2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）

1、2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）設(shè)集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D62（5分）=（）A8B8C8iD8i3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D14（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)椋ǎ〢（1，1）BC（1，0）D5（5分）函數(shù)f（x）=log2（1+）（x0）的反函數(shù)f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）6

2、（5分）已知數(shù)列an滿(mǎn)足3an+1+an=0，a2=，則an的前10項(xiàng)和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）7（5分）（1+x）3（1+y）4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是（）A5B8C12D188（5分）橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）ABCD9（5分）若函數(shù)f（x）=x2+ax+是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD11（5分）已知拋物線C：

3、y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，2），過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則k=（）ABCD212（5分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（）Ay=f（x）的圖象關(guān)于（，0）中心對(duì)稱(chēng)BCDf（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）已知是第三象限角，sin=，則cot= 14（5分）6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有 種（用數(shù)字作答）15（5分）記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球O的半徑，則球

4、O的表面積等于 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（10分）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)式18（12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90°，BC=2AD，PAB與PAD都是等邊三角形（）證明：PBCD；（）求二面角APDC的大小20（12分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方

5、獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判（）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望21（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為（I）求a，b；（II）設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列22（12分）已知函數(shù)（I）若x0時(shí)，f（x）0，求的最小值；（II）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)an=1+2013年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每

6、小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）設(shè)集合A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，則M中元素的個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D6【分析】利用已知條件，直接求出a+b，利用集合元素互異求出M中元素的個(gè)數(shù)即可【解答】解：因?yàn)榧螦=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，所以a+b的值可能為：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8共4個(gè)故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合中元素個(gè)數(shù)的最值，集合中元素的互異性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力2（5分）=（）A8B8C8iD8i【分析】復(fù)數(shù)分子

7、、分母同乘8，利用1的立方虛根的性質(zhì)（），化簡(jiǎn)即可【解答】解：故選：A【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題3（5分）已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（+）（），則=（）A4B3C2D1【分析】利用向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出【解答】解：，=（2+3，3），=0，（2+3）3=0，解得=3故選：B【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的運(yùn)算法則、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵4（5分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)椋ǎ〢（1，1）BC（1，0）D【分析】原函數(shù)的定義域，即為2x+1的范圍，解不等式組即可得解【解答】解：原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，0）

8、，12x+10，解得1x則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)楣蔬x：B【點(diǎn)評(píng)】考查復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，注意變量范圍的轉(zhuǎn)化，屬簡(jiǎn)單題5（5分）函數(shù)f（x）=log2（1+）（x0）的反函數(shù)f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）【分析】把y看作常數(shù)，求出x：x=，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)注意反函數(shù)的定義域【解答】解：設(shè)y=log2（1+），把y看作常數(shù)，求出x：1+=2y，x=，其中y0，x，y互換，得到y(tǒng)=log2（1+）的反函數(shù)：y=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化6（5分）已知數(shù)列an滿(mǎn)足3an+1

9、+an=0，a2=，則an的前10項(xiàng)和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【分析】由已知可知，數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求a1，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0數(shù)列an是以為公比的等比數(shù)列a1=4由等比數(shù)列的求和公式可得，S10=3（1310）故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題7（5分）（1+x）3（1+y）4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是（）A5B8C12D18【分析】由題意知利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2，寫(xiě)出出展開(kāi)式中x2的系數(shù)，第二個(gè)因式y(tǒng)2的系數(shù)，

10、即可得到結(jié)果【解答】解：（x+1）3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C3rxr令r=2得到展開(kāi)式中x2的系數(shù)是C32=3，（1+y）4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C4ryr令r=2得到展開(kāi)式中y2的系數(shù)是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是：3×6=18，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式，所有的這類(lèi)問(wèn)題都是利用通項(xiàng)來(lái)解決的8（5分）橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2，1，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）ABCD【分析】由橢圓C：可知其左頂點(diǎn)A1

11、（2，0），右頂點(diǎn)A2（2，0）設(shè)P（x0，y0）（x0±2），代入橢圓方程可得利用斜率計(jì)算公式可得，再利用已知給出的的范圍即可解出【解答】解：由橢圓C：可知其左頂點(diǎn)A1（2，0），右頂點(diǎn)A2（2，0）設(shè)P（x0，y0）（x0±2），則，得=，=，=，解得故選：B【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式、不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵9（5分）若函數(shù)f（x）=x2+ax+是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）【分析】由函數(shù)在（，+）上是增函數(shù)，可得0在（，+）上恒成立，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為a2x在（，+）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出2x在（，+）上的

12、最值，可得a的取值范圍【解答】解：在（，+）上是增函數(shù)，故0在（，+）上恒成立，即a2x在（，+）上恒成立，令h（x）=2x，則h（x）=2，當(dāng)x（，+）時(shí)，h（x）0，則h（x）為減函數(shù)h（x）h（）=3a3故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔10（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個(gè)法向量，CD與平面BDC1所成角為，則sin

