醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)：第1章曲線與曲面第4節(jié) 曲線的表示形式

1、)()()()( )()(aFbFdxxfabfafbfba數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group第一章 曲線與曲面第一節(jié) 空間形式概述第二節(jié) 平面與空間直線的方程第三節(jié) 曲面及其方程 第四節(jié) 曲線的表示形式2021年12月6日星期一數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2第四節(jié) 曲線的表示形式曲線的表示形式一、平面曲線一、平面曲線1.一般形式一般形式2. 參數(shù)形式參數(shù)形式二、空間曲線二、空間曲線1.一般形式一般形式2. 參數(shù)形式參數(shù)形式數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathema

2、tics & Bioinformatics Group 3 給定方程如何知道其是怎樣的曲線, 或是給定的曲線如何建立其方程. 一、平一、平面面曲線曲線在科學(xué)研究中在科學(xué)研究中, , 結(jié)果的準(zhǔn)結(jié)果的準(zhǔn)確表達(dá)形式之一是各式各確表達(dá)形式之一是各式各樣的曲線。因此讀懂曲線、樣的曲線。因此讀懂曲線、根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制曲線、根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制曲線、用數(shù)學(xué)公式表示這些曲線、用數(shù)學(xué)公式表示這些曲線、用科學(xué)理論闡述這些公式用科學(xué)理論闡述這些公式或曲線是基本的科學(xué)素養(yǎng)?；蚯€是基本的科學(xué)素養(yǎng)。年 齡100806040200BMD.800.700.600.500.400.300.200.100男 性 尺 骨三次

3、回歸模型最大值函數(shù)回歸模型圖圖1-23骨密度與年齡變化的關(guān)系曲線骨密度與年齡變化的關(guān)系曲線:隨年齡增加骨密度由低隨年齡增加骨密度由低變高，到變高，到40歲左右達(dá)到峰值而后緩慢走低歲左右達(dá)到峰值而后緩慢走低OGTT中血糖曲線（左）、血胰島素曲線（右）中血糖曲線（左）、血胰島素曲線（右）.曲線顯示血糖曲線顯示血糖濃度高時(shí)、體濃度高時(shí)、體內(nèi)血胰島素對內(nèi)血胰島素對應(yīng)較高，隨時(shí)應(yīng)較高，隨時(shí)間推移血糖、間推移血糖、血胰島素穩(wěn)恒血胰島素穩(wěn)恒于正常水平于正常水平數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 41、一般方程、一般方程 含有x, y等式F(x,

4、 y)=0 都可以表示平面曲線，稱之為平面曲線的一般方程. 一、平一、平面面曲線曲線63222 yx63222 yx; 0cos, 0sinxyxy 一元函數(shù)一元函數(shù)(顯函數(shù)顯函數(shù))y=f(x)的圖像的圖像; 由等式由等式F(x,y)=0確定的一元函數(shù)確定的一元函數(shù)(隱函數(shù)隱函數(shù))的圖像的圖像;數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 5平面曲的參數(shù)方程是含有一個參數(shù)的2個方程組成.),(),(btatytx2、參數(shù)形式、參數(shù)形式如果曲線的方程為y=f(x)的形式，則可以看作是一種特殊的參數(shù)方程，這只要將自變量 看作參數(shù),即寫成)(,t

5、fytx對于一般方程如何得到其參數(shù)方程，沒有固定方法，可以根據(jù)方程形式尋求不同的參數(shù)來得到.同一曲線可由不同的參數(shù)方程表示。數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 62、參數(shù)形式、參數(shù)形式例例 2. 過過定圓直徑的一端O作一弦交圓于P1，過圓的直徑另一端A作圓的切線和OP1的延長線交于P2，設(shè)P1在OA上的投影為C，P2在CP1 上的投影為P，求P的運(yùn)動軌跡. 數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 72、參數(shù)形式、參數(shù)形式例例 2. 過過定圓直徑的一端O作一弦交圓于P1，過

