解三角形全章復(fù)習(xí)鞏固

1、解三角形全章復(fù)習(xí)鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2掌握三角形面積公式，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；3能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理、面積公式等知識(shí)和方法解決一些及測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用解三角形正弦定理面積公式余弦定理【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：三角形中的邊及角之間的關(guān)系約定：的三個(gè)內(nèi)角、所對(duì)應(yīng)的三邊分別為、.1邊的關(guān)系：(1) 兩邊之和大于第三邊：，；兩邊之差小于第三邊：，；(2) 勾股定理：中，.2角的關(guān)系：中，,=（1）互補(bǔ)關(guān)系：（2）互余關(guān)系：3直角三角形中的邊及角之間的關(guān)系中，（如圖），有：知識(shí)點(diǎn)二：正弦定理、余弦定理1.

2、正弦定理：在個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等即：（為的外接圓半徑）2. 余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊及它們夾角的余弦的積的兩倍。即：要點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一.（2）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題：已知兩個(gè)角及任意邊，求其他兩邊和另一角；已知兩邊和其中邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊.（3）利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問(wèn)題：已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個(gè)角；已知三角形的三條邊，求其三個(gè)角.(4) 利用余弦定理判斷三角形形狀：勾股定理是余弦定理的特殊情況，.在中，所以為銳角；若

3、，同理可得角、為銳角.當(dāng)，都成立時(shí)，為銳角三角形在中，若，所以為鈍角，則是鈍角三角形同理：若，則是鈍角三角形且為鈍角； 若，則是鈍角三角形且為鈍角知識(shí)點(diǎn)三：解斜三角形的類型1.已知兩角一邊，用正弦定理，有解時(shí)，只有一解.2.已知兩邊及其一邊的對(duì)角，用正弦定理，有解的情況可分為以下情況，在中，已知和角時(shí)，解的情況如下： (1)若A為銳角時(shí)：如圖：(2)若A為直角或鈍角時(shí)：3.已知三邊，用余弦定理有解時(shí)，只有一解.4.已知兩邊及夾角，用余弦定理，必有一解.要點(diǎn)詮釋：1在利用正弦定理理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解情況，應(yīng)結(jié)合

4、圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷解的情況，作出正確取舍.2在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系或邊邊關(guān)系，再用三角變換或代數(shù)式的恒等變換（如因式分解、配方等）求解，注意等式兩邊的公因式不要約掉，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)漏掉一種形狀的可能知識(shí)點(diǎn)四：三角形面積公式 1（表示邊上的高）；2；知識(shí)點(diǎn)五：實(shí)際問(wèn)題中的常用角1. 仰角和俯角及目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示：2.方位角：一般指正北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角. 方位角的取值范圍為0°

5、;360°.如圖，點(diǎn)的方位角是。3.坡角和坡度坡面及地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。【典型例題】類型一、正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用【高清課堂：正、余弦定理及解三角形401223例1】例1. 在ABC中，AB2，AC3，則BC()A. B. CD. 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出示意圖，注意向量數(shù)量積的夾角是.【答案】A【解析】， ,由余弦定理有，從而B(niǎo)C.【總結(jié)升華】本題主要考查余弦定理以及三角形中有關(guān)的向量和三角函數(shù)的應(yīng)用.舉一反三：【變式1】(2019北京高考)在ABC中，a1，b2，則c；sinA【答案】在A

6、BC中，a1，b2，由余弦定理得：c2a2b22abcosC1414，即c2；，C為三角形內(nèi)角，由正弦定理得：故答案為：2；【變式2】在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c。若，則A=（ ）A30° B60° C120° D150°【答案】A【解析】，在ABC中，A=30°.例2. 在中，試確定滿足下列條件的三角形的形狀。（1）； （2）；（3），且.【思路點(diǎn)撥】（1）考慮用正弦定理將邊化為角；（2）正弦、余弦定理都可以選用；（3）由可以先化簡(jiǎn)，再考慮用余弦定理.【解析】（1）由得，整理得：即，同理可得，所以為等邊三角形.（2）方法一

