2007年北京市景山中學(xué)初一數(shù)學(xué)競賽試卷

1、 2007年北京市景山中學(xué)初一數(shù)學(xué)競賽試卷 一填空題：（每空3分，共42分） 1. （ 3分）-3的倒數(shù)是 _ ;相反數(shù)是 2. _ （ 3分）在數(shù)軸上，和表示 2的點距離等于3的數(shù)是 _ . 3. _ （9分） 如圖， 在直線 m上有A、B、C、D四個點，圖中共有 _ 條線段，有 _ 條射線, 甲 有 _ _直線. A S C DE 4. （3分）（2006?防城港）寫出一個主視圖、左視圖、俯視圖都相同的幾何體: 5. （ 3分）（2005?河南）一個正方體的每個面都寫有一個漢字， 其平面展開圖如圖所示， 那么在該正方體中， 和 超 相對的字是 _ _ . 目 信 沉 著 超 6. （3 分

2、）Assume that the reciprocal of m - 2 is-丄（丄+2）, then the valuae of 珈一丄 is _ .（英漢詞 4同 IT 典: assume 假設(shè)； reciprocal 倒數(shù)； value 值.） &（3分）若m+n - p=0,則 （2 -丄）+口（丄一丄）一口（丄十的值等于 _ n p m p m n 9. （3分）2m+2007+2m+1 （ m是正整數(shù)）的個位數(shù)字是 _ . 10. （9分）如圖是用小立方塊搭成的一個幾何體，它的主視圖和俯視圖如下圖所示: 主視圉 這樣的幾何體只有一種嗎？答： _ （回答是或不是只有一種）；

3、它最少需要 _ 個小立方塊, 最多需要 _ 個小立方塊. 二.選擇題：（每題3分共21分） (1) (2) 11. （3分）用平面去截一個三棱柱不能得到（ ） 12. (3 分)若 x3+x2+x+ 仁0 ,則 x27+x26+ -+x+1+x+ -x26+x27的值是( ) A . 1 B . 0 C. - 1 13 . （3分）a和b是滿足ab老的有理數(shù)，現(xiàn)有四個命題： s 7 9 s 一-的相反數(shù)是 - a- b的相反數(shù)是a的相反數(shù)與b的相反數(shù)的差； ab的相反數(shù)是a的相反數(shù)和b的相反數(shù)的乘積； ab的倒數(shù)是a的倒數(shù)和b的倒數(shù)的乘積. 其中真命題有（ ） A . 1個 B . 2個 C

4、. 3個 15 . （3分）在代數(shù)式xy2中，x和y的值各減少25%，則該代數(shù)式的值減少了（ A . 50% B . 75% C . _ 16 . （3分）若av bv0v cv d,則以下四個結(jié)論中，正確的是（ ） A . a+b+c+d 一定是正數(shù) B . c+d - a- b可能是負數(shù) C . d - c- a- b 一定是正數(shù) D . c- d - a- b 一定是正數(shù) 17 . （3 分）已知 a, b, c 都是整數(shù)，m=|a+b|+|b- c|+|a- c|,那么（ ） A . m 一定是奇數(shù) B . m 一定是偶數(shù) 三、解答題（共5小題，滿分37分） 18 . （13分）計算題

5、： （1） 先計算這三題： 1+2+2 2= _ ； 1+2+2 2+23= _ ； 1+2+2 2+23+24= _ （現(xiàn)在你一定得到某個規(guī)律了吧，接著完成以下的題目吧） 計算：1+2+22+23+299+2100 （別忘了寫全計算過程哦；計算結(jié)果允許保留指數(shù)形式） 2 2 2 2 （2） 先化簡，后求值：- 2 （a b+2ab ）- 3 （ a b+1） +2ab +3，其中 a=- 2, b=3 . 19 . （6分）請你在下圖補上一個正方形，使它成為一個正方體的展開圖（畫出三種情況）A 三角形 B 四邊形 C 五邊形 D .六邊形 14 . （3分）在下面的圖形中，不是正方體的平面展

