初三數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、. . jz* 二次函數(shù)綜合題型精講精練題型一：二次函數(shù)中的最值問題例 1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過 a 2， 4 ，o0，0 ，b2， 0三點(diǎn)1求拋物線y=ax2+bx+c 的解析式；2假設(shè)點(diǎn)m 是該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求am+om的最小值解析：1把 a 2， 4 ，o0，0 ，b2， 0三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c 中，得解這個(gè)方程組，得a=，b=1， c=0 所以解析式為y=x2+x2由 y=x2+x= x12+，可得拋物線的對稱軸為x=1，并且對稱軸垂直平分線段ob om=bm om+am=bm+am 連接 ab 交直線 x=1 于 m 點(diǎn)，那

2、么此時(shí)om+am 最小過點(diǎn) a 作 an x 軸于點(diǎn) n，在 rtabn 中， ab=4，因此 om+am最小值為方法提煉：一條直線上一動點(diǎn)m 和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)a、b，求 am+bm 最小值的問題，我們只需做出點(diǎn) a 關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)a，將點(diǎn) b 與 a連接起來交直線與點(diǎn)m，那么 ab 就是 am+bm的最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn)b 關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)b，將點(diǎn) a 與 b連接起來交直線與點(diǎn)m，那么ab就是 am+bm 的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。a a b b m 或者ma b例 2：拋物線1c的函數(shù)解析式為23 (0)yaxbxa b，假設(shè)拋物線1c經(jīng)過點(diǎn)(0,3

3、)，方程230axbxa的兩根為1x，2x，且124xx。1求拋物線1c的頂點(diǎn)坐標(biāo) . 2實(shí)數(shù)0 x，請證明：1xx2,并說明x為何值時(shí)才會有12xx. 3假設(shè)拋物線先向上平移4 個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線2c，設(shè)1(,)a m y，2( ,)b n y是2c上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：090aob，0m，0n.請你用含有m的表達(dá)式表示出aob的面積s，并求出s的最小值及s取最小值時(shí)一次函數(shù)oa的函數(shù)解析式。解析： 1拋物線過,點(diǎn)，3aax2bxx2bx =的兩根為x1,x2且21x-x. . jz* 21221214)(xxxxxx且bbx2xx拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，2x，0)1(21

4、2xxxx,21xx顯然當(dāng)x時(shí)，才有,21xx3方法一：由平移知識易得的解析式為： yx2(m，m)，bn，naob為 rtoa+ob=abmmnnmnmn化簡得：m naob=oboa ?21=424221nnmm?m naob22221221221mmnm1221121)1(212mmmmaob的最小值為，此時(shí)m ,( ,) 直線oa的一次函數(shù)解析式為x方法提煉：一元二次方程兩個(gè)根x1,x2,求 |x1-x2| 。因?yàn)?|x1-x2| =212214xx)x(x可得到：根公式根據(jù)一元二次方程的求;24;242221aacbbxaacbbx.;2121acxxabxx，取得最小值。時(shí)，當(dāng)21

5、1);(,21mmmommm例 3：如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)a 1，0 、b3，0 、c0，3三點(diǎn)1求拋物線的解析式2點(diǎn) m 是線段 bc 上的點(diǎn)不與b， c 重合 ，過 m 作 mn y 軸交拋物線于n，假設(shè)點(diǎn)m 的橫坐標(biāo)為m，請用 m 的代數(shù)式表示mn 的長3在 2的條件下，連接nb、 nc，是否存在m，使 bnc 的面積最大？假設(shè)存在，求m 的值；假設(shè)不存在，說明理由解析：1設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+1 x3 ，那么：a0+1 0 3=3，a=1；拋物線的解析式：y= x+1 x3=x2+2x+3 2設(shè)直線bc 的解析式為：y=kx+b ，那么有：，. . jz* 解得；故直線 bc 的解

6、析式： y=x+3點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為m，那么 mm， m+3 、n m， m2+2m+3 ；故 mn= m2+2m+3 m+3= m2+3m0 m 3 3如圖；s bnc=s mnc+s mnb=mn od+db =mn ob，s bnc= m2+3m 3= m2+0m3 ；當(dāng) m=時(shí)， bnc 的面積最大，最大值為方法提煉：因?yàn)閎nc 的面積不好直接求，將bnc 的面積分解為mnc 和 mnb 的面積和。然后將bnc 的面積表示出來，得到一個(gè)關(guān)于m 的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：

