高考數(shù)學(xué)考前指導(dǎo)材料-立體幾何

1、1.如圖，正方形abcd所在平面與平面四邊形abef所在平面互相垂直，厶abe是等腰直角三角形，ab = ae, fa = fe, aaef = 45°(i) 求證：ef丄平面bce；(ii) 設(shè)線段cd、/e的中點(diǎn)分別為卩、m ,求證:平面bce【解析】解法一：因為平面 abef丄平面 abcd, bcu平w abcd, bc丄ab,平® abefq 平面 abcd二ab, 所以bc丄平面abef.所以bc丄ef因為nabe為等腰直角三角形，ab=ae,所以 zaeb=45° ,又因為zaef二45,所以zfeb二90° ,即 ef丄be.因為bc u

2、平而abcd, be u平而bce,bcabe=b所以ef丄平面bce(11)取be的中點(diǎn)n,連結(jié)cn, mn,則mn丄ab么pc2pmnc為平行四邊形，所以pmcn cn在平面bce內(nèi)，pm不在平面bce內(nèi)，pm 平面bce.解法二：因等腰直角三角形，4b = ae ,所以/e丄力3又因為平面abef c平面abcd = ab ,所以me丄平面4bcd , 所以me丄即ad. ab. /e兩兩垂直；如圖建立空間直角處標(biāo)系，(1)設(shè) ab = ,則 ae = 1, 3(0,l,0),d(l,0,0),e(0,0,l),c(l,l,0). fa = fe, zaef = 45° ,zh

3、fe =90°,從而f (0, 一丄丄)2 2ef = (0,-丄,一丄)，be = (0-1,1),sc = (1,0,0)2 21 *1 1 于是+廠礦0, ef.bcm ef a.be, ef a.bctbeu 平面 bce , bc u 平面 bce , bccbe = b :.ef丄平面bce（ii） "（0,0,護(hù)（中）,從而栩3,-舅）于是栩 ef = （-1- - 丄）.（0,，一丄） = 0 +丄一一 =02 2224 4:pm丄ef ,又ef丄平bce ,直線pm不在平面bce內(nèi)， 故平面bce2如圖，四棱柱abcd-ab、cd屮，力必丄底而abcd,四

4、邊形abcd為 梯形，ad/bc,且md=23c.過川，c, d三點(diǎn)的平面記為a, 與a的交點(diǎn) 為0d(1) 證明：0為bbi的中點(diǎn);(2) 求此四棱柱被平面a所分成上下兩部分的體積之比； 解析(1)證明：因為 bq/zaax，bc/ad,bcobq=b, adhaa=a,所以平面0bc平面aad,從而平面旳cd與這兩個平面的交線相互平行，即 qc/ad.故qbc與的對應(yīng)邊相互平行， 于是 qbc/aad, 所以器=寰=咒=務(wù)即0為b5的中點(diǎn).(2)如圖1所示，連接0, qd.設(shè)兒4=爪梯形的高為乩四棱柱被 平面a所分成上下兩部分的體積分別為7上和7下,bc=a,貝 ad=2a.=ahd,v三

5、棱錐 q 4/d=*x* 2a h d=ahd,r1 a+2dv 四棱.qabcd= n-7 所以 7三棱錐 q -aad+ vq_abcd=-ahd.3乂 7 四棱柱 /hbicqi abcdphd,o71 17所以 7 上=7 四棱柱/0icq ab cd- v v=ahdahd=ahd,故土=h7-3如圖，在棱長為2的正方體abcd-abxcd中，e, f, m, n分別是棱 ab, ad, 45, /qi的中點(diǎn)，點(diǎn)卩，0分別在棱qdi，bb.上移動，edp=bq =a(0<a<2).(1) 當(dāng)久=1時，證明:直線bc/平面efpq.(2) 是否存在兒使面efpq與面p0mv

6、所成的二面角為直二面角？若存在, 求岀久的值；若不存在，說明理由.解：方法一(幾何方法)：(1)證明：如圖，連接4d、,由abcd4、bcd是正方體，矢bc/ad. 當(dāng)久=1時，p是ddi的中點(diǎn)，乂 f是/d的中點(diǎn)，所以fp/adx,所以30 /fp.而u平面efpq,且bcq平面efp0,故直線bc/平面efp0.圖圖(2)如圖，連接因為e,尸分別是/b, /q的中點(diǎn)，所以ef力d且ef=*bd.乂 dp=bq, dpbq,所以四邊形pqbd是平行四邊形，巔pqbd,且pq=bd,從而ef/pq, 月.ef=*pq.在 rtaebq 和 r也fdp 中，因為 bq=dp=x, be=df=,

7、 于是eq=fp=p+2?,所以四邊形efpq也是等腰梯形.同理可證四邊形p0mv也是等腰梯形.分別取ef, pq, mv的中點(diǎn)為h, o, g,連接oh, og, 貝ij goa.pq, ho1pq,而 gocho=o,故a goh是而efpq與而p0mv所成的二而角的平而角.若存在久，使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角，則zgoh= 90°連接em, fn,則hef/mn,且知四邊形efnm是平行四邊形. 連接gh,因為h, g是ef, 的中點(diǎn)，所以 gh=me=2.在goh 中，gh4, 07/2=1+護(hù)一俘)2=og?= 1 + (2-2)2-(爭 =(2-久+*

