人教版初中數(shù)學第十四章整式的乘法與因式分解知識點

1、第十四章整式乘除與因式分解14.1 整式的乘法同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法法則：a m a na m n （ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.注意底數(shù)可以是多項式或單項式.例 1在橫線上填入適當?shù)拇鷶?shù)式：x6_x14 ， x 6_x2 .【答案】 x 8 ， x4【解析】試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則即可得到結果.6814， x 6x 4x2 .x xx考點：本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例 2計算： a 7 a 4

2、a3 ；【答案】 a14【解析】試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可得到結果.a7 a 4a3a14 .考點：本題考查的是同底數(shù)冪的乘法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.冪的乘方冪的乘方法則：(a m )n a mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.冪的乘方法則可以逆用：即 a mn( a m ) n(an ) m例 1對于非零實數(shù)m ，下列式子運算正確的是（）A (m3 )2m9B m3 m2m6C m2m3m5D m 6m 2m4【答案】 D【解析】試題分析：根據(jù)冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘除法法則依次分析各項即可得到

3、結果.A m23m6， m3m 2m5，C m2與 m3無法合并，故錯誤；BD m 6m 2m4 ，本選項正確 .考點：本題考查的是冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例 2計算： (a 3 ) 2(a 2 ) 3【答案】a 12【解析】試題分析：先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可.(a 3 ) 2(a 2 ) 3a 6(a 6 )a 12 .考點：本題考查的是冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法點評：解答本題的關鍵

4、是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例 3計算： a9 a5 (a 4 )3 ；【答案】 a 2【解析】試題分析：根據(jù)冪的乘方法則，同底數(shù)冪的乘除法法則即可得到結果.a9 a5(a4 )3a14a12a 2.考點：本題考查的是冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.例 4計算：(a m )3an ；【答案】 a 3m n【解析】試題分析：先計算

5、冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法即可.(am )3a n a 3m a n a3m n .考點：本題考查的是冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.積的乘方積的乘方法則：( ab)na n bn （ n 是正整數(shù)） .積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.例 1計算 (a2 b) 3 的結果是A.a3b3B.a6b3C.a3b6D. a6 b6【答案】 B【解析】根據(jù)積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，求解即可（ a2b）3=（ a2） 3×b3=a6×

6、;b3=a6b3故選 B例 2計算（ 2a)3 的結果是【】3333A .6aB. 6aC.8aD. 8a【答案】 D.【解析】根據(jù)冪的乘方和積的乘方運算法則計算后作出判斷：（ 2a) 3= 233 = 8a3 .故選 D.a例 3計算： ( x2 y3 ) 3.【答案】 x6 y9【解析】試題分析：積的乘方法則：積的乘方等于它的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(x 2 y3 )3x6 y9 .考點：本題考查的是積的乘方點評：本題是基礎應用題，只需學生熟練掌握積的乘方法則，即可完成.例 4計算： ( 1) 3 a 2 4 ；【答案】 a 8【解析】試題分析：先計算( 1) 3 ，再計算冪

7、的乘方即可.(1)3 a 2 4a 2 4 a8 .考點：本題考查的是冪的乘方點評：解答本題的關鍵是熟練掌握冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.整式的乘法1、單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.例 1單項式4x523的積是（）y 與 2x（-y） zA 8x 10y3zB 8x7 （-y） 4zC-8x7 y4zD -8x 10y3z【答案】 C【解析】試題分析：直接根據(jù)單項式乘以單項式的法則計算即可得到結果.由題意得 4x5 y 2x 2 ( y) 3 z 4 2 x5 x2 y ( y3 ) z8x7

8、y4 z ，故選 C.考點：本題考查的是單項式乘單項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘單項式法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式.例 2·ab2 c 24a3 b5 c.3【答案】8a2 b3【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘單項式法則，同底數(shù)冪的乘法法則即可得到結果.8a2 b3 ·3ab 2 c 24a3 b5 c .考點：本題考查的是單項式乘單項式，同底數(shù)冪的乘法點評：解答此題需熟知以下概念：（ 1）單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)相乘，相同字母的冪相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式；

