05第五節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1、第五節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分布圖示隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 3 例 1 例 4 例 2 例 5對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例 6例 7 例 8 例 9由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 10例 11 例 12 例 13 *相關(guān)變化率例 14 內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題 2-5內(nèi)容要點(diǎn)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)假設(shè)由方程 F(x,y)=O 所確定的函數(shù)為 y=y(x)，則把它代回方程 F(x,y)=O 中，得到 恒等式F(x,f(x)三0dydx 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，在上式兩邊同時(shí)對(duì)自變量x 求導(dǎo)，再解出所求導(dǎo)數(shù)是隱函數(shù)求導(dǎo)法.，這就二、 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：形如 y=u(x)v(x)的函數(shù)稱為幕指函數(shù).直接使用前面介紹的求導(dǎo) 法則不能求出幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

2、對(duì)于這類函數(shù)，可以先在函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，然后 在等式兩邊同時(shí)對(duì)自變量 x 求導(dǎo)，最后解出所求導(dǎo)數(shù).我們把這種方法稱為對(duì)數(shù) 求導(dǎo)法.三、參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)? x=?(t)? y=書(，)x= ?(t)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù) t=?-1(x),則變量 y 與 x 構(gòu)成復(fù)合函數(shù) dy關(guān)系 y 珂?1(x).且 dy=. dxdxdt例題選講 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 1(E01)求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).ysin x-cos(x-y)=0.解在題設(shè)方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量 x 求導(dǎo)，得ycosx+sin? dydx+sin(x-y)? (1-dydx)=O整理得sin(x-y)-sinx解得dydx=

3、dydx=s in( x-y)+ycosx sin( x-y)+ycosxsin (x-y)-si nx.例 2 求由方程 xy-ex+ey=O 所確定的隱函數(shù) y 的導(dǎo)數(shù) 解方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo),y+xdydx-e+exydydx,dydxx=O. dydx=O解得 dydx=e-yx+eyx,由原方程知 x=O,y=O,所以dydx|x=O=e-yx+eyx=Oy=Ox=1.例 3 (EO2)求由方程 xy+Iny=1 所確定的函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) M(1,1)處的切線方程.解在題設(shè)方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量 x 求導(dǎo)，得y+xy+1yy=O 解得 y=-y2xy+1在點(diǎn) M(1,1)處，yx

4、=1y=1= -121? 1+仁-12于是，在點(diǎn) M(1,1)處的切線方程為y-1=-12(x-1)，即 x+2y-3=0.44 例 4 設(shè) x-xy+y=1,求 y在點(diǎn)(0,1)處的值.解方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得 4x-y-xy+4yy=0,(1)33代入 x=0,y=1 得 yx=0y=1= 14;將方程(1)兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)得 12x2-2y-xy+12y2(y)2+4y3y=0,14116 代入 x=0,y=1,yx=0y=1=得 y”x=0y=1二-.例 5 (E03)求由下列方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).y-2x=(x-y)l n( x-y).x-y)+(x-y)解 y-2=(1-y

5、)l n(12+ln(x-y)1-yx-y, y=1 +? 12+ln(x-y)1-y(代入 y) ? =-=-y=(y)= 22 2+ln(x-y) ? 2+ln(x-y)(x-y)2+ln(x- y)?=1(x-y)2+ln (x-y)3.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法例 6 (E04)設(shè) y=xsinx(x0),求 y.解等式兩邊取對(duì)數(shù)得兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得1yy=cosx? Inx+sinx? 1x, 1? sinx? sinx? cosx? lnx+? . y=y cosx? lnx+sinx? ? =xxx?例 7 (E05)設(shè)(cosy)x=(sinx)y，求 y.解在題設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù) xlncos

6、y=ylnsinx 等 式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得In cosy-xs inycosy? y=ylnsinx+y ? cosysinx.解得y=ln cosy-ycotxxta ny+lnsinx.例 8 (E06)設(shè) y=(x+1)x-1(x+4)e2x3,求 y.解等式兩邊取對(duì)數(shù)得ln y=l n(x+1)+13l n(x-1)-2l n(x+4)-x,上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得yy=1x+1+13(x-1)-2x+4-1, ? (x+1)x-1 ? 112+-1Ay=? ? . 2xx+13(x-1)x+4(x+4)e? ? 例 9 (E07)求導(dǎo)數(shù)y=x+xx+xx.解 y=x+ex In x

7、+exxx Inx,Ay=1+exlnx? (xlnx)+exxxlnxx ? (xlnx)=1+x(lnx+1)+xx-1xxxx(x) ? Inx+x ? (Inx) xx=1+x(l nx+1)+xxx(lnx+1)l nx+xx.參數(shù)方程表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 10 (E08)求由參數(shù)方程？dy2t2? x=arctant? y=ln(1+t)2 所表示的函數(shù) y=y(x)的導(dǎo)數(shù).解 dy=dt=1+t dx1dxdt1+t=2t. 2例 11 求由擺線的參數(shù)方程？dy? x=a(t-sint)? y=a(1-cost)所表示的函數(shù) y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).解 dyasintsint=dt

8、=(t工 2 厲n)dxdxa-acost1-costdtdydx22=d? dy? d? sint? d? sint? 1 ? = ? ? =dx? 1-cost? dt? 1-cost? dxdx? dx? dt11-cost? 1a(1-cost)=-1a(1-cost)2=-(t豐2n 氏 Z).? x=acos3t 例 12 求方程？表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).3? y=asint dydy3as in tcost=dt=-ta nt,2dxdx3acost(-s int)dt2 解dydx22=ddx(dydx)=ddt(dydx)dxdt=(-ta nt)(acost)3=-sext-

9、3acos22ts in t=sec4t3asi nt.? x=t-t2例 13 (E09)求由參數(shù)方程？所表示的函數(shù) y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).3y=t-t?dydy3t-1dt=dxdx2t-1dt22 解,dydx222d? dy? d? 3t-1?d? 3t-1? 1 ? = ? = ? = ? dxdx? dx? dx? 2t-1 ? dt? 2t-1? dt6t2-6t+2211-2t(2t-1)=-6t2-6t+23. (2t-1)例 14河水以 8米 3/秒的體流量流入水庫(kù)中,水庫(kù)形狀是長(zhǎng)為 4000米,頂角為 120?的水槽，問(wèn)水深 20 米時(shí),水面每小時(shí)上升幾米？解如圖,V(t)=4000上式兩