高一升高二暑假數(shù)學(xué)補(bǔ)課專題三

1、、根底知識(shí)1、單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，如果對(duì)于定義域1內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自 變量xi, X2當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖像描述自左向右看圖像是的自左向右看圖像是的2、單調(diào)區(qū)間的定義:假設(shè)函數(shù)y = f(x)在區(qū)間D上是或，那么稱函數(shù)y= f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間 D叫作函數(shù)y= f(x)的單調(diào)區(qū)間。3、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)?，如果存在實(shí)數(shù) M滿足條件(1)對(duì)于任意x I ,都有f(x) <

2、 M存在Xo I，使得f (Xo) = M對(duì)于任意x I，都有；存在xo I，使得f (xo) = M結(jié)論M為最大值M為最小值4、考前須知：(1) 函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性，從定義上看，是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的單調(diào)性，是局部的 特征在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)。(2) 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間， 所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的 定義域.對(duì)于根本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用結(jié)論求解，如二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)“同那么增，異那么減的

3、法那么求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3) 單調(diào)區(qū)間的表示單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不 能用并集符號(hào)“U聯(lián)結(jié)，也不能用“或聯(lián)結(jié).二、典例講解題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷ax例1 試討論函數(shù)f(x) =- ( a 0)在(一1,1)上的單調(diào)性.X I探究提高證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：取值一作差一變形一確定符號(hào)一下結(jié)論.變式1： (1)a>0,函數(shù)f (x) = x+ a (,x>0)，證明函數(shù)f (x)在(0,石上是減函數(shù), X在L.a,+)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)y = x2 + x 6的單調(diào)區(qū)間.題型二利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)ax 12假設(shè)函數(shù)f

4、 (x) = x +1在(f 1)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維啟迪：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，解題思路為視參數(shù)為數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與單調(diào)區(qū)間比擬求參.探究提高函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍，可以通過解不等式或轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解；需注意的是，假設(shè)函數(shù)在區(qū)間a, b上是單調(diào)的，那么該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.變式2： (1)假設(shè)函數(shù)f(x) = (2 a 1)x+ b是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍為 函數(shù)y= % x； 5 2在(1,)上單調(diào)遞增，那么 a的取值范圍是()A.a= 3B.a<3C.aw 3D.a> 3

5、題型三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值3函數(shù)f(x)對(duì)于任意x, y R,2總有 f(x) + f(y) = f (x + y)，且當(dāng) x>0 時(shí)，f (x)<0 , f(1) = 3.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值.思維啟迪：?jiǎn)栴}(1)對(duì)于抽象函數(shù)的問題要根據(jù)題設(shè)及所求的結(jié)論來適當(dāng)取特殊值，證明f(x)為單調(diào)減函數(shù)的首選方法是用單調(diào)性的定義來證問題(2)用函數(shù)的單調(diào)性即可求最值.探究提高對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相f ?Xi?應(yīng)的條件，對(duì)任意X1,X2在所給區(qū)間內(nèi)比擬f(xi) f(X2)與0的大小，

6、或與1的大小.有 f ?X2?Xi時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鏧1 = X2 或X1 = X2+ Xi X2等；利用函數(shù)單調(diào)性可以求函X2數(shù)最值.Xi變式3:定義在區(qū)間(0 ,+)上的函數(shù)f (x)滿足f = f (Xi) f(X2)，且當(dāng)X>1時(shí)，X2f(X)<0.(1) 求 f(1)的值；(2)判斷 f (x)的單調(diào)性；(3) 假設(shè) f(3) = 1,求 f (X)在2,9上的最小值.1 2典例4:求函數(shù)y = log 3( x 3x)的單調(diào)區(qū)間.3溫馨提醒 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求出函數(shù)的定義域.如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單

7、調(diào)性的判斷方法， 首先判斷兩個(gè) 簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法那么求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由于思維定勢(shì)的原因， 容易無視定義域。典例5：函數(shù)f (x)對(duì)任意的 m n R,都有f(m+ n) = f (m) + f( n) 1，并且x>0時(shí)，恒有 f(x)>1. (1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)假設(shè)f (3) = 4,解不等式f (a2 + a 5)<2.審題視角(1)對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f(X2) f(X1)并與0比擬大小.(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f 運(yùn)用單調(diào)性“去掉是本小題的切入點(diǎn).要構(gòu)造出f(M<f(N的形式.解

