(shù)關(guān)系 (1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)cos c； (3)sinab2cosc2；(4)cosab2sinc2. 2.三角形中的射影定理 在abc中，abcos cccos b；bacos cccos a；cbcos aacos b. 3.在abc 中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，ababsin a sin bcos asin b，則 ab.( ) (3)在abc的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.( ) (4)當(dāng) b2c2a20 時(shí)，abc 為銳角三角形；當(dāng) b2c2a20 時(shí)，abc 為直角三角形；當(dāng) b2c2a20 時(shí)，abc不一

4、定為銳角三角形. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第二冊(cè) p44 例 6 改編)在abc 中，a2，b3，c4，則 cos b( ) a.1116 b.1316 c.1114 d.1314 解析 由余弦定理知 cos b2242322241116. 答案 a 3 / 19 3.(老教材必修 5p10b2 改編)在abc中，acos abcos b，則這個(gè)三角形的形狀為_(kāi). 解析 由正弦定理，得 sin acos asin bcos b， 即 sin 2asin 2b，所以 2a2b或 2a2b， 即 ab或 ab2， 所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三

5、角形或直角三角形 4.(2019 濰坊二模)若abc的內(nèi)角 a，b，c所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 bsin 2aasin b，且 c2b，則ab等于( ) a.32 b.43 c. 2 d. 3 解析 由 bsin 2aasin b，及正弦定理得 2sin bsin acos asin asin b，得 cos a12.又 c2b，所以由余弦定理得 a2b2c22bccos ab24b24b2123b2，得ab 3.故選 d. 答案 d 5.(2018 全國(guó)卷)在abc中，cos c255，bc1，ac5，則 ab( ) a.4 2 b. 30 c. 29 d.2 5 解析 由題意得 c

6、os c2cos2 c212552135. 在abc 中，由余弦定理得 ab2ac2bc22acbccos c52122513532， 所以 ab4 2. 答案 a 6.(2017 浙江卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率 ，理論上能把 的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將 的值精確4 / 19 到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積 s6，s6_. 解析 作出單位圓的內(nèi)接正六邊形，如圖，則 oaobab1， s661212sin 60 3 32. 答案 3 32 考點(diǎn)一 利用正、余弦定理解三角形 【例 1】 (

7、1)(2019 青島二模)在abc中，內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別為 a，b，c.若 2cos2ab2cos 2c1，4sin b3sin a，ab1，則 c 的值為( ) a. 13 b. 7 c. 37 d.6 (2)(2020 衡水模擬)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且有 a1， 3sin acos c( 3sin cb)cos a0，則 a_. 解析 (1)由 2cos2ab2cos 2c1， 可得 2cos2ab21cos 2c0， 則有 cos 2ccos c0，即 2cos2ccos c10， 解得 cos c12或 cos c1(舍)， 由 4sin

8、b3sin a，得 4b3a， 又 ab1， 聯(lián)立，得 a4，b3， 所以 c2a2b22abcos c1691213，則 c 13. (2)由 3sin acos c( 3sin cb)cos a0， 得 3sin acos c 3sin ccos abcos a， 所以 3sin(ac)bcos a，即 3sin bbcos a， 又asin absin b，所以3cos absin basin a， 5 / 19 從而sin acos a13tan a33， 又因?yàn)?0a，所以 a56. 答案 (1)a (2)56 規(guī)律方法 利用正弦定理可解決以下兩類三角形問(wèn)題：一是已知兩角和一角的對(duì)邊

9、，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷). 利用余弦定理可解決以下兩類三角形問(wèn)題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個(gè)角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的. 【訓(xùn)練 1】 (1)在abc 中，已知 a2，b 6，a45 ，則滿足條件的三角形有( ) a.1個(gè) b.2個(gè) c.0個(gè) d.無(wú)法確定 (2)(2020 沈陽(yáng)質(zhì)檢)在abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且 sin c2sin ccos bsin a，c0，2，a 6，cos b13，則

10、b_. 解析 (1)bsin a 622 3，bsin aab. 滿足條件的三角形有 2個(gè). (2)由正弦定理及題意可得 c2c13a，即 a53c，又 a 6，所以 c3 65，由余弦定理得 b2a2c22accos b6542512514425，所以 b125. 答案 (1)b (2)125 考點(diǎn)二 判斷三角形的形狀 【例 2】 (1)(一題多解)在abc 中，a，b，c 分別為角 a，b，c 所對(duì)的邊，若a2bcos c，則此三角形一定是( ) a.等腰直角三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形 6 / 19 d.等腰三角形或直角三角形 (2)(多選題)下列命題中，正確的是( ) a.在