6、開圖的是 C.僅當(dāng)a, b, c同奇或同偶時，m是偶數(shù) D . m的奇偶性不能確定 (1) (2) (3) 20. （8分）如圖是一個用小立方塊疊成的幾何體的俯視圖，圖上的數(shù)字表示該位置小立方塊的個數(shù)，請你畫出相應(yīng) 的主視圖與左視圖. 1 3 2 2 3 1 21.（ 6分）探索規(guī)律: 觀察以下圖形，并填寫下表: A 直線條數(shù) 1 2 3 4 5 / 6 - n 最多交點個數(shù) 0 1 3 6 9個方格中分別填入1、2、3、4、5、6、7、& 9,使得每行的三個數(shù)、每列的三個 數(shù)、斜對角的三個數(shù)之和都相等.22. （4分）試一試：在下圖的 2007年北京市景山中學(xué)初一數(shù)學(xué)競賽試卷 參考答

7、案與試題解析 一填空題：（每空3分，共42 分） 1. （ 3分）-3的倒數(shù)是 - ;相反數(shù)是 考點：倒數(shù)；相反數(shù). 分析：根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)的概念可求解. 解答：解：-3的倒數(shù)是-丄；相反數(shù)是3. 3 點評：主要考查相反數(shù)，倒數(shù)的概念. 相反數(shù)的定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)， 0的相反數(shù)是0; 倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是 1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù). 2. （3分）在數(shù)軸上，和表示 2的點距離等于3的數(shù)是 5或-1 考點：數(shù)軸. 專題： 計算題. 分析： 讓2加3可得到右邊點的坐標(biāo)，讓 2減3可得到左邊點的坐標(biāo). 解答： 解：2+3=5 , 2 - 3=- 1 , 故答案為5或-1

8、 . 點評： 考查數(shù)軸的相關(guān)計算；注意所求的點可能在 2的左邊，也有可能在 2的右邊. 3. （9分）如圖，在直線 m上有A、B、C、D四個點，圖中共有 6條線段，有 8條射線，有 1直 線. 考點：直線、射線、線段. 專題：計算題. 分析：數(shù)線段：以A為端點的線段、以 B為端點的線段、以 C為端點的線段加起來即為線段總條數(shù)； 數(shù)射線：每個端點有兩條射線，端點數(shù)乘以 2即為射線條數(shù)； 直線只有一條. 解答： 解：圖中線段有： AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6條. 圖中共有4個點，射線有8條； 直線只有1條. 故答案為6、8、1. 點評：此題考查了直線、射線、線段的定義及數(shù)法，熟知定義是

9、解題的前提，數(shù)的時候要做到不多數(shù)，不漏數(shù). 4. （ 3分）（2006?防城港）寫出一個主視圖、左視圖、俯視圖都相同的幾何體： 球或正方體 _ 考點：由三視圖判斷幾何體. 專題：開放型. 分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形. 解答：解：球的三視圖都為圓；正方體的三視圖為正方形；所以應(yīng)填球或正方體. 點評：考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查. 5. （ 3分）（2005?河南）一個正方體的每個面都寫有一個漢字, 相對的字是 自. 目 沉 超 越 考點： 專題：正方體相對兩個面上的文字. 專題： 應(yīng)用題. 分析： 由平

10、面圖形的折疊及正方體的展開圖解題. 解答： 解：根據(jù)圖示：信 ”和著”相對，沉”和 越”相對，超”相對的字是： ”自.故, 超”相對的字是：自”. 故答案為自. 點評： 注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題. 6. （3 分） Assume that the reciprocal of m - 2 is 二（ 4 +2）, then the valuae of ir| 1 . m一 is -丄 .（英漢詞典：assume 假設(shè)； reciprocal 倒數(shù)； value 值.） 考點： 分式的混合運算. 專題： 計算題. 分析： 根據(jù)題意可得-4 4 （一+2） x（m- 2）

11、=1, rr 對分式方程變形，即可求 m - 2的值. IT 解答： 解：根據(jù)題意可得 -丄（丄+2） x（ m- 2） =1, 4 ir| （：+2） （ m- 2） = - 4, 2 -2m=1 , id 點評：本題考查了分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是能讀懂題意，并且列出等式. 考點： 有理數(shù)的加減混合運算. 專題： 規(guī)律型. 分析： 按運算順序 ,把前兩項相加， 再將所得結(jié)果與第三項相加，再按從左到右依次相加即可 解答： 解：原式= 3+ 1+3+ 1 - 5+ 1 +5+ 1 -7+ 1 +7+ 1 - 9程+9+ 丄 2 12 20 |42 56| |72 |90 =2 - 1 1 丄