13、=|，在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可【解答】解：設(shè)AB=1，則AA1=2，分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），設(shè)=（x，y，z）為平面BDC1的一個(gè)法向量，則，即，取=（2，2，1），設(shè)CD與平面BDC1所成角為，則sin=|=，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成的角，考查空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線面角與直線方向向量、平面法向量夾角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵11（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M（2，2）

14、，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，則k=（）ABCD2【分析】斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出k的值【解答】解：由拋物線C：y2=8x得焦點(diǎn)（2，0），由題意可知：斜率k存在，設(shè)直線AB為y=k（x2），代入拋物線方程，得到k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的

15、計(jì)算能力，屬于中檔題12（5分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin2x，下列結(jié)論中不正確的是（）Ay=f（x）的圖象關(guān)于（，0）中心對(duì)稱(chēng)BCDf（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)或關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的公式，對(duì)A、B兩項(xiàng)加以驗(yàn)證，可得它們都正確根據(jù)二倍角的正弦公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，得f（x）=2sinx（1sin2x），再換元：令t=sinx，得到關(guān)于t的三次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的最大值為，故C不正確；根據(jù)函數(shù)周期性和奇偶性的定義加以驗(yàn)證，可得D項(xiàng)正確由此可得本題的答案【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閒（+x）=cos（+x）sin（2+2x）

16、=cosxsin2x，f（x）=cos（x）sin（22x）=cosxsin2x，所以f（+x）+f（x）=0，可得y=f（x）的圖象關(guān)于（，0）中心對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閒（+x）=cos（+x）sin（+2x）=sinx（sin2x）=sinxsin2x，f（x）=cos（x）sin（2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（x），可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C，化簡(jiǎn)得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1t2），1t1，g（t）=2t（1t2）的導(dǎo)數(shù)g'（t

17、）=26t2=2（1+t）（1t）當(dāng)t（1，）時(shí)或t（，1）時(shí)g'（t）0，函數(shù)g（t）為減函數(shù)；當(dāng)t（，）時(shí)g'（t）0，函數(shù)g（t）為增函數(shù)因此函數(shù)g（t）的最大值為t=1時(shí)或t=時(shí)的函數(shù)值，結(jié)合g（1）=0g（）=，可得g（t）的最大值為由此可得f（x）的最大值為而不是，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)閒（x）=cos（x）sin（2x）=cosxsin2x=f（x），所以f（x）是奇函數(shù)因?yàn)閒（2+x）=cos（2+x）sin（4+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2為函數(shù)的一個(gè)周期，得f（x）為周期函數(shù)可得f（x）既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，得D正確綜上所述，只有C項(xiàng)不

18、正確故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題給出三角函數(shù)式，研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性著重考查了三角恒等變換公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）已知是第三象限角，sin=，則cot=2【分析】根據(jù)是第三象限的角，得到cos小于0，然后由sin的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos的值，進(jìn)而求出cot的值【解答】解：由是第三象限的角，得到cos0，又sin=，所以cos=則cot=2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道基礎(chǔ)題學(xué)生做題時(shí)注意的范圍14（5分）6個(gè)人排成一行，其中甲、

19、乙兩人不相鄰的不同排法共有480種（用數(shù)字作答）【分析】排列好甲、乙兩人外的4人，然后把甲、乙兩人插入4個(gè)人的5個(gè)空位中即可【解答】解：6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法：排列好甲、乙兩人外的4人，有中方法，然后把甲、乙兩人插入4個(gè)人的5個(gè)空位，有種方法，所以共有：=480故答案為：480【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法原理，以及排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，插空法解答不相鄰問(wèn)題15（5分）記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈若直線y=a（x+1）與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是，4【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件 的平面區(qū)域，然后分析平面區(qū)域里各個(gè)角點(diǎn)，然后將其代入y=a（

20、x+1）中，求出y=a（x+1）對(duì)應(yīng)的a的端點(diǎn)值即可【解答】解：滿(mǎn)足約束條件 的平面區(qū)域如圖示：因?yàn)閥=a（x+1）過(guò)定點(diǎn)（1，0）所以當(dāng)y=a（x+1）過(guò)點(diǎn)B（0，4）時(shí)，得到a=4，當(dāng)y=a（x+1）過(guò)點(diǎn)A（1，1）時(shí)，對(duì)應(yīng)a=又因?yàn)橹本€y=a（x+1）與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)所以a4故答案為：，4【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，我們常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：由約束條件畫(huà)出可行域求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證，求出最優(yōu)解16（5分）已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長(zhǎng)等于球O的半徑，則球O的表面積等于16【分析】正確作出圖形，利用勾股定理，建立方程，即可求得結(jié)論【解

