高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)30、空間向量及其運(yùn)算

1、溫馨提示:高考題庫(kù)為word版，請(qǐng)按住ct"，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的 觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄?！究键c(diǎn)30】空間向量及其運(yùn)算2009年高考題 1> (2009江西高考)如圖，正四面體abcd的頂點(diǎn)a, b , c分別在兩兩垂直的三條射線ox , oy , o乙 上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為() a. o-abc是正三棱錐b. 直線平面acdc.直線ad與ob所成的角是45°d.二面角 d-ob-a 為45°【解析】選b.將原圖補(bǔ)為正方體不難得出b為錯(cuò)誤，故選b.2、(2009安徽高考)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)a (1, 0, 2) , b

2、(l, -3, 1),點(diǎn)m在y軸上，且m到a與到b的距離相等，則m的坐標(biāo)是。解析設(shè) m (0, y, 0)由 f + y2 + 4 = 1 + (-3 y)2 +1 可得 y = 1 故 m (0,1,0)答案:(0,-1, 0)3、(2009北京高考)如圖，四棱錐p-abcd的底面是正方形,pd丄底面abcd,點(diǎn)e在棱pb±(i )求證：平面aec丄平面pdb；(ii)當(dāng)pd = y/2ab且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面pdb所成的角的大小.【解析】如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz ,設(shè)ab = ci,pd = h,則 a（q,0,0）,b（a,d,0）,c（0,q,

3、0）,z）（0,0,0）,p（0,0,/7）,（i ） 丁 ac 二（一d,g,o）,z）p = （o,o,/z）,£）b = （d,d,o）, acdp = q,acdb = o,ac丄dp, ac丄db,ac丄平面pdb,平面aec丄平pdb .當(dāng)pd =忑ab且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，p(0,0,辰),efl 1 v2 /設(shè) acabd=o,連接 oe,由(i )知ac丄平面pdb于0,zaeo為ae與平面pdb所的角,1 cl21 v2a.a2 2,eo = cos zaeo =eaeo v2zaoe = 45°,即ae與平面pdb所成的角的大小為45°4、(2

4、009全國(guó)ii)如圖，直三棱柱abc-aibjci中，ab丄ac,d、e分別為aa】、b】c的中點(diǎn),de丄平面bibcci(i )證明：ab=ac(ii )設(shè)二面角a-bd-c為60。,求bic與平面bcd所成的角的大小 【解析】(i )以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線ab為x軸的正半軸，建立如 圖所示的直角坐標(biāo)系axyzo設(shè) b (1, 0, 0), c (0, b, 0), d (0, 0, c),則冋(1, 0, 2c),1 bf bfe (-, c) 于是 de=0), bc= (-1, b,0)2 2 2 2> 由de丄平面bcc|知de丄bc, de bcf,求得b=l,所以ab=aco

5、(n )設(shè)平面bcd的法向量贏 = (x,”z),則贏 bc = anbd = o. 又品=(-1, 1, 0),-(x + y = 0bd= (-1, 0, c)，故-x + cz = o t|令 x=l,則 y=l, z=, an =1,).又平面abd的法向量ac= (0, 1, 0)由二面角 a bd c 為 60° 知，< acan=60°，故 ac>a7v = | ac|*| av| -cos60°于是 an = (1,1,v2) , cb=( 1,v2),所以與平面bcd所成的角為30。5、(2009江西高考)如圖，在四棱錐p-a3cd中

6、，底面a bcd是矩形，p4丄平面abcd f pa = ad = 4 ,dab = 2以bd的中點(diǎn)o為球心、bd為直徑的球面交pd于點(diǎn)m(1) 求證：平面丄平面pcd；(2) 求直線pc與平面abm所成的角；(3) 求點(diǎn)o到平面的距離.【解析】方法一：(1)依題設(shè)，m在以b d為直徑的球面上，則bm丄p d.因?yàn)閜a丄平面a b c d,則pa丄a b ,又a b丄ad,所以a b丄平面pad,則ab丄p d,因此有pd丄平面a bm,所以平面a bm丄平面pcd.(2 )設(shè)平面abm與p c交于點(diǎn)n,因?yàn)閍 b / c d ,所以ab"平面 pcd,則 ab / mn / cd,