12、丄L1 H 1 +c+ C + 廠+ + E + 其平面展開圖如圖所示, 那么在該正方體中， 和 超” 故答案是-丄. 2 2 6 12 20 30 42 56 73 90 十-1- 2 2 3 3 4 4 5 5 16 7 7 8 8 99 10 =2 - 10 =聖 點評：本題考查了有理數(shù)的加法運算，難度較大，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵. 8 （3 分）若 m+n - p=0,則 m （丄-丄）+n （丄一丄）_p 丄的值等于 -3 n p in p m ii 考點： 分式的化簡求專題：計算題. I可得：T _ 丄 （丄一丄）-p（14） =-1- 1 - 1= - 3. n p m p m

13、 n 故答案為：-3. 點評：本題考查了分式的化簡求值，難度不大，關(guān)鍵是將所給的分式變形，然后再將 9. （3 分） 2m+2007+2m+1 （ m是正整數(shù)）的個位數(shù)字是 0 考點：因式分解的應(yīng)用；有理數(shù)的乘方. 分析：運用提公因式法進行因式分解，然后根據(jù) 2n的個位數(shù)字的規(guī)律進行分析. 解答：解：/ 2m+2007+2m+1=2m+1 （22006+1 ）, 2006 *501 2, .22006+1的個位數(shù)字是4+仁5 , 又2n的個位數(shù)字是2或4或8或6, . 2m+2007+2m+1 （ m是正整數(shù)）的個位數(shù)字是 0. 故答案為0. 10. （9分）如圖是用小立方塊搭成的一個幾何體，

14、它的主視圖和俯視圖如下圖所示: 主視圉 這樣的幾何體只有一種嗎？答： 不是只有一種 （回答是或不是只有一種）：它最少需要 9個小立方塊，最多 需要 13個小立方塊. 考點：由三視圖判斷幾何體. 分析：由幾何體的主視圖和俯視圖可知， 該幾何體的主視圖的第一列 1個小正方形所在位置只能有 1個小立方塊; 主視圖的第二列 2個小正方形中，每個小正方形所在位置最多均可有 2個小立方體，最少一個正方形所在 位置有2個小立方塊，另2個所在位置有1個小立方塊；主視圖的第三列 3個正方形中每個正方形所在位 置最多均可有3個小立方塊，最少一個正方形所在位置有 3個小立方塊，其余 2個所在位置各有1個小立=2 分

15、析: 解答: 解：則 m （2 -丄） +口 C- 丄） -P （打 =科IT !1 忖=m - P）+n - P -rrH-n ID P n n p ir p| n| n n in p m+n - p=0變形后代入. 點評：此題綜合考查了因式分解法和數(shù)字的規(guī)律問題.注意: 2n的個位數(shù)字的規(guī)律是 2、4、8、6四個一循環(huán). 先將所求的式子乘開，然后同分母得合并在一起，將 m+n - p=0變形即可得出答案. 由題意 方塊. 解答： 解：這樣的幾何體不止一種，而有多種擺法.最多需要1+3 2+2 3=13（個）小立方塊，最少需要1+2+1+1+3+1=9 （個）小立方塊. 故應(yīng)填：不是只有一種

16、， 9, 13. 點評：考查學(xué)生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查如果掌握口訣 俯 視圖打地基，正視圖瘋狂蓋 ”就更容易得到答案. 二.選擇題：（每題3分共21分） 11. （3分）用平面去截一個三棱柱不能得到（ ） A .三角形 B .四邊形 C.五邊形 D .六邊形 考點：截一個幾何體. 分析：根據(jù)平面截三棱柱的不同角度與位置判斷相應(yīng)截面形狀即可. 解答：解：用平面去截一個三棱柱，其截面的形狀共有四種，分別為：矩形、三角形、梯形、五邊形. 故選D. 點評：本題考查了截一個幾何體的知識，解決本題的關(guān)鍵是理解截面經(jīng)過三棱柱的幾個面，得到的截面形狀就是 幾邊形；