6、圓的直徑另一端A作圓的切線和OP1的延長線交于P2，設(shè)P1在OA上的投影為C，P2在CP1 上的投影為P，求P的運(yùn)動軌跡. 數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 82、極坐標(biāo)極坐標(biāo)形式形式.cos,cosyx 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系(polar coordinate system)是按照如下方法建立的：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)作為原點(diǎn)O，也叫極點(diǎn)極點(diǎn)(pole)，引一條射線Ox，叫做極軸極軸(polar axes). 再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向). 對于平面內(nèi)一點(diǎn)P，用 表示線段OP的長度, 表示從Ox到OP的角度. 叫

7、做點(diǎn)P的極半徑極半徑(polar radius)，角 叫做點(diǎn)P的極角極角(polar angle). 于是，一個點(diǎn)P也與一個有序?qū)崝?shù)對 (，) 對應(yīng). 有序?qū)崝?shù)對 (，) 叫做點(diǎn)P的極坐標(biāo)極坐標(biāo)(polar coordinates). 顯然，點(diǎn)顯然，點(diǎn) (，) 與點(diǎn) (，2) 表示同一個點(diǎn).arctan,22xyyx數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 9曲線的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程(Polar Equation)2、極坐標(biāo)極坐標(biāo)形式形式0),(F)(f 或根據(jù)點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性，一條曲線的極坐標(biāo)方程形式也不唯一,例如20,cos11

8、,cos11和表示同一曲線.數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 10曲線的極坐標(biāo)方程2、極坐標(biāo)極坐標(biāo)形式形式)(),( f 可以轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程 )(sin)(,cos)(fyfx例如數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 11 用用matlab畫平面曲線畫平面曲線畫出如下曲線畫出如下曲線;3sin2sinsinxxxy在在matlab界面鍵入界面鍵入在在matlab界面鍵入界面鍵入 x=-2*pi:0.01:2*pi; y=sin(x)+sin(2*x)+sin(3*x)

9、; plot(x,y) x=-50:0.01:50; y=x*.sin(x); plot(x,y)-8-6-4-202468-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5畫出曲線畫出曲線;sin xxy -50-40-30-20-1001020304050-50-40-30-20-1001020304050數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12 用用matlab畫平面曲線畫平面曲線; , 0 ,3cos5cos6,3cos5costttyttx;sin3sin,cos3sin,3sinttyttx其參數(shù)形式為在在mat

10、lab界面鍵入界面鍵入在在matlab界面鍵入界面鍵入 t=0:0.01:pi; x=cos(t)+5*cos(3*t); y=6*cos(t)-5*cos(3*t); plot(x,y) t = 0:0.01:pi; x=sin(3*t).*cos(t); y=sin(3*t).*sin(t); plot(x,y)或 t = 0:0.01:pi; polar(t,sin(3*t)-6-4-20246-10-8-6-4-20246810-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathemati

11、cs & Bioinformatics Group 131一般形式一般形式二、二、空間曲線空間曲線空間曲線可以看作是兩個曲面的交線，因此空間曲線的一般方程為. 0),(, 0),(zyxGzyxF.)21()21(,122222yxyxz數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 142參數(shù)參數(shù)形式形式二、二、空間曲線空間曲線空間曲線的參數(shù)方程為 .),(),(),(btatzztyytxx)0(,21sin,cos0200ttgttvzatytvx例如)60(,sin,costbtztaytax各代表什么運(yùn)動、其運(yùn)動軌跡是什么？

12、數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 15用用matlab畫空間曲線畫空間曲線二、二、空間曲線空間曲線)60(,sin2,cos2tbtzatyatx1 螺旋線（分別取ab為不同的值，觀察曲線形狀的差異）2 螺線)60(,)(sin12,)(cos1233ttztytx在在matlab界面鍵入界面鍵入在在matlab界面鍵入界面鍵入 a=1;b=2;t=linspace(0,6*pi,500); plot3(2*cos(a*t),2*sin(a*t),b*t); t=linspace(0,6*pi,500); plot3(12*cos(t).3,12*sin(t).3,t);-2-1012-2-1012010203040-15-10-5051015-15-10-505101505101520數(shù)學(xué)與生物信息學(xué)教研室Mathematics & Bioinformatics Group 16用用matlab畫空間曲線畫空間曲線二、二、空間曲線空間曲線LET ME TRY: 用用matlab畫出畫出DNA雙螺旋曲線雙螺旋曲線3 曲線)120(,sin9),(si