21、答】解：如圖所示，設(shè)球O的半徑為r，AB是公共弦，OCK是面面角根據(jù)題意得OC=，CK=在OCK中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球O的表面積等于4r2=16故答案為16【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（10分）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)式【分析】由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求a2，然后由，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式進(jìn)而可求公差d，即可求解通項(xiàng)公式【解答】解：設(shè)數(shù)列的公差為d由得，3a2=0或a2=3由題意可得，若a2=0，則可得d2=2d2即

22、d=0不符合題意若a2=3，則可得（6d）2=（3d）（12+2d）解可得d=0或d=2an=3或an=2n1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題18（12分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C【分析】（I）已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，整理后得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosB，將關(guān)系式代入求出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；（II）由（I）得到A+C的度數(shù)，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化

23、簡(jiǎn)cos（AC），變形后將cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出AC的值，與A+C的值聯(lián)立即可求出C的度數(shù)【解答】解：（I）（a+b+c）（ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又B為三角形的內(nèi)角，則B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，AC=30°或AC=30&#

24、176;，則C=15°或C=45°【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵19（12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABC=BAD=90°，BC=2AD，PAB與PAD都是等邊三角形（）證明：PBCD；（）求二面角APDC的大小【分析】（I）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，過(guò)點(diǎn)P作PO平面ABCD于O，連接OA、OB、OD、OE可證出四邊形ABED是正方形，且O為正方形ABED的中心因此OEOB，結(jié)合三垂線定理，證出OEPB，而OE是BCD的中位線，可得OECD，因此PBCD；（II）由（I）的結(jié)論，證出

25、CD平面PBD，從而得到CDPD取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連接FG，可得FGCD，所以FGPD連接AF，可得AFPD，因此AFG為二面角APDC的平面角，連接AG、EG，則EGPB，可得EGOE設(shè)AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的長(zhǎng)，最后在AFG中利用余弦定理，算出AFG=arccos，即得二面角APDC的平面角大小【解答】解：（I）取BC的中點(diǎn)E，連接DE，可得四邊形ABED是正方形過(guò)點(diǎn)P作PO平面ABCD，垂足為O，連接OA、OB、OD、OEPAB與PAD都是等邊三角形，PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的對(duì)角線的交點(diǎn)，可得OEOBPO平面ABC

26、D，得直線OB是直線PB在內(nèi)的射影，OEPBBCD中，E、O分別為BC、BD的中點(diǎn)，OECD，可得PBCD；（II）由（I）知CDPO，CDPBPO、PB是平面PBD內(nèi)的相交直線，CD平面PBDPD平面PBD，CDPD取PD的中點(diǎn)F，PC的中點(diǎn)G，連接FG，則FG為PCD有中位線，F(xiàn)GCD，可得FGPD連接AF，由PAD是等邊三角形可得AFPD，AFG為二面角APDC的平面角連接AG、EG，則EGPBPBOE，EGOE，設(shè)AB=2，則AE=2，EG=PB=1，故AG=3在AFG中，F(xiàn)G=CD=，AF=，AG=3cosAFG=，得AFG=arccos，即二面角APDC的平面角大小是arccos【

27、點(diǎn)評(píng)】本題給出特殊的四棱錐，求證直線與直線垂直并求二面角平面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三垂線定理和運(yùn)用余弦定理求二面的大小等知識(shí)，屬于中檔題20（12分）甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判，設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果都相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判（）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（）X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望【分析】（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝，A2表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)，A表示第4局甲當(dāng)裁判，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即

28、可（II）X的所有可能值為0，1，2分別求出X取每一個(gè)值的概率，列出分布列后求出期望值即可【解答】解：（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝A2表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)A表示第4局甲當(dāng)裁判則A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=；（）X的所有可能值為0，1，2令A(yù)3表示第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝B1表示第1局結(jié)果為乙獲勝，B2表示第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝，B3表示第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)，則P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）=從而EX=0&#

29、215;+1×+2×=【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識(shí)，同時(shí)考查利用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力21（12分）已知雙曲線C：=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為3，直線y=2與C的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為（I）求a，b；（II）設(shè)過(guò)F2的直線l與C的左、右兩支分別相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF1|=|BF1|，證明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比數(shù)列【分析】（I）由題設(shè)，可由離心率為3得到參數(shù)a，b的關(guān)系，將雙曲線的方程用參數(shù)a表示出來(lái)，再由直線建立方程求出參數(shù)a即可得到雙曲線的方程；（II）由（I）的方程求出兩焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將其與雙曲線C的方程聯(lián)立，得出x1+x2=，再利用|AF1|=|BF1|建立關(guān)于A，B坐標(biāo)的方程，得出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，由此方程求出k的值，得出直線的方程，從而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可證明出結(jié)論【解答】解：（I）由題設(shè)知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程為8x2y2=8a2將y=2代入上式，并求得x=±，由題設(shè)知，2=，解得a2=1所以a=1，b