第04章聚合物熔體流動3-2013

1、4.3 聚合物加工計算應(yīng)用的張量知識聚合物加工計算應(yīng)用的張量知識 介紹聚合物熔體流動分析常用的張量概念及基本運算介紹聚合物熔體流動分析常用的張量概念及基本運算 例如固體中的例如固體中的應(yīng)變張量應(yīng)變張量、流體中的、流體中的應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量。 選定測量單位之后，僅用數(shù)值大小就能說明其性質(zhì)的物理量稱為選定測量單位之后，僅用數(shù)值大小就能說明其性質(zhì)的物理量稱為標量標量。如溫度、密度、流體中的壓強、導(dǎo)熱率、能量等。如溫度、密度、流體中的壓強、導(dǎo)熱率、能量等。 除大小外還要有方向才能確定的物理量稱為除大小外還要有方向才能確定的物理量稱為向量向量, ,用用三個標量三個標量（分（分量）來描述量）來描述,

2、 , 例如速度、加速度、力等。例如速度、加速度、力等。 應(yīng)力是應(yīng)力是隨作用面的方位不同而改變隨作用面的方位不同而改變其其大小和方向大小和方向的，不能用過的，不能用過該點的一個固定應(yīng)力來描述應(yīng)力狀態(tài)。該點的一個固定應(yīng)力來描述應(yīng)力狀態(tài)。 只需知道只需知道三個相互垂直面上的應(yīng)力三個相互垂直面上的應(yīng)力描述。應(yīng)力描述。應(yīng)力由三個向量由三個向量來確來確定的，把在定的，把在一點處一點處不同方向具有不同值的物理量不同方向具有不同值的物理量稱為稱為張量張量。 (1) (1) 標量、向量（矢量）和張量標量、向量（矢量）和張量一、張量的概念及應(yīng)力張量一、張量的概念及應(yīng)力張量 張量物理張量物理定義：一點處不同方向面上

3、具有定義：一點處不同方向面上具有不同矢量值不同矢量值的的物理量物理量。 張量數(shù)學(xué)張量數(shù)學(xué)定義：在笛卡兒坐標系上一組有定義：在笛卡兒坐標系上一組有3 3n n個有序個有序矢量的集合矢量的集合。 1 1 每個每個向量向量可以分解為可以分解為三個分量三個分量， 應(yīng)力張量有應(yīng)力張量有九個分量九個分量，或者說決定應(yīng)力張量要用九個分量。，或者說決定應(yīng)力張量要用九個分量。 圖圖3-1 3-1 應(yīng)力張量示意圖應(yīng)力張量示意圖 (4.3-1 ) 111213212223313233ij應(yīng)力應(yīng)力稱為稱為二階二階張量：張量：應(yīng)力張量的應(yīng)力張量的分量總數(shù)分量總數(shù)是是3 32 2，指數(shù)是指數(shù)是2 2，故稱為，故稱為二階二

4、階張量。張量。張量觀點看，張量觀點看，標量標量稱為稱為零階零階張量，張量，向量向量稱為稱為一階一階張量，張量，3 30 03 31 13 32 2分量數(shù)分量數(shù)2 xxxyxzyxyyyzzxzyzzrrrrzrzzrzzz (4.3-2)(4.3-2) 柱坐標系柱坐標系、z z應(yīng)力張量的矩陣形式為：應(yīng)力張量的矩陣形式為： 在直角坐標系在直角坐標系x x、y y、z z和中，應(yīng)力張量的矩陣形式為：和中，應(yīng)力張量的矩陣形式為： 應(yīng)力張量應(yīng)力張量矩陣矩陣里各應(yīng)力里各應(yīng)力分量描述分量描述：第第一一個個下標下標表示應(yīng)力分量表示應(yīng)力分量作用面作用面的的法線方向；法線方向；第第二二個個下標下標表示表示應(yīng)力分

