2011年上海徐匯(金山)區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)(理科)二模試卷

1、2010學(xué)年第二學(xué)期徐匯（金山）區(qū)高三質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（理科試卷）（考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分） 2011.4一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分。1、函數(shù)的反函數(shù) 。2、設(shè)集合，若，則 。3、若事件與相互獨(dú)立，且，則 。4、系數(shù)矩陣為，且解為的一個(gè)線性方程組是 。5、在中，分別是角所對(duì)的邊，且，則角的大小為 。6、已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為，則原點(diǎn)到直線的距離為 。7、在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是15，則 。8、一個(gè)袋子里裝有外形和質(zhì)地一樣的5個(gè)白球、3個(gè)綠球、2個(gè)紅球，將它們充分混合后，摸得一個(gè)白

2、球記1分，摸得一個(gè)綠球記2分，摸得一個(gè)紅球記4分，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)摸得一個(gè)球的得分，則隨機(jī)變量的均值為 。9、在一個(gè)水平放置的底面半徑為cm的圓柱形量杯中裝有適量的水，現(xiàn)放入一個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球，球完全浸沒(méi)于水中且無(wú)水溢出，若水面高度恰好上升cm，則_cm10、若雙曲線的漸近線方程為，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。11、設(shè)為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。 12、方程所表示的曲線與直線有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。13、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)。定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為。已知，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 。14、設(shè)函數(shù)

3、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)，向量與向量的夾角為，則滿足的最大整數(shù)的值為 。二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分。15、極坐標(biāo)方程表示的曲線是（ ）（a）圓 （b）橢圓 （c）雙曲線 （d）拋物線 16、設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ）（a）充分不必要條件 （b）必要不充分條件（c）充分必要條件 （d）既不充分又不必要條件17、函數(shù)的圖象按向量平移后的函數(shù)解析式為。當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，向量可以等于（ ）（a） （b） （c） （d）18、設(shè)非空集合滿足：當(dāng)時(shí)，

4、有，給出如下三個(gè)命題：若則；若則；若則其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）（a）0個(gè) （b）1個(gè) （c）2個(gè) （d）3個(gè)三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19、（本題滿分12分）第（1）小題滿分5分，第（2）小題滿分7分。關(guān)于的不等式的解集為。（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）若，且為純虛數(shù)，求的值。20、（本題滿分14分）第（1）小題滿分7分，第（2）小題滿分7分。（第20題）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，為圓的直徑，圓柱的表面積為，。（1） 求異面直線與所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）求點(diǎn)到平面的距離。21、（本題滿分14

5、分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分。如圖1，是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過(guò)棧橋上某點(diǎn)分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺(tái)。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線段的方程是，曲線段的方程是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，記。（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度）（1）求的取值范圍；（2）試寫出三角形觀光平臺(tái)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值。圖2圖122、（本題滿分16分）第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。定義：由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)

6、組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”。如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比。已知橢圓。（1） 若橢圓，判斷與是否相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2） 寫出與橢圓相似且短半軸長(zhǎng)為的橢圓的方程；若在橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（3） 如圖：直線與兩個(gè)“相似橢圓”和分別交于點(diǎn)和點(diǎn)， 試在橢圓和橢圓上分別作出點(diǎn)和點(diǎn)（非橢圓頂點(diǎn)），使和組成以為相似比的兩個(gè)相似三角形，寫出具體作法。（不必證明）23、（本題滿分18分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分6分，第（3）小題滿分6分。設(shè)等比數(shù)列

7、的首項(xiàng)為，公比為為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項(xiàng)；數(shù)列滿足。（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；（3） 當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在和之間插入個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列。設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)。2010學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué) 習(xí) 能 力 診 斷 卷 理科試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（2011.4）一 填空題：1 2 3 4. 5.和 61 7 81.9 9 10 11 12 13 4 143 二選擇題： 15a 16c 17b 18d三解答題:19解：（1）原不等式等價(jià)于，即 -3分由題意得， 解得， -5分（2）， -7分若為純虛數(shù)

8、，則，即 -9分所以- 12分20解：（1）解：以為原點(diǎn)，分別以，為，軸的正向，并以的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意，解得. -2分 易得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，.得， -4分設(shè)與的夾角為，異面直線 與所成的角為，則，得，-6分即異面直線 與所成角的大小為.-7分（2）設(shè)平面的法向量為，則，-10分取，得平面的一個(gè)法向量為，且，所以點(diǎn)到平面的距離。-14分21解：（1）由題意，得在線段cd：上，即， 又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)m要分別修建與oa、ob平行的棧橋mg、mk， 所以 -2分 -4分所以的取值范圍是。 -6分 （2）由題意，得 所以-8分則，-10分因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減-12分所以當(dāng)時(shí)，三角

9、形觀光平臺(tái)的面積取最小值為225平方米-14分22解：（1）橢圓與相似。-2分因?yàn)闄E圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為-4分（2）橢圓的方程為：-6分設(shè)，點(diǎn)，中點(diǎn)為，則，所以則 -8分因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上，所以有，-9分即直線的方程為：，由題意可知，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以，即-10分（3）作法1：過(guò)原點(diǎn)作直線，交橢圓和橢圓于點(diǎn)和點(diǎn)，則和即為所求相似三角形，且相似比為。-16分作法2：過(guò)點(diǎn)a、點(diǎn)c分別做軸（或軸）的垂線，交橢圓和橢圓于點(diǎn)和點(diǎn)，則和即為所求相似三角形，且相似比為。-16分23解： （1）由題意，則，解得或因?yàn)闉檎麛?shù)，所以， -3分又，所以-6分（2）當(dāng)時(shí)，得，同理：時(shí)，得；時(shí)，得，則由，得。-8分而當(dāng)時(shí)，得。