11、abc 中，若 ab，則 sin asin b b.在銳角三角形 abc 中，不等式 sin acos b恒成立 c.在abc 中，若 acos abcos b，則abc 必是等腰直角三角形 d.在abc 中，若 b60 ，b2ac，則abc必是等邊三角形 解析 (1)法一 由余弦定理可得 a2ba2b2c22ab， 因此 a2a2b2c2，得 b2c2，于是 bc， 從而abc 為等腰三角形. 法二 由正弦定理可得 sin a2sin bcos c， 因此 sin(bc)2sin bcos c， 即 sin bcos ccos bsin c2sin bcos c，于是 sin(bc)0，因此

12、 bc0，即bc， 故abc為等腰三角形. (2)對(duì)于 a，在abc 中，由正弦定理可得asin absin b，所以 sin asin babab，故 a 正確；對(duì)于 b，在銳角三角形 abc 中，a，b0，2，且 ab2，則2a2b0，所以 sin asin2b cos b，故 b正確；對(duì)于 c，在abc中，由 acos abcos b，利用正弦定理可得 sin 2asin 2b，得到 2a2b 或 2a2b，故 ab 或 a2b，即abc 是等腰三角形或直角三角形，故 c 錯(cuò)誤；對(duì)于 d，在abc 中，若 b60 ，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos b，所以 aca2c

13、2ac，即(ac)20，解得 ac.又 b60 ，所以abc必是等邊三角形，故 d正確.故選 abd. 答案 (1)c (2)abd 規(guī)律方法 1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁. 2.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有7 / 19 漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制. 【訓(xùn)練 2】 (1)在abc中，角 a，b，c所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若cbcos a，則abc為( ) a.鈍角三角形 b.直角三角形 c.銳角三

14、角形 d.等邊三角形 (2)設(shè)abc的內(nèi)角 a，b，c所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 bcos cccos b asin a，則abc的形狀為( ) a.銳角三角形 b.直角三角形 c.鈍角三角形 d.不確定 解析 (1)由cbcos a，得sin csin b0， 所以 sin csin bcos a， 即 sin(ab)sin bcos a， 所以 sin acos b0，所以 cos b0，sin a1，即 a2， abc為直角三角形. 答案 (1)a (2)b 考點(diǎn)三 和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 【例 3】 (2019 全國(guó)卷)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知as

15、in ac2bsin a. (1)求 b； (2)若abc為銳角三角形，且 c1，求abc面積的取值范圍. 解 (1)由題設(shè)及正弦定理得 sin asinac2sin bsin a. 8 / 19 因?yàn)?sin a0，所以 sinac2sin b. 由 abc180 ，可得 sinac2cosb2， 故 cosb22sinb2cosb2. 因?yàn)?cosb20，所以 sinb212，所以 b60 . (2)由題設(shè)及(1)知abc的面積 sabc34a. 由(1)知 ac120 ， 由正弦定理得 acsin asin csin（120 c）sin c32tan c12. 由于abc 為銳角三角形，

16、故 0 a90 ，0 c90 . 結(jié)合 ac120 ，得 30 c90 ， 所以12a2，從而38sabc32. 因此，abc面積的取值范圍是38，32. 規(guī)律方法 與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量. 【訓(xùn)練 3】 (2019 德州二模)已知abc 內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且 b2c2a2c(acos cccos a). (1)求角 a的大??； (2)若abc的面積為4 33，且 a3，求abc 的周長(zhǎng). 解 (1)b2c2a

17、2c(acos cccos a)可化為 b2c2a2ca2b2c22bb2c2a22b， 即得b2c2a2bc1，所以b2c2a22bc12， 所以 cos a12. 9 / 19 又因?yàn)?a為abc的內(nèi)角，所以 a60 . (2)根據(jù)題意，得 sabc12bcsin a12bc324 33， 所以 bc163. 由余弦定理得 a2b2c22bccos a (bc)22bc2bccos 60 (bc)23bc(bc)2169. 解得 bc5， 所以abc 的周長(zhǎng)為 abc8. 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算二級(jí)結(jié)論之射影定理的活用賞析 設(shè)abc 的三邊是 a，b，c，它們所對(duì)的角分別是 a，b，c，則有：

