三個(gè)重要不等式

1、三個(gè)重要不等式目的：掌握三個(gè)重要不等式及其應(yīng)用重點(diǎn)、難點(diǎn)：綜合應(yīng)用三個(gè)重要不等式解決競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的不等式問題1、排序不等式2設(shè)有兩組數(shù)，滿，則有 （順序和） （亂序和） （逆序和）其中是的一個(gè)排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.證明 先證左端 設(shè)亂序和為,要最大,我們證明必須配,配,配,設(shè)配 ,配某個(gè),則有 這是因?yàn)?同理可證必配，必配，必配，所以 再證右端 又，由以上證明結(jié)論(亂 同)可得， 于是有 當(dāng)且僅當(dāng)或 時(shí)，等號(hào)成立. 證畢.2均值不等式設(shè)是正實(shí)數(shù)，則即,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.證明： 設(shè)，則為內(nèi)的上凸函數(shù) 由琴生不等式，得： 所以對(duì)于這個(gè)正數(shù)，應(yīng)用，得所以 所以成立 ,故 證畢.此外，均值不等式

2、還可用排序不等式、數(shù)學(xué)歸納法等其它方法證明，3、柯西不等式設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立證法一（數(shù)學(xué)歸納法）(1)當(dāng)全為零時(shí)，命題顯然成立.(2)當(dāng)數(shù)組不全為零時(shí)， 采用數(shù)學(xué)歸納法.1） 當(dāng)n=1時(shí)不等式成立2） 設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立.令則有3） 那么當(dāng)n=k時(shí) =當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上述，對(duì)證法二，作關(guān)于x的二次函數(shù)若則不等式顯然成立.若則又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)才成立例1、（1935年匈牙利奧林匹克）假設(shè)是正數(shù)的某個(gè)排列，證明：證明 1 不妨設(shè)，則由排序不等式(亂序逆序)得，例 設(shè)是個(gè)互不相同的自然數(shù)，證明：即 例23（第20屆imo試題） 設(shè)是個(gè)互不相等的自然數(shù)，證明：證法一 （用排序不等式）設(shè)是的一個(gè)排

3、序，且又 由逆序和亂序和得，又因?yàn)?所以 當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立. 即 證法二 （用柯西不等式）依題設(shè)是個(gè)互不相等的自然數(shù)，不妨設(shè)，則由柯西不等式有, 即 例12 設(shè)為任意正數(shù)，求出的最小值.解 不妨設(shè)，則,由排序不等式得，上兩式相加則，即 且當(dāng)僅當(dāng)時(shí)，取最小值.例1 ,求證: .證明: 由,且,得 ，又 故 例2 若 , ,求證: .證明 由 ，得 ，即 ，于是 因?yàn)?，所以 ， 故 .此題用柯西不等式也可求解例 設(shè)，求證：.證明 構(gòu)造均值不等式的模型由均值不等式，得 ， ， ， ， .將上述個(gè)不等式相加得，所以 .說明：該題的證明方法很多，也可以構(gòu)造柯西不等式的模型.：例 已知都是正數(shù)，試證：

4、.證明 構(gòu)造柯西不等式的模型構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組 利用柯西不等式，有 ，即 ，所以 . 說明：該題也可以構(gòu)造均值不等式的模型來求證.例13（1984年全國(guó)高中聯(lián)賽題）設(shè) 為正整數(shù)，求證：證明 由柯西不等式得，故例5設(shè)都是正數(shù)，且 求證證明 由柯西不等式有又 例6設(shè)均為實(shí)數(shù)。且 求證：對(duì)于，有證明 有柯西不等式有 即于是由已知有類似地可知對(duì)有例4 設(shè)求證：（第36屆tmo試題）證明： 證畢.例9 設(shè)為正整數(shù) ，且，滿足求證：，并確立等號(hào)成立的條件?證明：令 由均值不等式，得： 由均值不等式，得：從而不等式成立 故,當(dāng)且時(shí)不等式成立.以上兩題反復(fù)兩次應(yīng)用均值不等式，巧妙地簡(jiǎn)化了題難度.例11 設(shè)（）都是正數(shù)，且求證：證明1：=- =- 由柯西不等式，有： = 由于對(duì)個(gè)整數(shù)，,所以 即 應(yīng)用上面這些結(jié)論可得：=- 所以 證畢.證明 2 不妨設(shè)，則有 令同序和為s， 則 由排序不等式（同亂），將