“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題

1、.“費(fèi)馬點(diǎn)”與中考試題費(fèi)爾馬，法國業(yè)余數(shù)學(xué)家， 擁有業(yè)余數(shù)學(xué)之王的稱號，他是解析幾何的發(fā)明者之一費(fèi)馬點(diǎn)就是到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)費(fèi)爾馬的結(jié)論：對于一個各角不超過 120 °的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對各邊的張角都是120 °的點(diǎn)，對于有一個角超過120 °的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn)下面簡單說明如何找點(diǎn)P 使它到 ABC 三個頂點(diǎn)的距離之和PA+ PB+ PC 最?。窟@就是所謂的費(fèi)爾馬問題圖 1解析 ：如圖 1 ，把APC 繞 A 點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60 °得到APC，連接PP則APP為等邊三角形， AP= PP，PC= PC，所以 PA+ PB+

2、 PC= PP+ PB+ PC點(diǎn) C可看成是線段 AC 繞 A 點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60 °而得的定點(diǎn)， BC為定長 ，所以當(dāng)B、P、 P、C四點(diǎn)在同一直線上時，PA+ PB+ PC 最小這時BPA=180 °-APP=180 °-60 °=120 °，APC= A PC=180 °-APP=180 °-60 °=120 °，BPC=360 °-BPA- APC=360 °-120 °-120 °=120 °因此，當(dāng) ABC 的每一個內(nèi)角都小于120 °

3、時，所求的點(diǎn) P 對三角形每邊的張角都是 120 °，可在 AB 、BC 邊上分別作120 °的弓形弧，兩弧在三角形內(nèi)的交點(diǎn)就是P 點(diǎn)；當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120 °時，所求的 P 點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn)可編輯.費(fèi)爾馬問題告訴我們，存在這么一個點(diǎn)到三個定點(diǎn)的距離的和最小，解決問題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換本文列舉近年“費(fèi)馬點(diǎn)”走進(jìn)中考試卷的實(shí)例，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考例 1（2008年廣東中考題）已知正方形ABCD 內(nèi)一動點(diǎn) E 到 A、 B、 C 三點(diǎn)的距離之和的最小值為26 ，求此正方形的邊長圖2圖3分析 ：連接 AC ，發(fā)現(xiàn)點(diǎn) E 到 A、B、C 三點(diǎn)的距離之和就是到 ABC

4、 三個頂點(diǎn)的距離之和，這實(shí)際是費(fèi)爾馬問題的變形，只是背景不同解如圖 2 ，連接 AC ，把AEC 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn)60 °，得到GFC，連接 EF、 BG、AG，可知EFC、AGC 都是等邊三角形，則EF= CE又 FG= AE，AE+ BE+ CE = BE+ EF+ FG（圖 4 ） 點(diǎn) B、點(diǎn) G 為定點(diǎn)（ G 為點(diǎn) A 繞 C 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 60 °所得） 線段 BG 即為點(diǎn) E 到 A、 B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小值，此時E、F 兩點(diǎn)都在 BG上（圖 3 ）設(shè)正方形的邊長為a ，那么2a， GCGO=6aBO= CO= 2a ,22可編輯. BG=BO +

5、GO =2 a +6 a 22 點(diǎn) E 到 A、 B、C 三點(diǎn)的距離之和的最小值為26 2 a +6 a =26 ，解得 a =2 2 2注本題旋轉(zhuǎn) AEB、BEC 也都可以，但都必須繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讀者不妨一試?yán)?2（ 2009年北京中考題）如圖 4 ，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，ABC 三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6,0，B 6,0，C0,43，延長 AC 到點(diǎn) D,使 CD1過點(diǎn)D作=AC ,2DEAB 交 BC 的延長線于點(diǎn)E.（ 1）求 D 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）作 C 點(diǎn)關(guān)于直線DE 的對稱點(diǎn) F,分別連結(jié) DF、EF，若過 B 點(diǎn)的直線 ykxb 將四邊形 CDFE 分成周長相等的兩個四邊