7、由(1)知，pd丄平面a bm,則mn是pn在平面abm上的射影,所以 zpnm就是pc與平面abm所成的角，j 2x = 0 2y+ 2z = 0所求角的大小為arcsin2v2t2v2 "t"且 zpnm = "cd tan zpnm = tan zpcd = = 22dc所求角為arc tan 2 >/2(3)因?yàn)?是bd的中點(diǎn)，則0點(diǎn)到平面abm的距離等于d點(diǎn)到平面abm距離的一半，由(1)知，p d 丄平面abm于m,則|dm|就是d點(diǎn)到平面abm距離.因?yàn)樵趓t apad中，pa = ap = 4 , pd丄am ,所以m為pd中點(diǎn)，dm = 2

8、2 ,則0點(diǎn)到平面abm的距離等于血。方法二:(1) 同方法一；(2) 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則 a(0,0,0), p(0,0,4), 5(2,0,0),c(2,4,0), d(0,4,0),m(0,2,2),設(shè)平面abm的一個(gè)法向量z? = (x,y,z)，由丄ab,n丄am可得:即n = (0丄一 1) 設(shè)所求角為a，貝'j sin a =(3)設(shè)所求距離為/?,由 o (1,2,0), ao = (1,2,0),得:6、( 2009 r東高考)如圖6,已知正方體abcd-ac.d,的 棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)e是正方形bccq的中心，點(diǎn)f、g分別是棱cqma的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)e,

9、 g在平面dccq內(nèi) 的正投影.(1)求以e為頂點(diǎn)，以四邊形fgae在平面dccq內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；(2) 證明：直線fg|丄平面fee、；(3) 求異面直線eq】與e4所成角的正弦值.【解析】(1)依題作點(diǎn)e、g在平面qccq內(nèi)的正投影乙、g則厶、g|分別為ccr 的中點(diǎn), 連結(jié)eq、eg、ed、de、,則所求為四棱錐e-de.fg |的體積，其底面defg、面積為s defg s r應(yīng) fg + s rgg'ei = x x + xlx2 = 2,又 ee、丄面 de、fg, ee = 1 ,° ve_dexfg = sde、fgee、= § (

10、2)以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，da. dc、d0所在直線分別作x軸，y軸，z軸，得耳(0,2,1)、g, (0,0,1), 又 g(2,0,l), f(0,1,2), e(l,2,l),則 fg = (0-1-1), fe = (1,1-1), fex = (0,1-1), 亦丘=0 + (1) + 1 = 0,亦陌=0 + (1) + 1 = 0,即 fg丄 fe , fg丄 fe、, 又fe、cfe = f ,fg】丄平面fee】.(3) eg = (0-2,0), ea = (1-2-1),則 cos v eq,ea >=eg eaegl ea所成角為&,則sin& =7、(

11、2009浙江高考)如圖，平面p4c丄平面abc f aabc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，疋,尸,0分別為只4,pb, ac 的中點(diǎn)，ac = 16, pa = pc = 10.(i)設(shè)g是oc的中點(diǎn)，證明：fg/平面boe；(ii)證明：在aabo內(nèi)存在一點(diǎn)m,使fm丄平面boe,并求點(diǎn)m到。4, ob的距離.【解析】(i)如圖，連結(jié)0p,以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob、0c、0p所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空 間直角坐標(biāo)系0 尤)迄，則 o(0,0,0)/(0,-8,0),b(8,0,0),c(0,&0), p(0,0,6),e(0,-4,3), f(4,0,3)，由題意得，g(

12、0,4,0),因 亦=(8,0,0),旋 =(0,4,3),因 此平面boe的法向量為a z7 = (0,3,4), 而=(一4,4,一3 )得二而=0,又直線 fg 不在平j(luò)l面boe內(nèi)，因此有fgh平面boe/(ii)設(shè)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為(x0, yo?o),則 fm =(x0 -4,y0,-3),因?yàn)橐?(9 fm丄平面boe,所以fm /n ,因此有x0 = 4,yq = ,即點(diǎn)m的坐標(biāo)為4,，0 ,在平面直角坐 4i4 丿x > 0標(biāo)系xoy中，aob的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組y < 0,經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)m的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以x-y<s在aabo內(nèi)存在一點(diǎn)m,使fm丄平