9、（ 2）同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加2235例 3計算：x y · xyz=_ ；516【答案】183 4x y z【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘單項式法則直接計算即可.22352523·y·z=1345x y· xyz=5×·x ·x·y8x y z.1616考點：本題考查的是單項式乘單項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘單項式法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式.223例 4計算： 2ab · a =_ ；3【答案】4

10、 a4b23【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘單項式法則直接計算即可.2232324422ab· a =2× ·a·a·b =a b .333考點：本題考查的是單項式乘單項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘單項式法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式.例 5 2x 2xy.【答案】 4x 2 y【解析】試題分析：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式 .2x 2 xy4x 2 y .考點：本題考查的是單項式乘單項式點評

11、：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握單項式乘單項式法則，即可完成.2、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b, c 都是單項式).例 1計算：a(ab)b(ba) ；【答案】a 2b2【解析】試題分析：先根據(jù)單項式乘多項式法則去括號，再合并同類項即可.a(ab)b(ba)a2abb2aba 2b2 .考點：本題考查的是單項式乘多項式，合并同類項點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘多項式法則：用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.例 2計算： (1x31x2 y) ( 12xy) ；63【答案】2x 4 y4x

12、 3 y 2【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘多項式法則化簡即可.(1x31x2 y) ( 12 xy)2x 4 y 4x3 y 2 .63考點：本題考查的是單項式乘多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘多項式法則：用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.例 3計算： ( 4a)23( ab 3ab 1) ；【答案】 4a 2b 212 a 4b4a【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘多項式法則化簡即可.( 4a) (ab 23a3b 1)4a 2b 212a 4b 4a.考點：本題考查的是單項式乘多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘多項式法則：用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相

13、加.例 4計算： 3(2y)_ _.x xy x【答案】 3x 2 y3x3 y【解析】試題分析：根據(jù)單項式乘多項式的法則即可得到結果.3x(xyx 2 y)3x 2 y3x3 y.考點：本題考查的是單項式乘多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握單項式乘多項式：用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.例 5計算： 3 (22x1) 2x2 (x1).x x【答案】 x 34x 23x【解析】試題分析：先根據(jù)單項式乘多項式法則去括號，再合并同類項即可.3x(x 22x1)2x 2 (x1)3x 36x 23x2x32x 2x34x23x.考點：本題考查的是單項式乘多項式，合并同類項點評：解答本

14、題的關鍵是熟練掌握單項式乘多項式法則：用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加.3、多項式與多項式相乘，用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加.例 1計算：（ a+2b）（ a-b） =_ ；【答案】 a2+ab-2b2【解析】試題分析：根據(jù)多項式乘以多項式的法則：（ a+b）（m+n） =am+an+bm+bn ，計算即可（ a+2b）（ a-b）= a2-ab+2ab -2b2 =a2+ab-2b2考點：本題考查的是多項式乘以多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加注意不要漏項，漏字母，有

15、同類項的合并同類項例 2計算：（ 3x-y ）（x+2y ） =_ 【答案】 3x2+5xy-2y【解析】試題分析：根據(jù)多項式乘以多項式的法則：（ a+b）（m+n） =am+an+bm+bn ，計算即可（ 3x-y ）（ x+2y ） =3x 2+6xy- xy-2y=3x 2+5xy-2y 考點：本題考查的是多項式乘以多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加注意不要漏項，漏字母，有同類項的合并同類項例 3計算：（ x+1）（x2-x+1） =_【答案】 x31【解析】試題分析：根據(jù)多項式乘多項式法則化簡即可.（

16、 x+1）（ x2-x+1 ）= x3x2xx 2x1x31考點：本題考查的是多項式乘多項式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則：先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加4、同底數(shù)冪的除法法則：a mana m n （ a0, m, n 都是正整數(shù)，且mn)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.例 1計算： a6a2 =， (a) 5(a) 2 =.【答案】 a 4 ，a3【解析】試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則即可得到結果.a6a 2a 4 ， ( a)5( a) 2( a) 3a3 .考點：本題考查的是同底數(shù)冪的除法點評：解答本題的關鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的除法