18、abcos cccos b；bccos aacos c；cacos bbcos a. 注：以“abcos cccos b”為例，b，c 在 a 上的射影分別為 bcos c，ccos b，故名射影定理. 證明 如圖，在abc 中，adbc， 則 bcos ccd，ccos bbd， 故 bcos cccos bcdbdbca， 即 abcos cccos b， 同理可證 bccos aacos c， cacos bbcos a. 【例 1】 (2017 山東卷)在abc 中，角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若abc為銳角三角形，且滿足 sin b(12cos c)2sin acos

19、ccos a sin c，則下列等式成立的是( ) a.a2b b.b2a c.a2b d.b2a 通性通法 法一 因?yàn)?sin b(12cos c)2sin acos ccos asin c，所以 sin b2sin bcos csin acos csin(ac)，所以 sin b2sin bcos csin acos c sin b， 即 cos c(2sin bsin a)0， 10 / 19 所以 cos c0或 2sin bsin a， 即 c90 或 2ba， 又abc為銳角三角形，所以 0 cc2，故 2ba，故選 a. 應(yīng)用示范 由正弦定理及 sin b(12cos c)2si

20、n acos ccos asin c 得 b2bcos c2acos cccos aacos c(acos cccos a)acos cb，即 2bcos cacos c，又因?yàn)閍bc為銳角三角形，所以 cos c0，則 2ba. 答案 a 【例 2】 (2017 全國(guó)卷)abc的內(nèi)角 a，b，c的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 2bcos bacos cccos a，則 b_. 通性通法 依題意得 2ba2c2b22acaa2b2c22abcb2c2a22bc，即 a2c2b2ac，所以 2accos bac0，cos b12.又 0b，所以 b3. 應(yīng)用示范 由射影定理得 acos cccos

21、 ab， 又 2bcos bacos cccos a，則 2bcos bb，即 cos b12， 又 b(0，)，故 b3. 答案 3 思維升華 射影定理和正、余弦定理一樣實(shí)現(xiàn)了邊角之間的轉(zhuǎn)換，運(yùn)用射影定11 / 19 理整體代入，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程，取得了事半功倍的神奇效果. 12 / 19 a級(jí) 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 a 5，c2，cos a23，則 b( ) a. 2 b. 3 c.2 d.3 解析 由余弦定理，得 5b2222b223，解得 b3b13舍去 . 答案 d 2.(2020 唐山一模)在abc 中，角 a，b，

22、c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，a2，b3，c4，設(shè) ab邊上的高為 h，則 h( ) a.152 b.112 c.3 154 d.3 158 解析 由余弦定理，得 cos ab2c2a22bc9164234212478，則 sin a1cos2a149641564158， 則 hacsin absin a31583 158，故選 d. 答案 d 3.(2019 廈門(mén)一模)在abc中，cos b14，b2，sin c2sin a，則abc的面積等于( ) a.14 b.12 c.32 d.154 解析 由正弦定理及 sin c2sin a得 c2a，由余弦定理得 b2a2c22ac cos ba

23、24a22a 2a144a24，解得 a1，可得 c2，所以abc 的面積為 s12acsin b12121142154. 答案 d 4.在abc 中，cos2b2ac2c(a，b，c 分別為角 a，b，c 的對(duì)邊)，則abc 的13 / 19 形狀為( ) a.等邊三角形 b.直角三角形 c.等腰三角形或直角三角形 d.等腰直角三角形 解析 因?yàn)?cos2b2ac2c， 所以 2cos2b21acc1，所以 cos bac， 即a2c2b22acac，所以 c2a2b2. 所以abc 為直角三角形. 答案 b 5.(2019 武漢調(diào)研)在abc 中，角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.

24、已知 a 3b，ab2，則角 c( ) a.12 b.6 c.4 d.3 解析 由題意得 ab2，所以 sin asinb2cos b，又 a 3b，所以由正弦定理得 sin a 3sin b，故 cos b 3sin b，所以 tan b33，因?yàn)?b(0，)，所以 b6，所以 c6266. 答案 b 二、填空題 6.(多填題)(2018 浙江卷)在abc中，角 a，b，c所對(duì)的邊分別為 a，b，c.若 a 7，b2，a60 ，則 sin b_，c_. 解析 由正弦定理，得 sin bbasin a217， 又 a2b2c22bccos a， c22c30，解得 c3(c1舍去). 答案 2