13、面boe ,由點(diǎn)m的坐標(biāo)得點(diǎn)m到0a , 0b的距離為4,?.48、(2009山東高考)如圖，在直四棱柱abcdab】c 底面 abcd 為等腰梯形，ab/cd, ab=4, bc=cd=2,e、f分別是棱ad、aa】、ab的中點(diǎn)。(1) 證明：直線ee/平面fc。；(2) 求二面角bfcc的余弦值?！窘馕觥?1)因?yàn)閍b=4, bc=cd=2, f是棱ab的中點(diǎn)，所以bf=bc=cf, abcf為正三角形，因?yàn)閍bcd為等腰梯形，所以zba0=zabc=60o，取af的中點(diǎn)m, 連接dm,則dm丄ab,所以dm丄cd,以dm為x軸,dc為y軸,ddi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，c1（0,2,2

14、）,e（t，-,0）,e,a/3,-1,1）,所以 e瓦=（¥，*1）, cf=（v3,-i,o）, cq=（0,0,2）rq=（-v3丄2）設(shè)平面 cgf的法向量為n = (x,y,z)則h = （1,73,0）,則則 d (0,0, 0) ,a ( 73,-1, 0) ,f ( v3,l,0) ,c (0,2, 0),h-ee=x 1-1x73 +1x0 = 0,-以方丄e瓦，所以直線 ee|/平面 fcc,.2 2(2)而= (0,2,0),設(shè)平面bfg的法向量為斤=(州，)1心)，則。所以; ，-° fc = 0vs%, + 必 + 2z = 0取nx = （2,0

15、,/3），則 /? /tj =2x1 v3 xo + ox v3 = 2,幣|= j1 + (w = 2, |斤|= j2?+0 + (jj)r =所以 c0s/2,q= _hll«i=j，由圖可知二面角b-fc. -c為銳角，所以二面角b-fc. -c的余弦值72xv7 72008年高考題1、（2008全國(guó)i）已知三棱柱abc-b.c.的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，人在底面abc內(nèi)的射影為aabc的中心，則a冋與底面abc所成角的正弦值等于（）d.b£【解析】選b.本題主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接法求點(diǎn)到平面的距離，求出直線與平面 的夾角）同時(shí)還考查了三余弦公式。

16、 d=一（扌x =半, 再由coszi4）ab = cos30°coszaao （ o為點(diǎn)£在底面內(nèi)的射影）,v6cos 0 ab =當(dāng) x 申=占，. 0 ab=60° /. zabb, = 120°, ab、=品,:.sin & = a =迄232丁3 3f） p2、（2008江蘇高考）記動(dòng)點(diǎn)p是棱長(zhǎng)為1的正方體abcd-b,cd的對(duì)角線bd、上一點(diǎn),記右匕=2當(dāng)乙4pc為鈍角時(shí)，求2的取值范圍.【解析】由題設(shè)可知，以麗、dc. 西為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d - xyz ,則有 4(1,0,0), 5(1,1,0), c(

17、0丄 0), £>(0,0,1)由5 = (1,1,-1),得萬(wàn)了 =兄萬(wàn)帀=(入入2),所以pa = pd+7a = (-2,-a, 2) + (1,0,-1) = (1-2,-2,/t-1)pc = pd+dc = (-2,-2,2) + (0,1,-1) = (-2,1-a, 2-1)顯然zapc不是平角，所以zapc為鈍角等價(jià)于cos zapc = cos <pa,pc>= pa pc<0,則等價(jià)于papc<0即(1 - a)(-2) 4- (-2)(1 - 2) + (2 -1)2 = (a - 1)(3a -1) < 0 , # | &

18、lt; 2 < 1 因此，幾的取值范圍是(g,l)3、(2008海南、寧夏高考)如圖，已知點(diǎn)p在正方體abcd a'b'cq的對(duì)角線bd'上,zpda = 60° .(i)求dp與cc，所成角的大小;(ii)求dp與平面aa'd'd所成角的大小.【解析】如圖，以d為原點(diǎn)，04為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz. 則 da = (1,0,0), cc = (0,0,1) 連結(jié) bd, bd 在平面bbdd中，延長(zhǎng)dp交bd于h設(shè) dh =(7/?, 777, l)(/w > 0),由已知 < dhda >= 60，由 d

