重積分的計(jì)算及應(yīng)用

1、習(xí)題課習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法一、重積分計(jì)算的基本方法 二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧 三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用 重積分的 計(jì)算 及應(yīng)用 一、重積分計(jì)算的基本方法一、重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面使積分域多為坐標(biāo)面(線(xiàn)線(xiàn))圍成圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少積分域分塊要少, 累次積分易算為妙累次積分易算為妙 .圖示法圖示法列不等式法列不等式法(從內(nèi)到外從內(nèi)到外: 面、線(xiàn)、點(diǎn)面、線(xiàn)、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法掌握確定

2、積分限的方法 累次積分法累次積分法例例1.1.計(jì)算積分計(jì)算積分, ,) )( ( ddyx 其中其中d 由由,22xy 12,4yxyx所圍成所圍成 .提示提示: :如圖所示如圖所示xy224246oyx,12ddd 內(nèi)有定義且在2),(dyxyxfdyxd)(2d)(dyx1d)(dyx連續(xù)連續(xù), ,所以所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431d2dd例例2.解解圍成圍成由由其中其中計(jì)算計(jì)算2122 xxyxyddyxd, , ,. . dyxd22dxyxxx1212 213)(dxxx.49 . ,1, 21 :xyxxdd 是是 x型。型。ox

3、yxy 22 xxy1 1 xxdyyxdx12221解解: dddyxdd 22例例3. . ) )coscos( ( . . ）所圍的面積（取圓外部所圍的面積（取圓外部線(xiàn)線(xiàn)和心形和心形是由圓是由圓其中其中計(jì)算計(jì)算 122aaddyxd在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域 d 可表示為可表示為 ) )coscos( ( 122aaddoaa2a2 2 ).).coscos( ( 1aa,22 22331)cos1(31 da).2922(3 a例例 4. 計(jì)算計(jì)算,ddd12zyxxyi所圍成所圍成. 其中其中 由由1,1,12222yzxzxy分析：若用分析：若用“先二后一先二后一”,

4、 則有則有zxxyyiyddd1d201zxxyyyddd1d210計(jì)算較繁計(jì)算較繁! 采用采用“三次積分三次積分”較好較好.1zxy1o1:4528 1122yzx2211xzx11xxxid1211zxxd2211yyzxd11221, 1,1222yzxzxy由所圍所圍, 故可故可 思考思考: 若被積函數(shù)為若被積函數(shù)為 f ( y ) 時(shí)時(shí), 如何計(jì)算簡(jiǎn)便如何計(jì)算簡(jiǎn)便? 表為表為 解解:1zxy1o12 (3). 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,d222dyxr其中其中d 為圓周為圓周xryx22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo)cosr原式原式cosdrr0222

5、033d)sin1(32r)34(313rydr xo:dcosr02222dp182練習(xí)練習(xí)p182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3)7. 把積分把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分化為三次積分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)榉e分域?yàn)?原式原式220d),(yxzzyxf及平面及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .xyzp183zd1zd28 (1) .計(jì)算積分計(jì)算積分2222rzyxzrzyx2222及,ddd2zyxz其中其中 是是兩個(gè)球兩個(gè)球 ( r 0 )的公共部分的公共部分.提示

6、提示: 由于被積函數(shù)缺由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式原式 =zdyx1ddzzzrzrd)2(2022利用利用“先二后一先二后一” 計(jì)算方計(jì)算方便便 .zzrd202zdyx2ddzzrrd22zzrzrrd)(2222548059rrzyxo2rp1838 (3).計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,d)(22vzy其中其中 是由是由 xoy平面上曲線(xiàn)平面上曲線(xiàn)xy22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)利用柱坐標(biāo)sincoszyxx原式原式522xd繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 x10020d100320d3250:zxyo5p1835x二、重

7、積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法分塊積分法利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性1. 交換積分順序的方法交換積分順序的方法2. 利用對(duì)稱(chēng)性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算利用對(duì)稱(chēng)性或重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3. 消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)例例5.5.改變下列二次積分的積分次序：改變下列二次積分的積分次序：; ),( )1(2121dyyxfdxx . ),( )2(221110dxyxfdyyy 解解 (1) (1) 積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?.1, 21 :2xyxd . 41, 2 :yxyd 2121 ),( xdyyxfdx d),( dyxf. ),( 241 ydxyxfdy將將 d 向