17、法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.例 2計算：m3÷m2.【答案】 m【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則進行解答即可：原式= m32m5、零指數(shù)： a01，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.10=例 12A2B 2C1D 1【答案】 D.【解析】零指數(shù)冪.根據(jù)任何非0數(shù)的 0次冪等于1 解答即可：102= 1.故選 D.例 2計算： | 2|+（ 3） 0=【答案】 1【解析】此題考查絕對值的運算、冪的運算性質(zhì)和二次根式a,( a0), a01(a 0), a2a,( a0)| a |0)| a |；a,( aa,( a0)解：原式 2121；例 3計算：（ -0.5） 0

18、7;（ - 1 ） -3的化簡，即【答案】 -218【解析】試題分析：根據(jù)零指數(shù)冪的運算法則，負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可得到結果.原式 1 (8)1 .8考點：本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪點評：解答本題的關鍵是熟練掌握任意非0 數(shù)的 0 次冪均為0，負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：a p1（a0， p 是a p正整數(shù)）6、單項式的除法法則：單項式相除， 把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式， 對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.注意：首先確定結果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.7、多項式除以單項式的法則

19、：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加.即： (ambmcm)mammbmmcmmabc14.2 乘法公式平方差公式平方差公式：(ab)( ab)a 2b 2 注意平方差公式展開只有兩項公式特征： 左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù).右邊是相同項的平方減去相反項的平方.例 1下列能用平方差公式計算的是（）A 、 (xy)( xy)B 、( x1)( 1x )C、 ( 2xy)(2yx )D 、( x2)(x1)【答案】B【解析】 A 、應為（ -x+y ）（ x-y ） =-（ x-y ）（ x-y ） =- （x-y

20、） 2，故本選項錯誤；B、（ x-1）（-1-x ） =-（ x-1 ）（ x+1） =-（ x2-1），正確；C、應為（ 2x+y ）（ 2y-x ） =-（ 2x+y ）（ x-2y ），故本選項錯誤；D、應為（ x-2）（ x+1） =x 2-x-2 ，故本選項錯誤故選 B例 2計算 2 yx 2 y x 的結果是（）A 、 4y xB 、 4 y xC、 4y 2x2D、 2 y2x2【答案】 C【解析】平方差公式的應用，原式= 4 y2x 2 ，故選 C例 3若 ab=2011， a b=1，則 a2 b2=_.【答案】 2011【解析】考點：平方差公式分析：先根據(jù)平方差公式分解因式

21、，再整體代入即可解： a+b=2011， a-b=1， a2-b2=（ a+b）（ a-b） =2011 ×1=2011故答案為： 2011例 4 (a 3)(3 a) _【答案】 9 a2【解析】根據(jù)平方差公式（a+b）（ a-b） =a2-b2 填空222解：（ a+3）（ 3-a） =（3+a）（ 3-a） =3-a =9-a 故答案是： 9-a2完全平方公式完全平方公式： (a b)2a 22abb 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2 倍中間放，符號和前一個樣 .公式的變形使用：（ 1） a 2b 2( ab)22ab(ab) 22ab ； (a2(a b)2b)4

22、ab( ab) 2( ab ) 2( ab) 2 ； ( ab) 2 ( ab) 2(ab) 2（ 2）三項式的完全平方公式：(a bc) 2a2b 2c 22ab2ac 2bc例 1若 ab5, ab3，則 (ab) 2 的值是（）A. 25B. 19C. 31D. 37【答案】 D【解析】解： (a) 2(ab)24ab524 (3)37，故選 D.b2例 2計算：29 2.3【答案】 8801 .9【解析】試題分析：化29 230 1，再根據(jù)完全平方公式計算即可.33(29 2)2(30 1)2900 2018801.3399考點：題考查的是完全平方公式點評：解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式：(ab)2a22b2 .ab例 3計算：（ 1） 199.92=_ ；（ 2） 512=_ ；（ 3） 1-2 ×51+51 2=_ 【答案】（ 1） 39960.01；（ 2）2601；（ 3） 2500【解析】試題分析：根據(jù)完全平方公式依次分析各小題即可.（ 1） 199.92=（200-