7、二次函數(shù)與三角形的綜合問題例 4： 如圖，： 直線3xy交 x 軸于點(diǎn) a， 交 y 軸于點(diǎn) b， 拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過 a、b、c1， 0三點(diǎn) . 1求拋物線的解析式; 2 假設(shè)點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 -1， 0 ， 在直線3xy上有一點(diǎn) p,使 abo與 adp相似，求出點(diǎn)p 的坐標(biāo)；3 在 2的條件下， 在 x 軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)e， 使 ade的面積等于四邊形apce 的面積？如果存在，請求出點(diǎn)e 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由解： 1 ：由題意得，a3，0 ，b0，3拋物線經(jīng)過a、b、c 三點(diǎn)，把a(bǔ)3，0， b0，3，c 1，0三點(diǎn)分別代入2yaxbxc得方程組030

8、39cbaccba解得：341cba拋物線的解析式為243yxx2由題意可得：abo 為等腰三角形,如下圖，假設(shè)abo ap1d，那么1dpobadao dp1=ad=4 , p1(1,4)假設(shè)abo adp2 ，過點(diǎn) p2作 p2 m x 軸于 m，ad=4, abo 為等腰三角形, adp2是等腰三角形 ,由三線合一可得：dm=am=2= p2m，. . jz* 即點(diǎn) m 與點(diǎn) c 重合p2 1，23如圖設(shè)點(diǎn)e ( ,)x y，那么|2|21yyadsade當(dāng) p1(-1,4)時(shí)，s四邊形ap1ce=s acp1+sace |2214221y= 4y24yy4y點(diǎn) e 在 x 軸下方4y代

9、入得：2434xx,即0742xx =(-4)2-47=-120 此方程無解當(dāng) p21，2時(shí)， s四邊形 ap2ce=s三角形 acp2+s三角形ace = 2y22yy2y點(diǎn) e 在 x 軸下方2y代入得：2432xx即0542xx， =(-4)2-45=-40 此方程無解綜上所述，在x 軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)e。方法提煉：求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個(gè)動點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個(gè)動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來求這個(gè)動點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接

10、求不好求的時(shí)候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例 5：如圖，點(diǎn)a 在 x 軸上， oa=4 ，將線段oa 繞點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至 ob 的位置1求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；2求經(jīng)過點(diǎn)ao、b 的拋物線的解析式；3在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)p，使得以點(diǎn)p、 o、 b 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由解析：1如圖，過b 點(diǎn)作 bcx軸，垂足為c，那么bco=90， aob=120， boc=60，又 oa=ob=4 ， oc=ob= 4=2， bc=ob?sin60 =4 =2，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為 2， 2 ；2拋物線過原點(diǎn)o 和點(diǎn) a

11、b，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx ，將 a4，0 ，b 2 2代入，得，. . jz* 解得，此拋物線的解析式為y=x2+x 3存在，如圖，拋物線的對稱軸是x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為d，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 2，y ，假設(shè) ob=op ，那么 22+|y|2=42，解得 y=2，當(dāng) y=2時(shí)，在 rt pod中，pdo=90， sin pod=， pod=60， pob= pod+ aob=60 +120 =180 ，即 p、o、b 三點(diǎn)在同一直線上， y=2不符合題意，舍去，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 2， 2假設(shè) ob=pb ，那么 42+|y+2|2=42，解得 y= 2，故點(diǎn)

12、p 的坐標(biāo)為 2， 2 ，假設(shè) op=bp ，那么 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 2， 2 ，綜上所述，符合條件的點(diǎn)p 只有一個(gè)，其坐標(biāo)為2， 2 ，方法提煉：求一動點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€(gè)三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例 6：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3 與 x 軸交于 ab 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) c，點(diǎn) d 是該拋物線的頂點(diǎn)1求直線ac 的解析式及b，d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2點(diǎn) p 是

