復數(shù)的三種表示形式

1、2.3復數(shù)的二種表示形式通過前面的學習，我們知道在電工學關于交流電的 研 究中，電流、電壓等物理量都可用正弦型函數(shù)來描述 ，但是 解題時的計算過程卻相當復雜。當復數(shù)用三角形式 表示后， 處理這類問題就變得十分簡捷，從而確立了復 數(shù)在交流電 研究中的地位。在電工學中，正弦交流電的電壓為u二Umsmat + pu 而復數(shù)Ut= Um cos 初 + 0+i Um sin 初+礎的虛部恰 好 是電壓的表達式，因此可考慮利用復數(shù)的運算法那么進行正 弦 交流電的有關計算。復數(shù)的二種表示形式e復數(shù)的極坐標形式匕復數(shù)的指數(shù)形式復數(shù)的三角形式其屮，sin& =廠=J/ +b? ,cosO =冬,b 匕

2、 ',tanO = (QHO) r a任何一個復數(shù)Z=Q+方 i都可以表示成z=r(cose+isinO) 的形式。 我們把r(cose+isinO)叫做復數(shù)的三角形式。對應于復數(shù)的三角形式，把叫 做復數(shù)的代數(shù)形式例1將復數(shù)V3+i表示成二角形式。解：因為,b ,所以廠=J(Q+1=2,arg(75 + i) =£即卩y3+i = 2(col + z sin )6 6例2將復數(shù)2(cos-a + isi2)表示成代 數(shù)形式。解:"T + isin 辛)7171=2cos 仗-)+ i sin(/r) =2(col + i sin )33'亠庚？、=2(1 1

3、)2 2=1 + A/3Z例3復數(shù)一 2 込扌+ isi吟是不是復 數(shù)的三角形式，如果不是，把它表示成三角形解：不是復數(shù)的三角形式。z = -2(cos + zsin) 44=2(-cos -/sin)44=2cos(t + + i sin( 7F + )44=2(cosA + zsinj復數(shù)的極坐標形式兒bl1z=a+h=r/ 0r .丿<n1 Z>=rsin 0Oa=rcos3 x如下圖，設復數(shù)z =d +歷的模為廠，輻角為0,那么復數(shù)z=d+冬還可以用 zrze來表示，止匕時廠cosO, b = rsin<9o我們把乙=3稱為復數(shù)的極坐標形式。例1將復數(shù)z =箱-i用極

4、坐標形式表示出來。解：因為Z = A/3-i的模尸=J( 巧¥ +(_1)2 =2輻角-24半所以"2Z蟲7T例2將復數(shù)"3Z-F化為三角形式和代數(shù)形式。分析：因為冷的模是3,輻角是送解：“送冗71=3cose-) + Zsin(-) =3(cos -zsin)2 2=3(0 - /)=3i復數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e"=cos + isin ，任何一個復數(shù)Z=A(cosO+is in <9)都可以表示成z = re10的形式，我們把這種形式叫做復數(shù)的指數(shù)形式幕單位為/ i)=° 6 6 6、厶匕其中廠為復數(shù)的模，底數(shù)e=2.71828為無理數(shù)， 指數(shù)中的i為虛數(shù)單位，0為復數(shù)的輻角，弧度。 例如：L »l »rr 5 . . 5V2(cos+ 2sin?兀龍.?帀i石coszsi n = e '77和極坐例1把復數(shù) £ (cos 150 +isin 150 )表示為指數(shù)形式 標形式。2解:A-(cosl50： +i sin 150) = (cos 一 + i sin 一)2 2 6 62>