17、經(jīng)過截面相同，經(jīng)過位置不同，得到的形狀也不相同. 12. （3 分）若 x3+x2 3+x+ 仁0 ,則 x27+x26+ -+X+1+X+ -x26+x27的值是（ ） A . 1 B . 0 C. - 1 D . 2 考點：因式分解的應(yīng)用. 分析： 對所給的條件x3+x2+x+仁0進行化簡，可得x= - 1,把求得的x= - 1代入所求式子計算即可得到答案. 解答： 解：由 x3+x2+x+1=0，得 x2 （x+1） + （x+1） =0, 2 2 （x+1 ） （x +1） =0,而 x +1 旳， / x+ 仁0 , 解得x= - 1, 7 26 26 27 所以 x +x + +x

18、+1+x+x +x = - 1+1 - 1+1 - -+1 - 1= - 1 . 故選C . 點評：此題主要考查了因式分解的應(yīng)用；對已知條件進行化簡得到 x= - 1是正確解答本題的關(guān)鍵，計算最后結(jié)果 時要注意最后余一個-1不能抵消，最后結(jié)果為-1 . 13. （3分）a和b是滿足ab老的有理數(shù)，現(xiàn)有四個命題： a-2 I?十4 a- b的相反數(shù)是a的相反數(shù)與b的相反數(shù)的差； ab的相反數(shù)是a的相反數(shù)和b的相反數(shù)的乘積； ab的倒數(shù)是a的倒數(shù)和b的倒數(shù)的乘積. 其中真命題有（ ） A . 1個 B . 2個 C . 3個 考點：命題與定理；相反數(shù)；倒數(shù). 2 豈 的相反數(shù)是 ； 分析: 解答:

19、 分析是解：（1） a - 2 2 a )= 1?十4 ，正確. （4） a倒數(shù)為丄，b的倒數(shù)為丄，它們的乘積為丄，是ab的倒數(shù)，正確. 3 b ab 所以三項正確. 故選C . 點評：本題考查了真命題的定義，解決本題關(guān)鍵要知道相反數(shù)，倒數(shù)的概念. 考點： 幾何體的展開圖. 專題： 幾何圖形問題. 分析： 根據(jù)平面圖形的折疊及正方體的展開圖解題.注意帶 田”字的不是正方體的平面展開圖. 解答： 解：由正方體的展開圖的特征可知， A、B、D都是正方體的展開圖； C、出現(xiàn)了 田”字，不能圍成正方體. 故選C . 點評： 本題考查了正方體的展開圖，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形.

20、15. （3分）在代數(shù)式xy2中，x和y的值各減少25%，則該代數(shù)式的值減少了（ ） A . 50% B . 75% C. b D . _ 64 64 考點： 代數(shù)式求值. 專題： 計算題. 分析： 在代數(shù)式xy2中，x和y的值各減少25% ,則可知xx, yy,所以有x（ y） 2=（上x） x芒y） 2丄xy2, 4 4 4 4 64 則該代數(shù)式的值減少了 一. 解答： 解：T在代數(shù)式xy2中，x和y的值各減少25%, 飾，第 3 -知 x=-x, y =y, 4 4 x （y） = Ux） x （一y） xy , 4 4 64 該代數(shù)式的值減少了二. 故選C. 點評： 本題為代數(shù)式求值題

21、，比較基礎(chǔ)，要認真讀清題干，注意把握，確保得分. 16. （3分）若av bv0v cv d,則以下四個結(jié)論中，正確的是（ ） A . a+b+c+d 一定是正數(shù) B . c+d - a- b可能是負數(shù) C . d - c- a- b 一定是正數(shù) D . c- d - a- b 一定是正數(shù) 考點： 正數(shù)和負數(shù). 專題： 計算題. 分析： 本題應(yīng)用特值排除法，對于 A，如果設(shè)a=- 2, b= - 1, c=1, d=2，則a+b+c+d=0非正數(shù)；對于 B, d+c 0, -a- b0，所以 d+c- a- b 一疋大于零；對于 D，設(shè) a= - 2, b= - 1, c=1, d=5，則 c