25、17 3 14 / 19 7.(2019 全國(guó)卷)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若 b6，a2c，b3，則abc的面積為_(kāi). 解析 由余弦定理 b2a2c22accos b， 得 364c2c222c212， 解得 c2 3，所以 a4 3， 所以 sabc12acsin b124 32 3326 3. 答案 6 3 8.(2020 西安質(zhì)檢)在銳角abc 中，角 a，b，c 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若cos b13，b4，sabc4 2，則abc的周長(zhǎng)為_(kāi). 解析 由 cos b13，得 sin b2 23，由三角形面積公式可得12acsin b12ac2 234

26、 2，則 ac12， 由 b2a2c22accos b，可得 16a2c221213，則 a2c224， 聯(lián)立可得 ac2 3，所以abc的周長(zhǎng)為 4 34. 答案 4 34 三、解答題 9.(2018 北京卷)在abc中，a7，b8，cos b17. (1)求 a； (2)求 ac邊上的高. 解 (1)在abc中，因?yàn)?cos b17， 所以 sin b 1cos2b4 37. 由正弦定理得 sin aasin bb32. 由題設(shè)知2b，所以 0a2. 15 / 19 所以 a3. (2)在abc中， 因?yàn)?sin csin(ab)sin acos bcos asin b3 314， 所以

27、ac邊上的高為 asin c73 3143 32. 10.(開(kāi)放題)在abc 中，a2 3，b6，_，求abc 的周長(zhǎng) l 及面積sabc. 在a30 ，c30 ，b60 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并對(duì)其進(jìn)行求解. 注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分. 解 選條件：a2 3，b6，ab，a30 90 ， 又因?yàn)?bsin a6sin 30 3，bsin aaa，ba，0 b180 ， 所以 b60 或 120 ， 當(dāng) b60 時(shí)，c90 ，c a2b24 3， labc2 364 366 3， sabc12ab6 3； 當(dāng) b120 時(shí)，c30 ，ca2 3， labc

28、64 3， sabc12absin c122 36sin 30 3 3. 選條件：a2 3，b6，c30 ， 由余弦定理，得 c2a2b22abcos c123622 363212，c2 3， 則 labc64 3， 16 / 19 sabc12absin c3 3. 選條件：a2 3，b6，ab，b60 ， ab，又由正弦定理，得 sin aasin bb2 3sin 60612， a30 ，c90 ，c a2b24 3， labc66 3， sabc12ab6 3. b級(jí) 能力提升 11.(2020 郴州一模)在abc 中，角 a，b，c 的對(duì)邊分別為 a，b，c，且 b2c2 3bca2

29、，bc 3a2，則角 c的大小是( ) a.6或23 b.3 c.23 d.6 解析 由 b2c2 3bca2，得 b2c2a2 3bc， 則 cos ab2c2a22bc3bc2bc32， 因?yàn)?0a，所以 a6， 由 bc 3a2及正弦定理， 得 sin bsin c 3sin2a 31434， 即 4sin(ca)sin c 3， 即 4sin(ca)sin c4sinc6sin c 3， 整理得 3cos 2csin 2c，則 tan 2c 3，又 02c53， 即 2c3或43，即 c6或23. 答案 a 12.(2020 東營(yíng)模擬)在abc 中，三個(gè)內(nèi)角 a，b，c 的對(duì)邊分別為

30、a，b，c，若17 / 19 12bsin c cos asin acos c，且 a2 3，則abc面積的最大值為_(kāi). 解析 因?yàn)?2bsin c cos asin acos c， 所以12bcos asin ccos asin acos c， 所以12bcos asin(ac)，所以12bcos asin b， 所以cos a2sin bb， 又sin bbsin aa，a2 3， 所以cos a2sin a2 3，得 tan a 3， 又 a(0，)，則 a3， 由余弦定理得(2 3)2b2c22bc12b2c2bc2bcbcbc， 即 bc12，當(dāng)且僅當(dāng) bc2 3時(shí)取等號(hào)， 從而abc 面積的最大值為1212323 3. 答案 3 3 13.(多填題)(2019 浙江卷)在abc 中，abc90 ，ab4，bc3，點(diǎn) d 在線段 ac上.若bdc45 ，則 bd_，cosabd_. 解析 如圖，易知 sin c45， cos c35. 在bdc 中，由正弦定理可得 bdsin cbcsin bdc， bdbc sin csin bdc3452212 25. 由abcabdcbd90 ， 18 / 19 可得 cos abdcos(90 cbd)sin cbd sin(cbdc) sin(cbdc) sin c cos bdccos c si