高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：9.1　橢　圓

1、淘寶店鋪：漫兮教育第九章圓錐曲線與方程高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用；2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；5.理解數(shù)形結(jié)合的思想；6.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數(shù)形結(jié)合的思想，方程的思想，函數(shù)的思想，坐標(biāo)法.本章難點(diǎn)：1.對(duì)圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用

2、；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題；3.曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識(shí)結(jié)合是高考?？碱}型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn)，小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法運(yùn)用；解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題，綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)9.1橢圓典例精析題型一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知點(diǎn)p在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)p作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的方程.【解析】由橢圓的定義知，2a2，故a，由勾股定理得，()2()24c2，所以c2，b

3、2a2c2，故所求方程為1或1.【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需要考慮兩種情形，有時(shí)也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式：mx2ny21(m0，n0且mn)；(2)在求橢圓中的a、b、c時(shí)，經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識(shí).【變式訓(xùn)練1】已知橢圓c1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，拋物線c2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線c1，c2上各取若干個(gè)點(diǎn)(每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn))，并記錄其坐標(biāo)(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓c1上，也不在拋物線c2上.小明的記錄如下：據(jù)此，可推斷橢圓c1的方程為.【解析】方法一：先將題目中的點(diǎn)描出來(lái)，如

4、圖，a(2,2)，b(，0)，c(0，)，d(2，2)，e(2，)，f(3，2).通過(guò)觀察可知道點(diǎn)f，o，d可能是拋物線上的點(diǎn).而a，c，e是橢圓上的點(diǎn)，這時(shí)正好點(diǎn)b既不在橢圓上，也不在拋物線上.顯然半焦距b，則不妨設(shè)橢圓的方程是1，則將點(diǎn)a(2,2)代入可得m12，故該橢圓的方程是1.方法二：欲求橢圓的解析式，我們應(yīng)先求出拋物線的解析式，因?yàn)閽佄锞€的解析式形式比橢圓簡(jiǎn)單一些.不妨設(shè)有兩點(diǎn)y2px1，y2px2，則可知b(，0)，c(0，)不是拋物線上的點(diǎn).而d(2，2)，f(3，2)正好符合.又因?yàn)闄E圓的交點(diǎn)在x軸上，故b(，0)，c(0，)不可能同時(shí)出現(xiàn).故選用a(2,2)，e(2，)這兩

5、個(gè)點(diǎn)代入，可得橢圓的方程是1.題型二橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例2】已知f1、f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，f1pf260°.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：f1pf2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，|pf1|m，|pf2|n，在f1pf2中，由余弦定理可知4c2m2n22mncos 60°，因?yàn)閙n2a，所以m2n2(mn)22mn4a22mn，所以4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn()2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，所以4a24c23a2，所以，即e，所以e的取值范圍是，1).(2)由(1)知mnb2，所以m

6、nsin 60°b2，即f1pf2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).【點(diǎn)撥】橢圓中f1pf2往往稱為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用，如|pf1|·|pf2|()2，|pf1|ac.【變式訓(xùn)練2】已知p是橢圓1上的一點(diǎn)，q，r分別是圓(x4)2y2和圓(x4)2y2上的點(diǎn)，則|pq|pr|的最小值是.【解析】設(shè)f1，f2為橢圓左、右焦點(diǎn)，則f1，f2分別為兩已知圓的圓心，則|pq|pr|(|pf1|)(|pf2|)|pf1|pf2|19.所以|pq|pr|的最小值為9.題型三有關(guān)橢圓的綜合問題

7、 【例3】設(shè)f1，f2分別是橢圓e：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)f1斜率為1的直線l與e相交于a，b兩點(diǎn)，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差數(shù)列.(1)求e的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)p(0，1)滿足|pa|pb|，求e的方程.【解析】(1)由橢圓定義知|af2|bf2|ab|4a，又2|ab|af2|bf2|，得|ab|a.l的方程為yxc，其中c.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡(jiǎn)得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，則x1x2，x1x2.因?yàn)橹本€ab斜率為1，所以|ab|x2x1|，即a，故a22b2，所以e的離心率e.(2)設(shè)ab的中點(diǎn)為n(x

8、0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.來(lái)源:由|pa|pb|kpn1，即1c3.從而a3，b3，故e的方程為1.【變式訓(xùn)練3】已知橢圓1(ab0)的離心率為e，兩焦點(diǎn)為f1，f2，拋物線以f1為頂點(diǎn)，f2為焦點(diǎn)，p為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若e，則e的值是()a.b.c.d.【解析】設(shè)f1(c,0)，f2(c,0)，p(x0，y0)，則橢圓左準(zhǔn)線x，拋物線準(zhǔn)線為x3c，x0()x0(3c)e.故選b.總結(jié)提高1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確，在解題時(shí)要防止遺漏.確定橢圓需要三個(gè)條件，要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應(yīng)分類討論，或設(shè)方程為mx2ny21(m0，n0，mn)求解.2.充分利用定義解題，一方面，會(huì)根據(jù)定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