2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)13.5復(fù)數(shù)教師用書理蘇教版

1、§13.5復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做實(shí)部，b叫做虛部(i為虛數(shù)單位)(2)分類：滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類abi為實(shí)數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0(3)復(fù)數(shù)相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(4)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一對應(yīng)關(guān)系3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1abi，z2cdi，

2、a，b，c，dR(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即，.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)方程x2x10沒有解(×)(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.(×)(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小(×)(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模()1(2014·課標(biāo)全國改編)_.答案1i解析方法一1i.方法二2(1i)i2(

3、1i)1i.2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)65i，23i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案24i解析A(6,5)，B(2,3)，線段AB的中點(diǎn)C(2,4)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z24i.3(2013·四川改編)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，由圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是_答案B解析表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)A與表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，B點(diǎn)表示.4(2013·廣東改編)若i(xyi)34i，x，yR，則復(fù)數(shù)xyi的模是_答案5解析由題意知xyi43i，所以|xyi|43i|5.題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)已知aR，復(fù)數(shù)z12ai，z212i，若為純虛數(shù)，則復(fù)

4、數(shù)的虛部為_(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是“z1z2”的_條件思維點(diǎn)撥(1)若zabi(a，bR)，則b0時，zR；b0時，z是虛數(shù)；a0且b0時，z是純虛數(shù)(2)直接根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求解答案(1)1(2)充分不必要解析(1)由i是純虛數(shù)，得a1，此時i，其虛部為1.(2)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要條件思維升華處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來處理(1)(2013·安徽改編)設(shè)i是虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)a(aR)是純虛數(shù)，則a的值為_(2)(2014·

5、;浙江)已知i是虛數(shù)單位，a，bR，則“ab1”是“(abi)22i”的_條件答案(1)3(2)充分不必要解析(1)aa(3i)(a3)i，由aR，且a為純虛數(shù)知a3.(2)當(dāng)ab1時，(abi)2(1i)22i；當(dāng)(abi)22i時，得解得ab1或ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算例2計(jì)算：(1)_；(2)()6_.思維點(diǎn)撥復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，實(shí)質(zhì)上是分母實(shí)數(shù)化的運(yùn)算答案(1)33i(2)1i解析(1)3i(i1)33i.(2)原式6i61i.思維升華(1)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算，除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分

6、母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式(2)幾個常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度(1±i)2±2i；i；i.i(abi)bai.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*.(1)(2014·廣東改編)已知復(fù)數(shù)z滿足(34i)z25，則z_.(2)(2014·北京)復(fù)數(shù)2_.答案(1)34i(2)1解析(1)方法一由(34i)z25，得z34i.方法二設(shè)zabi(a，bR)，則(34i)(abi)25，即3a4b(4a3b)i25，所以解得故z34i.(2)21.題型三復(fù)數(shù)的幾

7、何意義例3如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，32i，24i，試求：(1)、所表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線所表示的復(fù)數(shù)；(3)B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)思維點(diǎn)撥結(jié)合圖形和已知點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)，根據(jù)加減法的幾何意義，即可求解解(1)，所表示的復(fù)數(shù)為32i.，所表示的復(fù)數(shù)為32i.(2)，所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)，所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，即B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.思維升華因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可(1)(2014·重慶改編)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)

8、數(shù)Zi(12i)對應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限答案一解析復(fù)數(shù)Zi(12i)2i，復(fù)數(shù)Z的實(shí)部2>0，虛部1>0，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限(2)已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由題意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根據(jù)條件，可知解得2<a<6，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)解決復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化思想典例：已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(xy)23xyi46i，求x，y.思維

9、點(diǎn)撥(1)x，y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題規(guī)范解答解設(shè)xabi (a，bR)，則yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得解得或或或故所求復(fù)數(shù)為或或或溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法(2)本題求解的關(guān)鍵是先把x、y用復(fù)數(shù)的形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解這是常用的數(shù)學(xué)方法(3)本題易錯原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解.方法與技巧1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的

10、過程2在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則的方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合3實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合及平面向量是一一對應(yīng)關(guān)系，即4復(fù)數(shù)運(yùn)算常用的性質(zhì)：(1)(1±i)2±2i；i，i；(2)設(shè)i，則|1；120；2.(3)inin1in2in30(nN*)失誤與防范1判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義2對于復(fù)系數(shù)(系數(shù)不全為實(shí)數(shù))的一元二次方程的求解，判別式不再成立因此解此類方程的解，一般都是將實(shí)根代入方程，用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解3兩個虛數(shù)不

11、能比較大小4利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件5注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：30分鐘)1若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為_答案1解析由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，得解得x1.2在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_答案34i解析因?yàn)?3i(2i)34i.3若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是_答案H解析由題圖知復(fù)數(shù)z3i，2i.表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)為H.4(2

12、013·山東改編)復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)，則|z|_.答案5解析z43i，所以|z|5.5(2014·江西改編)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z2，(z)i2(i為虛數(shù)單位)，則z_.答案1i解析方法一設(shè)zabi，a，b為實(shí)數(shù)，則abi.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.6(2013·天津)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(3i)(12i)_.答案55i解析(3i)(12i)35i2i255i.7若abi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.答案3解析(3b)(3b)ii.解得ab3.8復(fù)

13、數(shù)(3i)m(2i)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案m<解析z(3m2)(m1)i，其對應(yīng)點(diǎn)(3m2，m1)在第三象限內(nèi)，故3m2<0且m1<0，m<.9已知復(fù)數(shù)z1滿足(z12)(1i)1i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.解(z12)(1i)1iz12i.設(shè)z2a2i，aR，則z1·z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1·z2R，a4.z242i.10復(fù)數(shù)z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(

14、a22a15)i.1z2是實(shí)數(shù)，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.B組專項(xiàng)能力提升(時間：15分鐘)1下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z的四個命題：p1：|z|2; p2：z22i；p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1i; p4：z的虛部為1.其中的真命題為_答案p2，p4解析z1i，|z|，p1是假命題；z2(1i)22i，p2是真命題；1i，p3是假命題；z的虛部為1，p4是真命題其中的真命題共有2個：p2，p4.2設(shè)f(n)nn(nN*)，則集合f(n)中元素的個數(shù)為_答案3解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3個元素3(2014·陜西改編)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷分別是_答案假，假，真解析原命題正確，所以逆否命題正確模相等的兩復(fù)數(shù)不一定互為共軛復(fù)數(shù)，同時因?yàn)槟婷}與否命題互為逆否命題，所以逆命題和否命題錯誤4在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第_象