8、向 y 軸投影。軸投影。oxy1212xy 4積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)?. 10 ,11 :22yyxyd .10, 11 :2xyxd將將 d 向向 x 軸投影軸投影,. ),( )2(221110dxyxfdyyy xy11o1 122 yx dxyxfdyyy ),(221110. ),( 21011 xdyyxfdx d),( dyxfxysinxyo2例例6. 1d),(dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyixyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如圖所示如圖所示交換下列二次積分的順

9、序交換下列二次積分的順序:xyyxfxisin020d),(d1d2d2d),(dyxf解解:xyz解解1d2d 101002dyzyxfdzdxx) ), , ,( (原式原式 10021xxzd : : 101222xxzxd : :時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 y時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)12 yxz練習(xí)練習(xí):. . ) ), ,( ( d d化為二次積分化為二次積分將將 dyxf ; ; , , , , ) )( (圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域由直線(xiàn)由直線(xiàn)1111 yxyxy; ; , , ) )( (圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域由拋物線(xiàn)由拋物線(xiàn)2212xyxy . . , , , , ) )( (圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域由由

10、024322 xxxyxy. . ) )( (224xxyx 閉區(qū)域閉區(qū)域解解 (1)d 是是 y型。型。將將 d 向向 y 軸投影。軸投影。 . 10,11 :yyxyd dxdyyxf ),(ddxyxfyy ),(11 10 dyoxy121xy 11 xyoxy11 121xy 2xy 求交點(diǎn)：求交點(diǎn)： .1,22xyxy; ; , , ) )( (圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域由拋物線(xiàn)由拋物線(xiàn)2212xyxy 于是，于是， .1 ,2222 :22xyxxdd 是是 x型。型。將將 d 向向 x 軸投影。軸投影。得得).21 ,22( )21 ,22(， dxdyyxf ),(ddyyxf

11、xx ),(221 2222 dx2222 oxy1222xxy 24xy 2在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域d 可表示為可表示為. .coscos22 ,20 d ),( dyxf dddf ) )sinsin , ,coscos( (. . ) )sinsin , ,coscos( (coscos 2220 dfdoa coscos2 2 . . , , , , ) )( (圍成的閉區(qū)域圍成的閉區(qū)域由由024322 xxxyxyoa c co os s2 xy1122xxy xy 2o在極坐標(biāo)系中，在極坐標(biāo)系中，d 可表示為可表示為. .coscos 20 ,24 d ),( dy

12、xf dddf ) )sinsin , ,coscos( (. . ) )sinsin , ,coscos( (coscos 2024dfd. . ) )( (224xxyx 閉區(qū)域閉區(qū)域xyo d設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfd 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為d1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(dyxf0d),(dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng), 函數(shù)關(guān)于變量函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí)有奇偶性時(shí), 仍仍1d在在 d 上上d),(21dyxf在閉區(qū)域上連續(xù)在閉區(qū)域上連續(xù), 域域d 關(guān)于關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),則則則則有類(lèi)似結(jié)果有

13、類(lèi)似結(jié)果.在第一象限部分在第一象限部分, 則有則有1:,221 yxdd 為圓域如dyxyxdd)(22dyxyxdd)(1dd)(422dyxyx0重積分中對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用重積分中對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用例例8. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分, ,d dd d) )( (yxeyxxiyxd222 其中其中:(1) d為圓域?yàn)閳A域; 122 yx(2) d由直線(xiàn)由直線(xiàn)1,1,xyxy解解: (1) 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性.yox1dyxxidd dd d 202122 yxyxdd dd d) )( ( 1032021 d dd d4yxeyxdyxd dd d 22圍成圍成 .yxeyxdyxdd122(2)

14、積分域如圖積分域如圖:o1yx11d2dxyxy , xy將將d 分為分為,21ddyxxiddd2yxeyxdyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線(xiàn)添加輔助線(xiàn)利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性 , 得得111 xyo例例9. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyid,dd)22()2(22yxxyyxid122 yx在第一象限部分在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, dd兩部分兩部分, 則則1dddyxi1112ddxyx322d2dddyx2011ddxyx1011:yxd，其中其中d 為圓域?yàn)閳A域把與把與d 分成分成1d作輔助線(xiàn)作輔助線(xiàn)xy1o1xy (

