審斂法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1審斂法審斂法若,0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”第1頁(yè)/共29頁(yè),Zn,nnvku 都有設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對(duì)一切,Nn 有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則弱級(jí)數(shù)1nnu(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu則強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv證證:設(shè)對(duì)一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和, 則有nnvku是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在

2、級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故不妨第2頁(yè)/共29頁(yè)(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則有nn lim因此對(duì)一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu,limnnS因此,limnn這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)第3頁(yè)/共29頁(yè)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 若, 1p因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1第4頁(yè)/共29頁(yè), 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121)

3、1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn1第5頁(yè)/共29頁(yè)若存在,ZN對(duì)一切,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu第6頁(yè)/共29頁(yè)證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因?yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)111nn21kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .第7頁(yè)/共29頁(yè),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)

4、且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義, 0對(duì),ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時(shí),時(shí)當(dāng)Nn 第8頁(yè)/共29頁(yè)nnnvluvl)()(, l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時(shí),ZN存在,時(shí)當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu由定理2可知, 若1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 時(shí),(2) 當(dāng)l = 0時(shí),由定理2 知1nnv收斂 , 若.1也發(fā)散則nnu第9頁(yè)/共29頁(yè),nunv,limlvunnn是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)

5、級(jí)數(shù), (1) 當(dāng) 時(shí),l0兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;特別取,1pnnv 可得如下結(jié)論 :對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),nu,1pl0lnnnlimpn,1pl0發(fā)散nu(2) 當(dāng) 且 收斂時(shí),0lnv(3) 當(dāng) 且 發(fā)散時(shí), lnv也收斂 ;nu也發(fā)散 .nu收斂nu第10頁(yè)/共29頁(yè)的斂散性. nnn1lim11sinnn的斂散性 .解解: nlim sin1nn11根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散nn例例4. 判別級(jí)數(shù)1211lnnn解解:nlim221limnnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知.11ln12收斂nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn第11頁(yè)/共29頁(yè)nnnuu1l

6、im由設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且,lim1nnnuu則(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1),1時(shí)當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時(shí), 級(jí)數(shù)收斂 ;或時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時(shí)當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知第12頁(yè)/共29頁(yè),1時(shí)或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(shí)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, , p 級(jí)數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .從而第13頁(yè)/共29

7、頁(yè) limn)0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)收斂 ;,1時(shí)當(dāng) x級(jí)數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級(jí)數(shù)nn,1時(shí)當(dāng) x第14頁(yè)/共29頁(yè)對(duì)任意給定的正數(shù) ,limnnnu設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí),limnnnu則;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時(shí)當(dāng),Nn 即nnnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且第15頁(yè)/共29頁(yè)時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級(jí)數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu

8、但, 1p級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散 .第16頁(yè)/共29頁(yè)11nnn收斂于S ,似代替和 S 時(shí)所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級(jí)數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n并估計(jì)以部分和 Sn 近 第17頁(yè)/共29頁(yè)則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnuuuu1321) 1(稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù); ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 且

9、其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)第18頁(yè)/共29頁(yè)證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級(jí)數(shù)收斂于S, 且,1uS :的余項(xiàng)nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S第19頁(yè)/共29頁(yè)收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂

10、 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 第20頁(yè)/共29頁(yè)定義定義: 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱原級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數(shù)1nnu為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂.例如例如 ：絕對(duì)收斂 ；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂 .第21頁(yè)/共29頁(yè)證證: 設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法顯然,0nv1nnv收斂,收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂)(21n

11、nuu 且nv,nu收斂 , 令第22頁(yè)/共29頁(yè).) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對(duì)收斂 .第23頁(yè)/共29頁(yè)(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對(duì)收斂.第24頁(yè)/共29頁(yè)其和分別為 *定理定理8. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. 說(shuō)明說(shuō)明: 證明參考 P203P206, 這里從略.*定理定理9. ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 ).S則對(duì)所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與都絕對(duì)收斂,S其和為但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì). 第25頁(yè)/共29頁(yè)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1第26頁(yè)/共29頁(yè)為收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判