高等數(shù)學 習題87方向?qū)?shù)與梯度

1、章節(jié)題目第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容提要方向?qū)?shù)的概念及計算梯度的概念與幾何意義重點分析方向?qū)?shù)的計算梯度概念的理解難點分析梯度概念的理解梯度的幾何意義習題布置 2、4、7、10備注教 學 內(nèi) 容一、問題的提出實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行二、方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題設(shè)函數(shù)Z=f (x ,y)

2、在點P (x ,y)的某一領(lǐng)域U (P)內(nèi)有定義,自點P引射線L,設(shè)x軸正向到L射線的轉(zhuǎn)角為,并設(shè) (x+)為L上的另一點且當沿著趨于時,是否存在？記為 依定義，函數(shù)在點沿著軸正向、軸正向的方向?qū)?shù)分別為；定理如果函數(shù)在點是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有 ，其中為軸到方向L的轉(zhuǎn)角證明 由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到設(shè)為cos,為sin故有方向?qū)?shù)例1求函數(shù)在點處沿從點到點的方向的方向?qū)?shù).解 這里方向即為, 故軸到方向的轉(zhuǎn)角. 所求方向?qū)?shù) 例2 求函數(shù)在點（1，1）沿與軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?數(shù)有 （1）最大值；

3、（2）最小值； （3）等于零？解 由方向?qū)?shù)的計算公式知 故（1）當時，方向?qū)?shù)達到最大值; （2）當時，方向?qū)?shù)達到最小值;（3）當和時，方向?qū)?shù)等于0.推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)，它在空間一點沿著方向L的方向?qū)?shù) ，可定義為（ 其中）設(shè)方向L的方向角為 同理：當函數(shù)在此點可微時，那末函數(shù)在該點沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有例3 設(shè)是曲面 在點處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).解 令 故 方向余弦為 故 三、梯度的概念定義 設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點，都可定出一個向量，這向量稱為函數(shù)在點的梯度，記為.設(shè)是方向 上的單位向量，由方

4、向?qū)?shù)公式知 其中當時，有最大值.結(jié)論：函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 .當不為零時，軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫法 例如, 梯度與等高線的關(guān)系：函數(shù)Z=f (x, y)在點p(x ,y)的梯度的方向與點p的等高線f (x, y)=c在這點法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等值線，而梯度的模等于等于函數(shù)在這個法線方向上的方向?qū)?shù)。梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三元函數(shù)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則對于每一點，都可定義一個向量(梯度)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.類似地,設(shè)曲面為函數(shù)的等量面，此函數(shù)在點的梯度的方向與過點P的等量面在這點的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù).例4 求函數(shù) 在點 處的梯度，并問在 哪些點處梯度為零？解 由梯度計算公式得故在處梯度為0.四、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)