7、：化邊為角由正弦定理得：即，即或，即或故為等腰三角形或直角三角形。方法二：化角為邊由余弦定理得整理得：，即或故為等腰三角形或直角三角形。（3）即又，即即故是正三角形.【總結(jié)升華】依據(jù)正、余弦定理定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若在式子中出現(xiàn)的為及邊相關(guān)的一次式，則一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，則需要有較高的恒等變形能力（比如第2小題）；若在式子中出現(xiàn)的為及邊相關(guān)的二次式，則一般多用余弦定理.舉一反三：【變式1】已知ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀【答案】為等腰直角三角形【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC， sinB=sinC

8、 B=C由得三角形為等腰直角三角形【變式2】在ABC中，若，則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B等腰或直角三角形 C不能確定 D等腰三角形 【答案】B【解析】類型二、有關(guān)解三角形的綜合應(yīng)用例3. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，b=2，求ABC的面積S.【思路點(diǎn)撥】（1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理后求得sinC及sinA的關(guān)系式，則的值可得；（2）先通過(guò)余弦定理可求得a和c的關(guān)系式，同時(shí)利用（1）中的結(jié)論和正弦定理求得a和c的另一個(gè)關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a和c，利用三角形面積公式即可得面積S.【解析】（1）由正弦定理，設(shè)，則

9、，所以.即，化簡(jiǎn)可得sin（A+B）=2sin（B+C）.又A+B+C=，所以sinC=2sinA.因此.（2）由得c=2a.由余弦定理b2=a2+c22ac cosB及，b=2，得，解得a=1，從而c=2.又因?yàn)椋?B，所以.因此.【總結(jié)升華】處理三角形中的三角函數(shù)求值時(shí)，要注意角的范圍及三角函數(shù)符號(hào)之間的聯(lián)系及影響.本題主要考查了解三角形和三角函數(shù)中恒等變換的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本分析能力及計(jì)算能力.舉一反三：【變式1】在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，設(shè)滿足條件和，求和的值【解析】由余弦定理，因此，在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理解得從而【變式

10、2】中，則的周長(zhǎng)為（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】例4.(2019 遼寧高考)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ac，已知2，cosB，b3，求：()a和c的值；()cos(BC)的值【答案】() a3，c2，()【思路點(diǎn)撥】（1）由平面向量的數(shù)量積，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）畫(huà)出簡(jiǎn)易圖，將已知條件在圖上標(biāo)出來(lái)，運(yùn)用正弦定理求得角的正弦值.【解析】()2，cosB，cacosB2，即ac6，b3，由余弦定理得：b2a2c22accosB，即9a2c24，a2c213，聯(lián)立得：a3，c2；()在ABC中，sinB，由正弦定理得：sinCsin

11、B，abc，C為銳角，cosC，則cos(BC)cosBcosCsinBsinC×【總結(jié)升華】解答該類題目要注意以下幾個(gè)方面：（1）借助圖形標(biāo)注已知和所求；（2）利用三角形的性質(zhì)把相關(guān)條件化歸到同一個(gè)三角形中；（3）注意靈活利用正、余弦定理，實(shí)施邊、角互化.舉一反三：【高清課堂：正、余弦定理及解三角形401223例5】【變式】在ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且 （）求A的大??；（）求的最大值.【答案】（），（）1例5. 如圖，A，B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn). 現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救

12、信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且及B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多少時(shí)間？【思路點(diǎn)撥】在DAB中，由正弦定理得，由此可求得；然后在DAB中，由余弦定理可求得CD；最后根據(jù)時(shí)間=路程速度，即可求得該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間. 準(zhǔn)確找出題目中的方向角是解題的關(guān)鍵之處.【解析】由題意知（海里），DBA=90°60°=30°，DAB=90°45°=45°，ADB=180°(45°+30°)=105°，在DAB中，由正弦定理得，（海里）.又DBC=DBA+ABC=30°+(90°60°)=60°，海里，在DBC中，由余弦定理得CD=30（海里），則需要的時(shí)間（小時(shí)）.【總結(jié)升華】對(duì)圖形進(jìn)行有效的分析，便于使用正