6、形，確定此直線的解析式；（ 3）設(shè) G 為 y 軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P 從直線 ykxb 與 y 軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y 軸到達(dá) G點(diǎn)，再沿 GA 到達(dá) A 點(diǎn)，若 P 點(diǎn)在 y 軸上運(yùn)動的速度是它在直線GA 上運(yùn)動速度的2 倍，試確定 G 點(diǎn)的位置，使P 點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A 點(diǎn)所用的時間最短分析和解 ：（1）D 點(diǎn)的坐標(biāo)（ 3， 6 3）（過程略）（ 2 ） 直線 BM 的解析式為 y3x6 3 （過程略）yyFEDEM DCCAOBxAOBx圖 4（ 3 ）如何確定點(diǎn)G 的位置是本題的難點(diǎn)也是關(guān)健所在設(shè)Q 點(diǎn)為 y 軸上一點(diǎn)， P 在 y可編輯.軸上運(yùn)動的速度為v，則 P 沿 M Q A 運(yùn)動的時

7、間為MQAQ2v，使 P 點(diǎn)到達(dá) A 點(diǎn)所用1v的時間最短，就是MQ AQ 最小，或 MQ 2 AQ 最小2解法 1 BQ= AQ ， MQ 2 AQ 最小就是MQ AQ BQ 最小，就是在直線MO 上找點(diǎn)G 使他到 A、 B、 M 三點(diǎn)的距離和最小至此，再次發(fā)現(xiàn)這又是一個費(fèi)爾馬問題的變形，注意到題目中等邊三角形的信息，考慮作旋轉(zhuǎn)變換把繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60 °，得到 ，連接、 （圖5 ），可知MQBM Q BQQ MMQQ B、MM B 都是等邊三角形，則QQ =BQ又 MQ=MQ ，MQ AQ BQ= M Q+ QQ +AQ 點(diǎn) A、M 為定點(diǎn)，所以當(dāng) Q、Q兩點(diǎn)在線段 A M 上

8、時，MQ AQ BQ 最小由條件可證明Q點(diǎn)總在 AM 上，所以 A M 與OM的交點(diǎn)就是所要的G 點(diǎn)（圖6 ）可證1OG=MG 2圖 5圖 6圖 7解法 2考慮 1 MQ AQ 最小，過Q作BM的垂線交BM 于 K，由 OB=6 ，21OM = 6 3 ，可得 BMO 30 °，所以 QKMQ 12MQ AQ 最小，只需使 AQ QK 最小， 根據(jù)“垂線段最短” ，可推出當(dāng)點(diǎn) A、要使2Q、K 在一條直線上時，AQ + QK 最小，并且此時的QK 垂直于 BM ，此時的點(diǎn)Q 即為所求的點(diǎn) G（圖 7 ）過 A 點(diǎn)作 AH BM 于 H,則 AH 與 y 軸的交點(diǎn)為所求的G 點(diǎn) .可編

9、輯.由 OB=6，OM = 6 3 ，可得OBM =60 °，BAH =30 °在 RtOAG 中， OG= AO ·tan BAH = 2 3G 點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 ， 23 ）（ G 點(diǎn)為線段 OC 的中點(diǎn)）例 3（2009年湖州中考題）若點(diǎn) P 為ABC 所在平面上一點(diǎn)，且 APB= BPC=120 °, 則點(diǎn)P叫做的費(fèi)馬點(diǎn)CPAABC（ 1 ）若 P 為銳角 ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，且 ABC=60 °，PA=3 ， PC=4,則PB的值為；（ 2）如圖 8 ，在銳角 ABC 的外側(cè)作等邊 ACB，連結(jié)BB求證：BB過ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P，且 B

10、B= PA+ PB+ PC圖 8解：（1 ）利用相似三角形可求PB 的值為 23 （ 2 ）設(shè)點(diǎn) P 為銳角ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)，即APB= BPC= CPA=120 °如圖 8 ，把ACP 繞點(diǎn) C 順時針旋轉(zhuǎn)60 °到BCE，連結(jié) PE，則EPC為正三角形BEC = APC =120 °，PEC=60 °BEC+ PEC=180 °即 P、 E、 B三點(diǎn)在同一直線上 BPC=120 °, CPE=60 ° ，可編輯.BPC + CPE =180 °，即 B、 P、 E 三點(diǎn)在同一直線上 B、P、 E、 B四點(diǎn)在同一直線上，即 BB過ABC 的費(fèi)馬點(diǎn) P又 PE= PC， BE= PA， BB= E B+ PB+ PE= PA+ PB+ PC注通過旋轉(zhuǎn)變換，可以改變線段的位置，優(yōu)化圖形的結(jié)構(gòu)在使用這一方法解題時