8、函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為 f(M)<f(N)的形式；第三步：運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉函數(shù)的抽象符號(hào)“f轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：解不等式或不等式組確定解集；第五步：反思回憶查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題標(biāo)準(zhǔn).溫馨提醒此題對(duì)函數(shù)的單調(diào)性的判斷是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)不會(huì)運(yùn)用條件x>0時(shí)，f(x)>1.構(gòu)造不出f (X2) f (Xi) = f (X2- Xi) 1的形式，找不到 問題的突破口 .第二個(gè)關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f(M)<f(N)的形式解決此類問題的易錯(cuò)點(diǎn)：無視M N的取值范圍,即無視f(x)所在

9、的單調(diào)區(qū)間的約束三、專項(xiàng)練習(xí)A組專項(xiàng)根底訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，總分值：57分)、選擇題(每題5分，共20分)1.以下函數(shù)中，在(一R, 0)上為增函數(shù)的是A. y = 1 x22B. y = x + 2x1C y=irxD.y=xi2.函數(shù)f (x) = 2ax2+ 4( a 3)x + 5在區(qū)間(一® 3)上是減函數(shù)，那么 a的取值范圍是ax?x>1?,3. f(x) = a是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，那么實(shí)數(shù) a的取值范4夕 x+ 2 ? x< 1?圍為()A. (1 ,+)B. 4,8) C . (4,8)D. (1,8)一 1 一 1 _ _xr1 4. 給定函數(shù)y =

10、 X2，y = log?(x+ 1)，y=|x 1|，y = 2，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是 ()A.B.C.D.二、填空題(每題5分，共15分)5. f(x) = x2 2x (x 2,4)的單調(diào)增區(qū)間為 ; f(x)max=.6. 函數(shù)f (x) = ln(4 + 3x x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .7. 假設(shè)函數(shù)f(x) = a|x b| + 2在0,+)上為增函數(shù)，貝U實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是 三、解答題(共22分)1 1& (10 分)函數(shù) f(x) = ( a>0, x>0),a x(1) 求證：f (x)在(0 ,+)上是單調(diào)遞增函數(shù)；1 1(2)

11、 假設(shè)f(x)在，2上的值域是，2，求a的值.2 a9. (12 分)函數(shù) f (x) = x + x(x豐0, a R).x(1) 判斷函數(shù)f (x)的奇偶性；(2) 假設(shè)f(x)在區(qū)間2 ,+R)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，總分值：43分)一、選擇題(每題5分，共20分)。f ?x?1. 函數(shù)f (x) = x 2ax+ a在區(qū)間(一g, 1)上有最小值，貝U函數(shù)g(x)= 在區(qū)間(1 ,x+g)上一定()A.有最小值B .有最大值C.是減函數(shù)D.是增函數(shù)2. 定義在R上的增函數(shù)f(x)，滿足 f( X) + f(x) = 0, Xi,X2,X3R,

12、且Xi + X2>0,X2 + X3>0 , X3 + Xi>0,貝U f ( Xi) + f(X2)+ f ( X3)的值 ()A. 定大于0B.一定小于2x + 4x,x > 0,3.函數(shù)f (x)=24x x ,x<0,A. ( 1,2)C. ( 2,1)二、填空題(每題5分，共15分)ax+ 14. 設(shè)函數(shù) f (X) = X+25. f (X)為R上的減函數(shù)，那么滿足f0 C .等于0D.正負(fù)都有可能假設(shè)f(2 a2)>f(a)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()B. ( s, 1) U (2 ,+)D. ( s, 2) U (1 , +s)a的取值范圍是.<f (1)的實(shí)數(shù)X的取值范圍是在區(qū)間(一2,+s)上是增函數(shù)，那么6. 設(shè)X1, X2為y =f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題:(X1 X2)f(x" f(X2)>0 ;(X1 X2) f(X1) f(X2)<0 ; f2xXf?>°； f?X1?-曲 <0.X1 X2X1 X2其中能推出函