22、- d - b - a= - 1. 解答： 解：A、根據(jù)已知條件 av bv 0v cv d,可設(shè)a= - 2, b= - 1, c=1, d=2,則a+b+c+d=0 ,是非正數(shù)，故錯誤； B、由已知條件 av bv 0vcv d 知 d+c0, - a- b 0,所以 d+c - a- b0,故錯誤； 14. （3分）在下面的圖形中，不是正方體的平面展開圖的是（ A . C、 由已知條件 av bv Ovcv d 知 d - c0,- a b0，所以 d - c- a b0, 即卩 d - c a b 一定是正數(shù)， 故正確. D、 根據(jù)已知條件 av bv 0v cv d，可設(shè) a=- 2

23、, b= - 1, c=1, d=5，則 c- d - b - a= - 1, - 1 是負數(shù)，故錯 誤； 故選C. 點評：本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)的定義；在解題時采用的是特殊值排除法，此法適合于選擇題. 17. (3 分)已知 a, b, c 都是整數(shù)，m=|a+b|+|b- c|+|a- c|,那么( ) A . m 疋是奇數(shù) B . m 一疋是偶數(shù) C.僅當(dāng)a, b, c同奇或同偶時，m是偶數(shù) D . m的奇偶性不能確定 考點： 奇數(shù)與偶數(shù). 專題： 推理填空題. 分析： 奇數(shù)加減奇數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)加減偶數(shù)為奇數(shù)，偶數(shù)加減偶數(shù)為偶數(shù). 知道此規(guī)律可對 a, b, c的奇偶性進行討論得到結(jié)果

24、. 解答： 解：若是3個奇數(shù) m為偶數(shù)若是2奇數(shù)1個偶數(shù)，m為偶數(shù)若是2偶1奇m為偶數(shù)若是3偶數(shù)m為偶數(shù) 所以m為偶數(shù). 故選B . 點評： 本題考查奇數(shù)偶數(shù)的概念以及知道奇數(shù)加減奇數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)加減偶數(shù)為奇數(shù)，偶數(shù)加減偶數(shù)為偶數(shù). 三、解答題(共5小題，滿分37分) 18. (13分)計算題： (1) 先計算這三題：1+2+22= 23 - 1 ； 1+2+22+23= 24 - 1 ； 1+2+2 2+2 3+24= 25 - 1 (現(xiàn)在你一定得到某個規(guī)律了吧，接著完成以下的題目吧) 計算：1+2+22+23+299+210 (別忘了寫全計算過程哦；計算結(jié)果允許保留指數(shù)形式) (2) 先化

25、簡，后求值：-2 (a2b+2ab2)- 3 ( a2b+1) +2ab2+3，其中 a=- 2, b=3 . 考點： 整式的加減一化簡求值；有理數(shù)的乘方. 專題： 規(guī)律型. 分析： (1) 先計算上面三個小題，找出規(guī)律，再直接計算即可. (2) 本題應(yīng)對代數(shù)式去括號，合并同類項，將其化為最簡式，然后把 a與b的值代入求解即可. 解答： 解：(1) 1+2+22=7=8 - 1=23- 1； 2 3 4 1+2+2 +2 =15=16 -仁2 - 1； 2 3 4 5 1+2+2 +2 +2 =3 仁32 -仁2 - 1 . 2 3 99 100 101 d 1+2+2 +2 +2 +2 =2

26、 - 1 . (2)- 2 (a2b+2ab2)- 3 (a2b+1) +2ab2+3, 2 2 2 2 =-2a b - 4ab 3a b - 3+2ab +3, 2 2 =-5a b - 2ab , 當(dāng) - , b=3 時，原式 -濟匕-2= - -( - ) =24 . 點評： 本題考查了整式的化簡.整式的加減運算實際上就是去括號、合并冋類項.題目比較簡單，解題時要細心. 19. (6分)請你在下圖補上一個正方形，使它成為一個正方體的展開圖(畫出三種情況) (3) 考點：幾何體的展開圖. 分析：禾U用正方體的展開圖即可解決問題. 解答：解：如圖所示： 點評：本題主要考查了正方體的展開圖解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形. 20. （8分）如圖是一個用小立方塊疊成的幾何體的俯視圖，圖上的數(shù)字表示該位置小立方塊的個數(shù)，請你畫出相應(yīng) 的主視圖與左視圖. 1 3 2 2 3 1 考點：作圖-三視圖；由三視圖判斷幾何體. 分析：由已知條件可知，主