直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教學(xué)案例

1、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是高三復(fù)習(xí)專題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的第一課時圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，在整章的復(fù)習(xí)中，主要以課本知識系統(tǒng)為線索，全面、深刻地復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識、基本技能和其中蘊(yùn)涵的基本的數(shù)學(xué)思想方法本章內(nèi)容主要突出了解析幾何中的數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，函數(shù)思想，對應(yīng)和運(yùn)動變化思想等數(shù)學(xué)思想及定義法，待定系數(shù)法，參數(shù)法等常用的基本方法其中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要涉及的問題有直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷，求相交弦長，焦點(diǎn)弦長及中點(diǎn)弦等問題，主要考查數(shù)形結(jié)合，等價(jià)轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在解析幾何的學(xué)習(xí)中

2、已經(jīng)基本掌握了圓錐曲線的定義、方程、性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系等，具備了一定的知識基礎(chǔ)和分析問題、解決問題的能力本節(jié)課通過對方程組解的討論，鞏固用代數(shù)的方法來研究直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的問題，掌握直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系的判斷，進(jìn)一步領(lǐng)會用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)三、設(shè)計(jì)思想借助幾何畫板，運(yùn)用運(yùn)動變化的觀念，讓學(xué)生在直接觀察、運(yùn)動變化的過程中實(shí)現(xiàn)自主探究，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)讓學(xué)生能夠正確熟練1地解決直線和圓錐曲線位置關(guān)系的一些問題四、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能： 了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，能利用對方程組解的的討論來研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2、過程與方法： 在探究過程中 , 運(yùn)用數(shù)形

3、結(jié)合和方程的思想, 以運(yùn)動的觀點(diǎn)觀察問題， 思考問題，分析問題 , 進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)： 用代數(shù)的方法（對方程組解的討論）來研究直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)問題2、教學(xué)難點(diǎn)： 對直線與圓錐曲線僅有一個公共點(diǎn)時位置關(guān)系的應(yīng)用探究3、教學(xué)程序與設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)情境與以前所學(xué)知識類比，引起認(rèn)知上的沖突組織探究通過對一個討論題組的研究，鞏固研究問題的基本方法探索研究 在討論和探索中，進(jìn)一步鞏固基本的研究方法，發(fā)現(xiàn)容易出錯之處并引起重視鞏固反思師生交流共同小結(jié)，歸納一般方法及易錯點(diǎn)，解決課前提出的疑問2課后作業(yè)鞏固本節(jié)課的知識及方法4、教學(xué)儀器： 電腦，投影儀六、教學(xué)過程設(shè)

4、計(jì)情景一問題 1：直線與圓位置關(guān)系有相離，相切，相交三種如果把圓換成一般的圓錐曲線，又有怎樣的位置關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖： 與直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比，引起學(xué)生認(rèn)知上的沖突情景二 （幻燈片：討論題組1）1若直線 l 過點(diǎn)（0，1），則它與橢圓 x2y 21 的位置關(guān)系是 _422 過點(diǎn)（ 0 ， 1 ）且與拋物線 y 24x僅有一個公共點(diǎn)的直線方程為_3過點(diǎn)（ 0，1），斜率為2y21 只有一個公共點(diǎn)，5 的直線與雙曲線 xm則 m _問題 2：瀏覽之后想一想，你打算用什么方法來解決這幾個問題呢？設(shè)計(jì)意圖： 復(fù)習(xí)鞏固直線與圓錐曲線位置關(guān)系判斷的兩種方法，幾何法和代數(shù)法。問題解決： 第一個問題，學(xué)生

5、口答，用什么方法判斷的？題后反思： 抓住了點(diǎn)在橢圓內(nèi)這個特征，借助圖形迅速判斷3接下來兩個題，分組來解決 （講義準(zhǔn)備，分組解題；投影交流，教師補(bǔ)充板書）情景三 （切換幾何畫板）針對剛才的 2，3 兩個小題，結(jié)合圖形，讓學(xué)生意識到同樣是只有一個公共點(diǎn)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可能是相切也可能是相交回憶解題過程，相交直線的斜率從A0 得到，而切線的斜率是從0 得到從圖中看，當(dāng)兩個公共點(diǎn)重合時的直線就是切線，這與高三導(dǎo)數(shù)中切線的定義是一致的因此，這個題也可以用導(dǎo)數(shù)的方法來解決設(shè)計(jì)意圖用代數(shù)方法解決問題之后，再回到圖像，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和鞏固直線與圓錐曲線僅一個公共點(diǎn)時的位置情況情景四2討

6、論2：直線 l 過點(diǎn)（ 0， 2），交雙曲線2y1于 P1,P2兩點(diǎn)，且x2P1 A3AP2 ，求直線 l 的方程設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步鞏固用聯(lián)立方程韋達(dá)定理的方法來解決直線與圓錐曲線相交的一些問題問題解決分析：直線 l 與雙曲線交于兩個不同的點(diǎn)，因此聯(lián)立方程需滿足0 ；同時， P1 A3AP2 ，可以找到P1,P 2 坐標(biāo)之間的關(guān)系，用韋達(dá)定理來解決4求解：設(shè)直線方程為：ykx2 ，代入雙曲線方程得： (2 k 2 ) x 2因?yàn)橹本€與雙曲線交于兩個不同的點(diǎn)，因此有：2 k 20k2且22(4k) 24(2k 2 )(6)48 8k 26 k0設(shè) P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2, y

