高中數(shù)學平面向量知識點總結

1、占八、第一局部：向量的概念與加減運算，向量與實數(shù)的積的運算。一.向量的概念：1.2.向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。向量的表示方法：1 幾何表示法：點一射線有向線段具有一定方向的線有向線段的三要素：起點、方向、長度記作注意起訖2 字母表示法：AB可表示為a3. 模的概念：向量AB的大小 長度稱為向量的模。記作：|AB| 模是可以比擬大小的4. 兩個特殊的向量：1零向量一一長度模為0的向量，記作0。0的方向是任意的。 注意0與0的區(qū)別2單位向量長度模為1個單位長度的向量叫做單位向量 二.向量間的關系：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。1. 平行向量：記作:a / b / c規(guī)定:0與

2、任一向量平行2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。記作:a =b規(guī)定:0=03.共線向量:與起點無關。任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示, 任一組平行向量都可移到同一條直線上所以平行向量也叫共線向量。三.向量的加法：1. 定義：求兩個向量的和的運算，叫做向量的加法。注意：;兩個向量的和仍舊是向量簡稱和向量2. 三角形法那么：a+bA Ba+bCAB向量平移自由向量：使前一個向量的終點為后一個向量的起占八、2 可以推廣到n個向量連加3 a 00 a a4 不共線向量都可以采用這種法那么一一三角形法那么3. 加法的交換律和平行四邊形法那么1向量加法的平行四邊形法那么三角形法那么：

3、2向量加法的交換律：a+b=b+a3向量加法的結合律：a+b + c = a+ b+c4. 向量加法作圖：兩個向量相加的和向量，箭頭 是由始向量始端指向終向量 末端。四.向量的減法：1. 用“相反向量定義向量的減法1 “相反向量的定義：與a長度相同、方向相反的向量。記作a2規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。a = a任一向量與它的相反向量的和是零向量。a + a = 0如果a、b互為相反向量，那么a = b, b = a, a + b = 03向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差。 即：a b = a + b求兩個向量差的運算叫做向量的減法。2. 用加法的逆運算定義向量的減法

4、：向量的減法是向量加法的逆運算：假設b + x = a,那么x叫做a與b的差，記作a b3. 向量減法做圖：AB表示a b。強調：差向量“箭頭指向被減數(shù)總結：1向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、 相等向量、共線向量2 向量的加法與減法：定義、三角形法那么、平行四邊形法那么、運算定律 五：實數(shù)與向量的積強調：“模與“方向兩點1. 實數(shù)與向量的積實數(shù)入與向量a的積，記作：入a定義：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作：入a1 I 入 a|=| 入 | a|2入0時入a與a方向相同；入0時入a與a方向相反；入=0時入a=02 .運算定律：結合律：入卩a =入卩a第一分配律：入+

5、 a = X a+卩a第二分配律：入a+b= X a+X b3.向量共線充要條件:向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入使 b = X a六. 平面向量定理：用兩個不共線向量表示一個向量；或一個向量分解為兩個向量。(其實質在于：同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性 組合)平面向量根本定理：如果 e,僉是同一平面內的兩個不共線向量，那么于一平面內的任一向量a,有且只有一對實數(shù)入i,X 2使a = X ie' + X 2今注意幾個問題：1 q、必須不共線，且它是這一平面內所有向量的一組基底2這個定理也叫共面向量定理3 X 1,入2是被a , ei , e2

6、唯一確定的數(shù)量第二局部：向量的坐標運算七. 向量的坐標表示與坐標運算1. 平面向量的坐標表示：在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)(坐標) 來表示取x軸、y軸上兩個單位向量i , j作基底，那么平面內作一向量a=xi+yj ,記作：a=(x, y)稱作向量a的坐標2. 注意：1每一平面向量的坐標表示是唯一的；2 設 A(X1, y 1) B(x 2, y 2)那么 AB =(x2 X1, y 2 y"3兩個向量相等的充要條件是兩個向量坐標相等。3. 結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。同理可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的

7、坐標。4. 實數(shù)與向量積的坐標運算： a =(x, y) 實數(shù)X PR*貝UX a = X (x i +y j )= X xi + X y j'X a=( X x, X y)結論：實數(shù)與向量的積的坐標，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應的坐標。八. 向量平行的坐標表示結論：a / b ( b 0)的充要條件是x1y2-X2y1=0注意：1消去X時不能兩式相除y1, y 2有可能為0, v b 0X2, y 2中至少有一個不為02充要條件不能寫成上竺x1x2/Xi, x 2有可能為03從而向量共線的充要條件有兩種形式：a / b b 0a bX1 y2X2 %0九線段的定比分點：1 .線段的

