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文檔簡介
1、湖南省衡陽市耒陽市竹市中學(xué)2020年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、 選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1. 若直線x+2y+1=0與直線ax+y2=0互相垂直,那么a的值等于()a2bcd1參考答案:a【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系【分析】利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出【解答】解:由于直線x+2y+1=0的斜率存在,且直線x+2y+1=0與直線ax+y2=0互相垂直,則×(a)=1,解得a=2故選:a2. 如圖,已知四棱柱abcda1b1c1d1中,底面abcd是邊長為3的正方形,側(cè)棱aa1長為4,且a
2、a1與a1b1,a1d1的夾角都是60°,則ac1的長等于( )a10bcd參考答案:c【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【專題】空間位置關(guān)系與距離【分析】直接根據(jù)向量的加法把所求問題分解,再平方計(jì)算出模長的平方,進(jìn)而求出結(jié)論【解答】解:因?yàn)?=+;()2=( +)2=( )2+( )2+( )2+2 ?+2 ?+2 ?=42+32+32+2×4×3cos120°+2×4×3cos120°+2×3×3cos90°=10ac1=故選c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查棱柱的
3、結(jié)構(gòu)特征以及兩點(diǎn)間的距離計(jì)算注意在利用兩直線的夾角求向量夾角時(shí),注意方向性,避免出錯(cuò)3. 如圖,在正方體中,分別為,的中點(diǎn),則異面直線與所成的角等于( )a45°b60°c90°d120°參考答案:b略4. 在中,面積,則等于( )a. 10 b. 75 c. 49 d. 51參考答案:c5. 五個(gè)工
4、程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目,每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng),其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目,則不同的承建方案共有( )a種 b種 c.種 d種 參考答案:b6. 已知甲:或,乙:,則甲是乙的a充要條件b必要不充分條件c充分不必要條件d既不充分也不必要條件參考答案:b7. 已知i是虛數(shù)單位,則
5、=( )a4+2i b2+i c.2+2i d3+i參考答案:a8. 下列命題中正確的是( )a的最小值是2b的最小值是2c的最大值是d的最小值是參考答案:d【考點(diǎn)】基本不等式【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)基本不等式的使用范圍:正數(shù)判斷a不對(duì),利用等號(hào)成立的條件判斷b不對(duì),根據(jù)判
6、斷c正確、d不對(duì)【解答】解:a、當(dāng)x=1時(shí),f(1)=2,故a不對(duì);b、=2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí)無解,故最小值取不到2,故b不對(duì);c、x0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故c正確;d、x0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,則,故d不對(duì);故選d【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式求函數(shù)的最值,注意“一正、二定、三相等”的驗(yàn)證9. 我校在模塊考試中約有1000人參加考試,其數(shù)學(xué)考試成績n(90,a3)(a0),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,則此次數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()a600b400c300d200參考答案:d【考點(diǎn)】cb:古典概型及其概率計(jì)算
7、公式【分析】由已恬得考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)為600,落在90分到110分之間的人數(shù)為300人,由此能求出數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)【解答】解:我校在模塊考試中約有1000人參加考試,其數(shù)學(xué)考試成績n(90,a3)(a0),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的,考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)為1000×=600,則落在90分到110分之間的人數(shù)為300人,故數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為500300=200故選:d10. 用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論:“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()a都是奇數(shù)
8、60; b都是偶數(shù)c中至少有兩個(gè)偶數(shù) 中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)參考答案:d略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知集合,集合,則 參考答案:略12. 如圖,平面平面,且于,于,點(diǎn)是平面內(nèi)不在上的一
9、動(dòng)點(diǎn), 記與平面所成角為,與平面所成角為。 若,則的面積的最大值是 ( )ba6 b12 c18 d24 參考答案:b略13. 已知圓c:(x3)2+(y4)2=1和兩點(diǎn)a(m,0),b(m,0)(m0),若圓c上存在點(diǎn)p使得apb=90°,則m的最大值為
10、; 參考答案:6【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【專題】直線與圓【分析】c:(x3)2+(y4)2=1的圓心c(3,4),半徑r=1,設(shè)p(a,b)在圓c上,則=(a+m,b),=(am,b),由已知得m2=a2+b2=|op|2,m的最大值即為|op|的最大值【解答】解:圓c:(x3)2+(y4)2=1的圓心c(3,4),半徑r=1,設(shè)p(a,b)在圓c上,則=(a+m,b),=(am,b),apb=90°,=(a+m)(am)+b2=0,m2=a2+b2=|op|2,m的最大值即為|op|的最大值,等于|oc|+r=5+1=6故答案為:6【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的最大值的求法,是中檔題,解題時(shí)要