13、x 軸上一個(gè)動點(diǎn)，過p 作直線 l ac交拋物線于點(diǎn)q，試探究：隨著p 點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在點(diǎn)q，使以點(diǎn) ap、q、c 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn) q 的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由3請?jiān)谥本€ac 上找一點(diǎn)m，使bdm的周長最小，求出m 點(diǎn)的坐標(biāo)解析：1當(dāng) y=0 時(shí)， x2+2x+3=0 ，解得 x1=1，x2=3點(diǎn) a 在點(diǎn) b 的左側(cè)，ab 的坐標(biāo)分別為1， 0 ， 3，0 當(dāng) x=0 時(shí)， y=3c 點(diǎn)的坐標(biāo)為0，3設(shè)直線 ac 的解析式為y=k1x+b1 k10 ，那么，. . jz* 解得，直線 ac 的解析式為y=3x+3 y=x2+2x

14、+3= x12+4，頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)為 1，4 2拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)q，當(dāng)點(diǎn) q 在 q1位置時(shí)， q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)q1的坐標(biāo)為 2，3 ；當(dāng)點(diǎn) q 在點(diǎn) q2位置時(shí)，點(diǎn)q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)q2坐標(biāo)為 1+， 3 ；當(dāng)點(diǎn) q 在 q3位置時(shí)，點(diǎn)q3的縱坐標(biāo)為 3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)q3的坐標(biāo)為 1， 3 ；綜上可得滿足題意的點(diǎn)q 有三個(gè)，分別為：q12，3 ，q21+， 3 ，q31， 3 （3）點(diǎn) b 作 bb ac 于點(diǎn) f，使 bf=bf ，那么 b為點(diǎn) b 關(guān)于直線ac 的對稱點(diǎn)連接 bd 交直線 ac 與點(diǎn) m，那么點(diǎn)m 為所求，過點(diǎn) b作

15、bex 軸于點(diǎn) e 1 和 2 都是 3 的余角， 1=2rtaoc rtafb，由 a 1，0 ，b3， 0 ，c0，3得 oa=1 ，ob=3 ，oc=3 ，ac=， ab=4，bf=，bb=2bf=，由 1=2 可得 rtaocrtb eb，即be=，be=，oe=be ob=3=b點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)直線 bd 的解析式為y=k2x+b2k20 ，. . jz* 解得，直線 bd 的解析式為：y=x+，聯(lián)立 bd 與 ac 的直線解析式可得：，解得，m 點(diǎn)的坐標(biāo)為， 方法提煉：求一動點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。題型四：二次函數(shù)與

16、圓的綜合問題例 7： 如圖，半徑為 2 的c 與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)a， 與 y 軸的正半軸交于點(diǎn)b， 點(diǎn) c 的坐標(biāo)為 1， 0 假設(shè)拋物線233yxbxc過 a、b 兩點(diǎn)1求拋物線的解析式；2在拋物線上是否存在點(diǎn)p，使得pbo= pob ？假設(shè)存在，求出點(diǎn) p 的坐標(biāo)； 假設(shè)不存在說明理由；3假設(shè)點(diǎn)m 是拋物線在第一象限的局部上一點(diǎn)，mab的面積為s ，求 s的最大小值解析：1如答圖1，連接 ob bc=2， oc=1 ob=413 b0，3將 a3，0 ，b0，3代入二次函數(shù)的表達(dá)式得393033bcc，解得：2 333bc，232 3333yxx2存在如答圖 2，作線段ob 的垂直平

17、分線l，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)p. . jz* b0，3 ，o0，0 ，直線 l 的表達(dá)式為32y代入拋物線的表達(dá)式，得232 333332yxx；解得1012x， p103122， 3如答圖3，作 mh x 軸于點(diǎn) h設(shè) mmmxy， ，那么 s mab=s梯形 mboh+s mhas oab=12mh+ob ?oh+12ha?mh 12oa?ob=111(3)(3)33222mmmmyxxy=3333222mmxy232 3333mmmyxx，2 mab3332 33 3(3)22332mmmsxxx=2233 3339 3()22228mmmxxx當(dāng)32mx時(shí)， mabs取得最大值，最大值

18、為9 38題型五：二次函數(shù)中的證明問題例 8：如圖 11，二次函數(shù))(2(481baxxy的圖像過點(diǎn)a(-4，3， b(4，4). 1求二次函數(shù)的解析式：2求證： acb 是直角三角形；3假設(shè)點(diǎn) p 在第二象限，且是拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)p 作 ph 垂直 x 軸于點(diǎn) h，是否存在以p、h、d 、為頂點(diǎn)的三角形與abc 相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)p 的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由。解： 1將 a(-4，3， b(4，4)代人)(2(481baxxy中，整理得：. . jz* 32472-4baba解得20-13ba二次函數(shù)的解析式為：)20-13)(2(481xxy，整理得：整理040-6132x