19、a dh = da dh cos < da.dh > ,可得 2tn = j2rn2 4-1 解得 m =,所以而= (#,#,1).卑><0 +羋 xo+lxl n-(i )因?yàn)?cos<dh,cc>=斗=乎,1x722所以< dh,cc>= 45°即dp與cc所成的角為45° (n )平面aafdfd的一個(gè)法向量是dc = (0,1,0). 卑 xo + xl + lxo 因?yàn)?cos v dhdc >= 2斗=£ , 所以 < dhdc >= 60".lxv22可得dp與平面aard

20、rd所成的角為304、(2008浙江高考)如圖，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，be/cf, zbcf=zcef=90°,ad=v3 ,ef=2o(i )求證：ae平面dcf；(ii)當(dāng)ab的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角a-ef-c的大小為60° ?【解析】如圖，以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，以cb, cf和cd分別作為x軸，y軸和z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系c -設(shè) ab = cb be = b, cf = c ,則 c(0,0,0), a(v3,0, a), b(vj,o,o), £(3, b,0), f(0, c,0)(i)證明：ae = (0, b, a), cb =

21、 (v3,0,0), be = (0, b, 0),所以岳疋=0, cb be = 0,從而cb丄ae , cb丄be ,所以cb丄平面abe.因?yàn)閏b丄平面dcf ,所以平面abe 平面dcf故ae/平面dcf(h)因?yàn)?ef = (-v3, c_b, 0), ce = (>/3, b, 0),所以麗壓=0, |麗|=2,從而(-3 + b(c-b) = 0fj3 + (c-b)2 =2,解得b = 3, c = 4 所以 e(v3,3,0), f(0,4,0).設(shè) = (1, y, z)與平面aef垂直，則 n ae - 0 , n ef - 0 , 解得n = (,也，巫).a又因

22、為ba丄平面befc , ba = (0,0, a),上乙 i777.| ba n |1所以 cos < n,ba > =,ban a j 4+27 29得到6z = -29所以當(dāng)ab為一時(shí)，二面角a-ef-c的大小為6025、(2008遼寧高考)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd-a,b,ctd,中，ap=bq=b (ovbvl),截面 pqef/ ard ,截面 pqgh/ adf (i )證明：平面pqef和平面pqgh互相垂直；(h )證明：截面pqef和截面pqgh面積之和是定值，并求出這個(gè)值；(皿)若de與平面pqef所成的角為45°,求de與平面pqgh所成角

23、的正弦值.【解析】以為原點(diǎn)，射線da、dc, dd分別為x, y, z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系d_ xyz由已知得df = l b,故a(1,o,o), a'(1,o,1), d(0,0,0), "(0,0,1),p(l,0, b), 2(1,1, b), e(l-m,0),f(1方,0,0), g(b,l,l), h(b,0,l)(i )在所建立的坐標(biāo)系中，可得pq = (0,1,0),麗=(b,0, b),ph =(b-1,0,1-/?),adf = (-1,0,l),7© = (-1,0, 1)因?yàn)閍dfpq = 0adf'pf = 0,所以

24、麗是平面的法向量.因?yàn)椴湃f(wàn)= 才萬(wàn)麗 =0,所以麗 是平面的法向量.因?yàn)閍df afd = 0,所以at)丄ad所以平面 代刪和平面p仇防互相垂直.(u)因?yàn)閑f = (0,-l,0),所以麗 pqef = pq,又而丄p0,所以pqef為矩形,同理pqgh 為矩形.在所建立的坐標(biāo)系中可求得|ph| = v2(l-/7), pf = y/2h,所以ph + pf = >j2 ,又pq = i,所以截面h財(cái)和截面p仇面積之和為v2 ,是定值.(m)由已知得萬(wàn)e與莎成45°角，又d7 = (1 - ba, - 1),xf = (-1,0,1)可得dre adf|£>