11、認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用14. 已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x0246ya353a 已求得關(guān)于y與x的線性回歸方程,則a的值為_ 參考答案:2.1515. 若不等式對(duì)一切非零實(shí)數(shù)均成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_參考答案:1,3 略16. 在等差數(shù)列an中,若a1+a2=3,a3+a4=5,則a7+a8等于. 參考答案:917. 已知的三邊成等差數(shù)列,且,則的最大值是 . 參考答案:.三、 解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18. (16分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2
12、(x0),g(x)=bx,其中a,b是實(shí)數(shù)(1)若a=,求f(x)的最大值;(2)若b=2,且直線y=g(x) 是曲線y=f(x)的一條切線,求實(shí)數(shù)a的值;(3)若a0,且ba=,函數(shù)h(x)=f(x)g(2x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的最值問題;(2)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),表示出切線方程,得到lnx0x0+1=0,設(shè)t(x)=lnxx+1,x0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的值即可;(3)通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函
13、數(shù)h(x)=f(x)g(2x)有且只有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求出a的范圍即可【解答】解:(1)由題意,x0,令f'(x)=0,x=1,(2分)x(0,1)1(1,+)f'(x)+0f(x)從上表可知,當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極大值,且是最大值,f(x)的最大值是(2)由題意,直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線,設(shè)切點(diǎn),切線的斜率為,切線的方程為,即,(6分)lnx0x0+1=0,設(shè)t(x)=lnxx+1,x0,當(dāng)x(0,1)時(shí),t'(x)0,當(dāng)x(1,+)時(shí),t'(x)0,t(x)在x=1處取得極大值,且是最大值,t(x)max=t(1)=0,t(x0)=0,x0
14、=1,此時(shí) (10分)(3),x0,()當(dāng)1a0時(shí),當(dāng)0x1時(shí),h'(x)0,當(dāng)x1時(shí),h'(x)0,函數(shù)h(x)在x=1處取得極大值,且是最大值,h(x)h(1)=1,函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,+)上無零點(diǎn),(12分)()當(dāng)a1時(shí),令h
15、'(x)=0,得,x2=1,由(2)可知,t(x)0,即lnxx1,其中,又h(1)=a10,且函數(shù)h(x)在(0,1)上不間斷,函數(shù)h(x)在(0,1)上存在零點(diǎn),另外,當(dāng)x(0,1)時(shí),h'(x)0,故函數(shù)h(x)在(0,1)上是單調(diào)減函數(shù),函數(shù)h(x)在(0,1)上只有一個(gè)零點(diǎn),h(2)=ln2+a×22(2a+1)×2=ln220,又h(1)=a10,且函數(shù)h(x)在(1,+)上不間斷,函數(shù)h(x)在(1,+)上存在零點(diǎn),另外,當(dāng)x(1,+)時(shí),h'(x)0,故函數(shù)h(x)在(1,+)上是單調(diào)增函數(shù),函數(shù)h(x)在(1,+)上只有一個(gè)零點(diǎn),當(dāng)
16、1a0時(shí),h(x)在區(qū)間(0,+)上無零點(diǎn),當(dāng)a1時(shí),h(x)在區(qū)間(0,+)上恰有2個(gè)不同的零點(diǎn),綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,1) (16分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道綜合題19. 已知直線l的方程為. (1)求過點(diǎn)a(3,2),且與直線l垂直的直線l1的方程;(2)求與直線l平行,且到點(diǎn)p(3,0)的距離為的直線l2的方程.參考答案:(
17、1)設(shè)與直線l:2x-y+1=0垂直的直線的方程為:x+2y+m=0,-2分把點(diǎn)a(3,2)代入可得,3+2×2+m=0,解得m=-7-4分過點(diǎn)a(3,2)且與直線l垂直的直線方程為:x+2y-7=0;-5分(2)設(shè)與直線l:2x-y+1=0平行的直線的方程為:2x-y+c=0,-7分點(diǎn)p(3,0)到直線的距離為,解得c=-1或-11-8分直線方程為:2x-y-1=0或2x-y-11=0-10分20. 如圖,四棱錐sabcd中,abcd,bccd,側(cè)面sab為等邊三角形ab=bc=2,cd=sd=1(1)證明:sd平面sab(2)求ab與平面sbc所成角的正弦值參考答案:【考點(diǎn)】mi
18、:直線與平面所成的角;lw:直線與平面垂直的判定【分析】(1)取ab中點(diǎn)e,連結(jié)de,證明sd平面sab,只需證明sdse,absd;(2)求出f到平面sbc的距離,由于edbc,所以ed平面sbc,可得e到平面sbc的距離,從而可求ab與平面sbc所成角的正弦值【解答】(1)證明:取ab中點(diǎn)e,連結(jié)de,則四邊形bcde為矩形,de=cb=2連結(jié)se,則又sd=1,故ed2=se2+sd2所以dse為直角,所以sdse,由abde,abse,dese=e,得ab平面sde,所以absd因?yàn)閍bse=e,所以sd平面sab6分(2)解:由ab平面sde知,平面abcd平面sde作sfde,垂足為f,則sf平面abcd,作fgbc,垂足為g,則fg=dc=1連結(jié)sg,則sgbc又fgbc,sgfg=g,故bc平面sfg,平面sbc平面sfg,作fhsg,h為垂足,則fh平面sbc,即f到平面sbc的距離為由于edbc,所以ed平面sbc,e到平面sbc的距離d也為設(shè)ab與平面sbc所成的角為,則12分21. (本題滿分14分)已知圓經(jīng)過點(diǎn),且圓心在直線上,又直線與圓相交于、兩點(diǎn).(1)求圓的方程;(2)若,求實(shí)數(shù)的值;(3)過點(diǎn)作直線與垂直,且直線與圓相交于、兩點(diǎn),求四邊形的面積的最大值.參考
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