19、x1320,221xx2由），（01320c -2，0 d 從而有： ac2=4+9 bc2=36+16 ac2+ bc2=13+52=65 ab2=64+1=65 ac2+ bc2=ab2故 acb 是直角三角形3設(shè))65-814813(2xxxp，x0ph=65-8148132xxhd=x-1320ac=13bc=132當(dāng) phd acb 時(shí)有：bchdacph即：132-13201365-8148132xxx整理039125-4524132xx1350-1x13202x舍去此時(shí)，13351y），13351350(-1p當(dāng) dhp acb 時(shí)有：bcphacdh即：13265-814813

20、13-13202xxx整理078305-81748132xx13122-1x13202x舍去此時(shí)，132841y），1328413122(-2p綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即），13351350(-1p），1328413122(-2p例 9： 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，點(diǎn) p 是拋物線： y=x2上的動點(diǎn)點(diǎn)在第一象限連接op，過點(diǎn) 0 作op 的垂線交拋物線于另一點(diǎn)q連接 pq，交 y 軸于點(diǎn) m作 pa 丄 x 軸于點(diǎn) a，qb 丄 x 軸于點(diǎn) b設(shè)點(diǎn)p 的橫坐標(biāo)為m1如圖 1，當(dāng) m=時(shí)，求線段 op 的長和 tan pom 的值；在 y 軸上找一點(diǎn)c，使ocq是以 oq 為腰的等腰三角

21、形，求點(diǎn)c 的坐標(biāo)；2如圖 2，連接 am、bm，分別與op、oq 相交于點(diǎn)d、e65-8148132xxx. . jz* 用含 m 的代數(shù)式表示點(diǎn)q 的坐標(biāo)；求證：四邊形odme 是矩形解析：1把 x=代入y=x2，得y=2， p，2 ， op= pa 丄 x 軸，pa mo tan p0m=tan 0pa= =設(shè)q n，n2 ， tan qob=tan pom ， n= q， ， oq=當(dāng) oq=oc 時(shí)，那么c10， ，c20， ；當(dāng) oq=cq 時(shí)，那么c30，1 2p m，m2 ，設(shè)qn，n2 ，apo boq ，得 n=， q， 設(shè)直線 po 的解析式為：

22、 y=kx+b ，把 pm，m2 、q，代入，得：解得 b=1， m 0，1， qbo= moa=90， qbo moa mao= qob ， qo ma同理可證：em od又eod=90，四邊形 odme 是矩形題型六：自變量取值圍問題例 10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，四邊形abcd 是菱形，頂點(diǎn)acd 均在坐標(biāo)軸上，且ab=5 ，sinb=1求過 acd 三點(diǎn)的拋物線的解析式；2記直線ab 的解析式為y1=mx+n ， 1中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c ，求當(dāng) y1y2時(shí)，自變量x的取值圍；3設(shè)直線ab 與 1中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為e，p 點(diǎn)為拋物線上ae 兩點(diǎn)之間的一

23、個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)p點(diǎn)在何處時(shí)，pae 的面積最大？并求出面積的最大值解析：1四邊形abcd 是菱形， ab=ad=cd=bc=5，sinb=sind=；rt ocd中， oc=cd?sind=4 ，od=3 ；oa=ad od=2 ，即：. . jz* a 2，0 、b 5，4 、 c0，4 、d3，0 ；設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+2 x3 ，得：2 3a=4，a=；拋物線： y=x2+x+42由 a 2，0 、b 5， 4得直線ab：y1= x；由 1得： y2=x2+x+4，那么：，解得：，；由圖可知：當(dāng)y1y2時(shí)， 2x 53s ape=ae?h，當(dāng) p 到直線 ab 的距離最遠(yuǎn)時(shí)，s abc最大；假設(shè)設(shè)直線l ab，那么直線l 與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)p；設(shè)直線 l：y=x+b，當(dāng)直線l 與拋物線有且只有一個(gè)交