8、,由 og2 + oh2gh,得(2久)2+*+護(hù)+*=4,解得久=1±,故存在2=1土半，使血efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角.方法二（向量方法）：以。為原點(diǎn)，射線d4, dc, 分別為x, y, z軸的正半軸建立如圖所 示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得5（2, 2, 0）, ci（0, 2, 2）, £（2, 1, 0）, f（l, 0, 0）, p（0, 0,久）.5ci = (-2, 0, 2), fp=(t, 0, a), fe=(, 1, 0).(1)證明：當(dāng)久=1 時，fp=(1, 0, 1), 因為5ci = (-2, 0, 2),所以淀i = 2壽，

9、即bcjfp.而ffu平面efpq,且bcm平面efpq,故直線bcj平面efpq.（2）設(shè)平而efpq的一個法向量為n = （x,尹，z）,則由fe /z=0,可得序悅=0x+y=0,x+zz=0.于是可取n = （a, 一久，1）同理可得平mnpq的一個法向量為加=（久一2, 2兒1）. 若存在兒 使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角, 則 m n （a2, 2久，1）（2,久，1）=0,即 2(22)久(2久)+1 =0,解得 2= 1± 2 故存在久=1土專，使面efpq與面pqmn所成的二面角為直二面角.4、如圖，在直三棱柱abc-ac,中，zacb = 90 e

10、,f,g分別是aaacbb,的中點(diǎn),圖4且cg丄cq .(1) 求證：cg/平而bef；(2) 求證：平面處f丄平面axcfi 證明：(1)連接力g交旋于z),連接df, eg . e , g分別是力4，3坊的屮點(diǎn)，?. ae / /bg且= /.四邊形是矩形是/g的中點(diǎn). 又 f是/c的中點(diǎn)，.df / icg , 則由dfu平而bef, cg(z平而3ef,得cg/平bef在直三棱柱abc-a.b.c.屮，cc丄底面/. c.c丄又 ycq = zacb = 90°,即 c且 丄 4g , g 丄平面 bgcb , 而 cg u 平面 bccb, &g 丄 cg ,又 c

11、g 丄 cq,由（1）矢口 df / icg , a 4c,丄 df,df 丄 c】g, .df丄平面£c|g ,dfu平面bef,平面丄平面4c|g5、如圖，在四棱錐p- abcd中，平面pao丄平面刃3 , bc/平面p/d , ad丄m , ap必為銳角三角形.(1) 求證：/d/平面pbc ；(2) 求證：平bl abcd丄平面pab .證明：(1) bc/平面, 乂 bcu 平面/bcd, 11 abcd a pad = ad ,圖5bc/ad ,乂 ad平面 pbc , 3cu 平面 pbc ,ad/ 平面 pbc ；(2)在平面mb內(nèi)，過b作b。丄刃，垂足為。點(diǎn)，平面刃

12、d丄平面pab ,平面padc平面pab = pa ,二30丄平 面 pad ,又./du平面以d, .bo丄4d ,/ pba為銳角三角形，:.bo與恥是兩條相交直線，且都在 平面pab內(nèi)，xv ad 丄/b, z. ad 丄平面/mb,乂 ad u平面abcd ,:.平面abcd丄平面pab6、如圖，在五面體abcdef中，四邊形力bcq是矩形，de丄 平面abcd.(1) 求證：ab / /ef ；(2) 求證：平而bcf丄平而cdef證明：(1)四邊形/bcd是矩形，:.abiicd, ab 平而cdef , cd <=平而cdef ,ab/平而 cdef 仙匸平面肋庖，平面/b

13、feci平面cdef = ef , ?. ab / /ef .(2) / de 丄平面/bcd, bcu 平面/bcd, de 丄 bc bc 丄 cd , cddde = d , cd,de u 平血 cdef , :. bc 丄平面 cdef . bc u平面bcf ,:.平面bcf丄平面cdef .7、如圖，四棱錐p-abcd中，底面mcd是菱形，zbad = , pa = pd , f為人d3的中點(diǎn),pd丄bf(1) 求證：4d丄pb ；(2) 若菱形/bcq的邊長為6, pa = 5f求四面體pbcq的體積；p(3)若點(diǎn)e在線段bc ±,且ec = -bc ,能否在棱3尸c

14、上找到一點(diǎn)g,使平面deg丄平面/bcq?并證明你 的結(jié)論.(1) 證明：連接pf, / pa = pd , f為如9的屮點(diǎn)，pf 丄 ad ,在底面菱形/bcd中，zbad旦,f為/d的中點(diǎn)，易得3bf 丄 ad ,又 pf, bf u 平面 pbf, ad 丄平面 pbf, fbu 平面 pbf, ad a.pb ;(2) 解：由(1)得 ef 丄 ad ,又/ pd 丄 bf ,ad, pd u 平rpad ,bf 丄平pad ,又bfu平而/bcd ,平而p4d丄平而/bcd,由(1)得pf丄ad ,平面血q 0平面abcd=ad ,:.pf丄平ihjmbcd ,pf就是p點(diǎn)到平面bcd的距離，在直角 ab4f 屮，pa = 5, af = 3 , z.pfa = 90°,貝 ljpf = 4,四面體的體積k = rp_5cp=|5a/?cd-pf = |x|x6x6xx4 = 12 ;(3) 解：棱pc上點(diǎn)g ：使平面deg丄平面mcd證明如下: gp 3連