15、2) 提示提示: 21, dd兩部分兩部分 1dyxyxddd)(22yxyxddd)2(說(shuō)明說(shuō)明: 若不用對(duì)稱(chēng)性若不用對(duì)稱(chēng)性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào)需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào). xy 作輔助線(xiàn)作輔助線(xiàn)2d將將d 分成分成dyxdd2yxxyyxiddd)22(222) 12(32例例10. 證明證明:, 2d)cossin(122dyx其中其中d 為為.10, 10yx解解: 利用題中利用題中 x , y 位置的對(duì)稱(chēng)性位置的對(duì)稱(chēng)性, 有有d)cossin(22dyxd)cossin(d)cossin(222221ddxyyxd)cossin(d)cossin(222221ddyyxxd

16、)cossin(22dxxd)sin(242dx,1)sin(,1042212xx又又 d 的面積為的面積為 1 , 故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .yox1d1例例11. 計(jì)算計(jì)算,ddd)sin5(2222zyxyxxyxi其中其中.4, 1),(2122圍成由zzyxz解解:zyxxiddd2利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性zyxyxddd)(2122yxyxzzddd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zdzyxyxyxdddsin52220zoxy2例例12 設(shè)設(shè) 由錐面由錐面22yxz和球面和球面4222zyx所圍成所圍成 , 計(jì)算計(jì)算.d)(vzyxi2提示提示:4利用

17、對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性vzyxd)(222vzxzyyxzyxid)(222222用球坐標(biāo)用球坐標(biāo) rr d420dsin4020d221564例例13. 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分,dd)35(dyxyx其中其中d 是由曲是由曲044222yxyx所圍成的平面域所圍成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐標(biāo)為其形心坐標(biāo)為:面積為面積為:9adyxxidd5923) 1(5adyxydd3積分區(qū)域積分區(qū)域線(xiàn)線(xiàn)質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)2,1yxdyxxaxdd1dyxyaydd1ayax35axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d證明證明: :提示提示: 左端積分區(qū)

18、域如圖左端積分區(qū)域如圖,doyxxy a交換積分順序即可證得交換積分順序即可證得.p182 4.練習(xí)題練習(xí)題 p182 1; p182 4, 11r11. 在均勻的半徑為在均勻的半徑為r的圓形薄片的直徑上的圓形薄片的直徑上 , 要接上一要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,使整個(gè)使整個(gè)的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?22xryboryx提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.,0y由對(duì)稱(chēng)性知由對(duì)稱(chēng)性知dyxydd022ddxrbrryyx2332brr 由此解得由此解得rb32問(wèn)接上去的均勻矩形薄片問(wèn)接上去的均勻矩形薄片即有即有d

19、薄片的重心恰好落在圓心上薄片的重心恰好落在圓心上 ,?b三、重積分的應(yīng)用三、重積分的應(yīng)用1. 幾何方面幾何方面面積面積 ( 平面域或曲面域平面域或曲面域 ) , 體積體積 , 形心形心質(zhì)量質(zhì)量, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 質(zhì)心質(zhì)心, 引力引力 證明某些結(jié)論等證明某些結(jié)論等 2. 物理方面物理方面3. 其它方面其它方面例例4.4. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為r 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzrro解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222ryx利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxr

20、vddd822220dxryxxrrd)(80223316r222rzx22xrz 00:),(22rxxrydyxxxrrd8022222ryx222rzxd利用利用“先二后一先二后一”計(jì)計(jì)算算.zyxvdddzdcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxdz例例15. 試計(jì)算橢球體試計(jì)算橢球體1222222czbyax的體積的體積 v.解解解解 zyxzyx3422222求交線(xiàn)：求交線(xiàn)：xyzo將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxd . 1, 322zyxox3 或或 . ., , : : 3020 d dxdydzzi

21、.413 xyzo 23242030 zdzdd. .2243 z即即過(guò)過(guò) (, )d 做平行于做平行于 z 軸軸的直線(xiàn)，得的直線(xiàn)，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r . ., , : : 3020 d dzddz . ., ,sinsin, ,coscoszzyx , , dzdddv 例例17.17.，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfddd)()(222baab利用yxyfxfddd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxad:= 右端右端ydyfba)(2例例18.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffcuf，求)(1lim40tftt)(tf解解: 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下trrrftf02020d)