8、定比分點及入P1, P 2是直線實數(shù)入，上的兩點，P是I上不同于Pl, P 2的任一點，存在使 ppm PF2入叫做點P分PF2所成的比，有三種情況:>P1PP2入>0內分入 <0 -1< 入 <0PlYP2-PP R B 外分入0 入-1外分X22.定比分點坐標公式1yiy23中點公式：假設P是RP2中點時,4. 注意幾個問題：1入是關鍵，入0內分入0外分入-1假設P與P1重合，入=0 P 與R重合入不存在2中點公式是定比分點公式的特例始點終點很重要，女口 P分PR的定比入=丄2那么P分P2P的定比入=2公式：女口 X 1, X 2, X, 入 知三求一十.平面

9、向量的數(shù)量積及運算律一平面向量數(shù)量積a b = | a| b|cos ,B2.1. 定義：平面向量數(shù)量積內積的定義,1定。2C3注意的幾個問題；一一兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由 cos的符號所決寫成ab；今后要學到兩個向量的外積 書寫時要嚴格區(qū)分。兩個向量的數(shù)量積稱為內積， a x b，而ab是兩個數(shù)量的積，在實數(shù)中，假設a 0，且ab=0，那么b=0；但是在數(shù)量積中，假設a 0， 且a b=0，不能推出b=0。因為其中cos有可能為0。這就得性質2。 實數(shù)a、b、c 如右圖：a b = |b c = |c(b 0)，貝U ab=bc

10、a=c。a| b|cos = | b|OA| b| c|cos = | |b|OA| ab=bc 但 ac在實數(shù)中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c 顯然，這是因為左端是與c共線的向量， 而一般a與c不共線。)投影的概念及兩個向量的數(shù)量積的性質：1“投影的概念：作圖a(b c) 而右端是與a共線的向量,AA定義：| b|&s叫做向量注意：1投影也是一個數(shù)量，不是向量。2 當當當當當2向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影| b|cos的乘積。 3兩個向量的數(shù)量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。e a = a e =| a|

11、cosa b a b = 0當a與b同向時，a b = | a| b| ；當a與b反向時，a b =| a| b|。特別的a a = | a/或| a | a ab在方向上的投影。為銳角時投影為正值； 為鈍角時投影為負值； 為直角時投影為0；=0時投影為| b| ；=180時投影為|b|。4 cos|a|b|5 |ab| < | a| b|十一.平面向量的數(shù)量積的運算律1. 交換律：a b = b a2. 結合律：(a) b = (ab) = a( b)3. 分配律：(a + b) c = a c + bc十二.平面向量的數(shù)量積的坐標表示1. 設a = ( xi, yi)，b = ( X

12、2, y2)，x軸上單位向量i , y軸上單位向量j，那么: - - i i = 1，j j = 1 ，i j = j i = 02. a b = X1X2 + yw3. 長度、角度、垂直的坐標表示a = ( x, y)2 2 2|a|= x + y| a| = ；x2y2右 A = ( X1,y",B = ( X2, y2)，貝U AB = (x1 x2)2 山 y2)2co s4原那么)十三.平移/ a bX1X2 y2/22 j 22X1 y1 X2 y2即X1X2 + y$2 = 0 (注意與向量共線的坐標表示、平移的概念：點的位置、圖形的位置改變，而形狀、大小沒有改變，從而

13、 導致函數(shù)的解析式也隨著改變。這個過程稱做圖形的平移。(作圖、講解) 一個平移實質上是一個向量、平移公式：設 PP'= ( h, k)，即：OP' OP PP'x' x h(x' , y' ) = ( x, y) + ( h, k) 平移公y' y k式三、注意：1它反映了平移后的新坐標與原坐標間的關系2 知二求一3 這個公式是坐標系不動，點 P(x, y)按向量a = ( h, k)平移到點P'(x' , y')。另一種平移是：點不動，把坐標系平移向量x' x ha,即：。這兩種變換使點在坐標系中的相對位置y' y k是一樣的，這兩個公式作用是一致的。十四.正弦定理1正弦定理的表達：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等公式即：一二二一二 它適合于任何三角形。si nA si nB si nC2 可以證明旦二_L= 亠 =2R RABC外接圓半徑sin A si nB sinC3 每個等式可視為一個方程：知三求一從理論上正弦定理可解決兩類問題：1 兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2 兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。 十五余弦定理1 余弦定理語言描述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角