25、,epd/|b_2_v|冋 q_b$+22/ 2"=,解得b丄j(l-br+22所以57e = q,1,-1 ,又刁萬(wàn)=（一1,0,-1）,所以de與平面所成角的正弦值為 | cos < we,ad >1王1=返.¥ 62007年高考題1、（2007湖北高考）如圖，在三棱錐v-abc中，7c丄底面abc,ac±bcf。是的中點(diǎn)，（兀、且ac=bc=a, zvdco o<0< oi2丿（i ）求證：平面以b丄平面vcd ；（ii）當(dāng)角變化時(shí)，求直線bc與平面以所成的角的取值范圍;【解析】方法一：（i ）以c4, cb, cu所在的直線分別為x

26、軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 c(0,0,0), a(d,o,o), b(0, d,o),(、(jd -,-,0 , v 0,0,a tan 0 (2 2 丿 2于是、vd = , 一，ci tan 02 2 27cd =a a<22,0ab = (一a，qq) * (d d 1 0 1 0 從而 ab<d = (-a, a,0) -,-,0 =tz2+-«2+0 = 0, 2 丿2 2即ab丄cd 同理= (-a,atand =-t/2+-z2+0 = 0 ,2 2 2 2 27即ab丄w)又cdqvd = d, :.ab丄平面vcd又ab a平面v

27、ab平面mb丄平面vcd.(ii )設(shè)直線bc與平面vab所成的角為0,平面vab的一個(gè)法向量為n = (x, y, z),則由 n*ab = 0, n*vd = 0.-ax + ay = 0,得*av2x + yaz tan& = 0.22-2可取 m = (1,1,血 co”)，又煢= (0, - g,0),于是sin© =irbc_ nblfic/衛(wèi)zdj2 + 2cot 02 v20<sin<-.7tt0<< , ovsin/vl,2又0®誇ov0<?即直線bc與平面vab所成角的取值范圍為（0,- 4丿方法二：以ca, cb,

28、 cv所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 c(0,0,0), a(6z,o,o), b(0, d,o), d -,-,0(2 2 a a.(i ) cv = (0,0, tcd = -,-,0 ,ab = (-a, a,0), <2 2丿ab*cv = (a, a,0)(0,0, f) = 0 + 04-0 = 0,即4b丄cv (x22 ab-cd = (-a, g,0) -,-,0 =- + + 0 = 0,(2 2 丿 2 2即丄cd 又cvncr> = c, a ab 丄平面ucd.又abu平面vab,.平面vab丄平面vcd(ii )設(shè)直線b

29、c與平面m4b所成的角為0,設(shè)w = (x, y, z)是平面的一個(gè)非零法向量，wab = (x, y, z)(d, a,0) = -ax + ay = 0, 則-a , <x = y = r.mav =(x, y, z)(-q,0, /) = -ax + rz = 0,可取 n = (r, r, a),又 cb = (0, d,0),于是sin% =fvcbn-cbtat r g (0, + 8)，sin © 關(guān)于 f 遞增./ 0 v sin ° v1tf(-兀'i 4丿c71 7u又 0 v / v cp w 09 2( 兀)即直線bc與平面vab所成角

30、的取值范圍為0,- 4丿2、(2007海南寧夏高考)如圖，在三棱錐s-abc中，側(cè)面sab與側(cè)面sac均為等邊三角形,zfiac = 90°, o 為 bc 中點(diǎn).(i )證明：so丄平面abc；(ii)求二面角a-sc-b的余弦值.【解析】(i )由 ab=ac=sb=sc 二 sa,連結(jié) oa ,a心等腰直角三角形，所以且ao丄bc ,又asbc為等腰三角形，故so丄bc , 且so = sa,從而oa2-so2=sa2.2所以soa為直角三角形，so丄ao. 又 aocbo = 0.所以so丄平面abc(ii)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線03, 04, 0s分別為兀軸、y軸、z軸的正半軸,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系0 xyz設(shè)(1,0,0),則c(-1,0,0), a(0,l,0), 5(0,0,1).sc 的中點(diǎn)-,0,-l 2 2丿,sc = (_1,o,_1) mosc = 0,masc = 0.故mo丄sc, ma 15c, <m0,ma >等于二面角a-sc-b的平面角.cos <mo,mamoma>=7moma所以二面角a-sc-b的余弦值為3、(2007山東高考)如圖，在直四棱柱abcd-ac.d,中,已知 dc