7、2 ) ， P1 A3AP2 ,x13x2 ，x1x 24k2x 22x24k2k2k 22則有，即：2，解得： k6226x1x22k23x23x22 k 2所求直線方程為 y62, 或 y62 3xx3回顧： 直線與圓錐曲線相交問題，別忘判別式！情景五 （師生討論）4kx6023討論 3：已知橢圓 x2y 21 ，直線 l : y 4 xm ，若橢圓上存在兩個不43同的點(diǎn)關(guān)于該直線對稱，求m 的取值范圍設(shè)計(jì)意圖經(jīng)過討論題組1 的 3 個問題和討論2 的探究和解決過程，學(xué)生已經(jīng)復(fù)習(xí)并鞏固了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法這個問題是對該方法的進(jìn)一步的應(yīng)用，使學(xué)生熟練和運(yùn)用這種思想，并用之培養(yǎng)學(xué)

8、生數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的能力問題解決分析：若存在P1 , P2 關(guān)于直線 l 成軸對稱，則直線l 是線段 P1 P2 的垂直平分線要根據(jù)這幾個條件，尋求它們與所求之間的聯(lián)系，設(shè)計(jì)自己的解題方案，然后再實(shí)施解題方案5求解：假設(shè)存在 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 關(guān)于直線 y4 xm 對稱P1 P2l ，kP1 P21 ， 可 設(shè)l P1 P 2 : y1 x b，代入 x2y21化簡得：444313 x28bx 16b248064(3912b 2 )0b 213x1 x24設(shè) P1 P2 的中點(diǎn)為M，則 xM4b,yM112b213xM b134將 M坐標(biāo)代入

9、直線 y4 xm 得： b13 m4b 2(13) 2 m213m242 13m2 1344131313回顧：先利用0 求出 b 的范圍，再找到 b與 m 的關(guān)系，從而求出 m 的取值范圍法二：假設(shè)存在P1 (x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 關(guān)于直線y4 xm 對稱，它們的中點(diǎn)為M (x0 , y0 )則： 3x124y1212(1)3x224 y2212(2)(1) (2)得： ky1y23 x014 x0 mx0m, y03mx1x24 y0y0 3x0 , 又 y04M ( m,3m)l P1 P2: y3m1 ( x m) ，代入橢圓方程得：13 x26mx169

10、m4840得：m242 13m2 1320 ，令2131313法三：, M (m,3m)在橢圓內(nèi)( m) 2( 3m) 2213213431m1313課時小結(jié)今天主要研究了直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)的情況直線： ax byc 02Bx C 0 (或A' y 2B' y C' 0)曲線： f ( x, y)Ax0（1）沒有公共點(diǎn)方程組無解i ) 相交A0（2）一個公共點(diǎn)A0 ,0ii ) 相切6（ ）兩個公共點(diǎn)A0,03問題 1：回顧整節(jié)課的過程，在討論中需要注意什么問題？有哪些是容易出錯的？問題 2：直線與圓錐曲線的公共點(diǎn)可能有三個或者四個嗎？設(shè)計(jì)意圖小結(jié)主要分兩個內(nèi)容，一

11、是方法上的總結(jié)，也就是本節(jié)課所研究的用方程的思想來解決直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的問題，另一個是易錯之處的強(qiáng)調(diào)，這個主要由學(xué)生提煉，加深印象另外，對本節(jié)課開始所提出的直線與圓錐曲線公共點(diǎn)是否可能有3 個或 4 個的疑問，加以解決。關(guān)注學(xué)生解決問題后的反思和總結(jié)，可以培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)交流數(shù)學(xué)的能力課后作業(yè)：1已知點(diǎn) D(0,2) ，橢圓 x 2y21 ，點(diǎn) M和 N在橢圓上，且滿足 DMDN ，2求實(shí)數(shù) 的取值范圍22y1 ，試問過點(diǎn) A(1,1) 能否作直線 l ，使它與雙曲2已知雙曲線方程 x2線交于 P1 , P2 兩點(diǎn)，且點(diǎn) A是線段 P1 P2 的中點(diǎn)？如果存在，求出它的方程；如果不存在，試說明理由設(shè)計(jì)意圖鞏固用方程的思想來解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法七、教學(xué)反思1本節(jié)課的設(shè)計(jì)緊扣解析幾何用代數(shù)方法研究幾何問題的本質(zhì)，數(shù)7形結(jié)合，以形助數(shù)，來研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，確切地說是它們公共點(diǎn)的個數(shù)通過對基本方法的鞏固教學(xué)，使學(xué)生能把學(xué)習(xí)知識、應(yīng)用知識、探索發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)良好的科學(xué)態(tài)度、思維品質(zhì)更好的結(jié)合起來，熟練掌握位置關(guān)系的判斷方法在教學(xué)及探索過程中，利用幾何畫板等多媒體工具， 使學(xué)生進(jìn)一步體會以形助數(shù)的思想，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和方程的思想, 以運(yùn)動的觀點(diǎn)觀察問