5、量應(yīng)力分量的的方向。方向。主對角線主對角線上應(yīng)力分量上應(yīng)力分量下標相同下標相同， (4.3-3)(4.3-3) 應(yīng)力分量應(yīng)力分量 剪應(yīng)力互等定理，在非主對角線上應(yīng)力分量是剪應(yīng)力互等定理，在非主對角線上應(yīng)力分量是對稱于對對稱于對角線角線的，因此應(yīng)力張量是的，因此應(yīng)力張量是對稱張量對稱張量。分別表示分別表示垂直作用于垂直作用于三個主平面上，即是三個主平面上，即是法向力法向力。3 ijkxyz 算子是具有算子是具有矢量矢量和和微分微分雙重性質(zhì)的符號，即矢量和微分，雙重性質(zhì)的符號，即矢量和微分，所以它既服從所以它既服從矢量運算矢量運算法則也要按法則也要按微分運算微分運算法則法則以下以常用的幾個物理量說

6、明算子的應(yīng)用。以下以常用的幾個物理量說明算子的應(yīng)用。 （2 2）哈密爾頓算子（）哈密爾頓算子（Hamilton operatorHamilton operator）哈密爾頓算子是一個具有哈密爾頓算子是一個具有微分微分和和矢量矢量雙重運算的雙重運算的算子算子。哈密爾頓。哈密爾頓算子在直角坐標系中的表達式為：算子在直角坐標系中的表達式為：4 流動與變形的材料在空間中流動與變形的材料在空間中每一點每一點，都對應(yīng)著，都對應(yīng)著物理量物理量的一個的一個確確定值定值。對于這些標量和矢量確定的空間，即為標量場和矢量場。對于這些標量和矢量確定的空間，即為標量場和矢量場。 梯度（梯度（GradientGradie

7、nt）是矢量。這個矢量的方向為該標量）是矢量。這個矢量的方向為該標量變化最大變化最大的方向的方向，大小為這個，大小為這個最大變化率最大變化率的數(shù)值。的數(shù)值。gradijkxyz gradijkxyz (4.3-4)場場：直角坐標系直角坐標系 a . . 標量場的梯度標量場的梯度記為記為gradj它是溫度、密度、濃度等標量場它是溫度、密度、濃度等標量場不均勻程度不均勻程度的度量。的度量。j為標量為標量5 u vv u 123123u vu iu ju kv iv jv k 1niiiu vCCC為常數(shù)1212 121221 FF1 1223 3u vu vu v=+（角標相同分量乘積的和）（角標

8、相同分量乘積的和）兩個矢量兩個矢量的的點乘積點乘積定義為一個定義為一個標量標量梯度的運算法則有梯度的運算法則有矢量的矢量的運算運算6 b. b. 矢量場的散度矢量場的散度 123vv iv jv k=+ 散度散度(Divergence)(Divergence)為矢量場中任意一點通過所為矢量場中任意一點通過所包圍界面的通量包圍界面的通量，并并除以此微元體積除以此微元體積。記為。記為div vdiv v，它是，它是標量標量。在直角坐標系中，。在直角坐標系中，若若312vvvvdivvxyz 散度的基本運算法則為散度的基本運算法則為 uvuv vvv 對于對于速度場散度速度場散度div v=0div

9、 v=0，稱為，稱為無無源場源場，具有不可壓縮特性。常用，具有不可壓縮特性。常用 iivvxivijivvx（4.3-54.3-5）是速度梯度，常表述為：是速度梯度，常表述為： 7 c c矢量場的矢量場的旋度旋度 旋度（旋度（CurlCurl）為）為矢量場矢量場中中 任意一點，在任一方向上的任意一點，在任一方向上的環(huán)環(huán)量密度量密度。旋度是個。旋度是個矢量矢量。它的。它的方向方向是是環(huán)量面環(huán)量面密度最大的方向密度最大的方向，其大小即為這個其大小即為這個最大面密度的值最大面密度的值。xyzyyxxzzijkrotvxyzvvvvvvvvvijkyzzxxyv v式中式中“”表示叉乘表示叉乘 （4.

10、3-64.3-6） 兩個矢量兩個矢量u u和和v v的叉乘為一矢量的叉乘為一矢量w w，其大小數(shù)值為其大小數(shù)值為uvsinuvsin（為為u u和和v v的夾角），的夾角），其方向垂直其方向垂直u u和和v v兩個矢量形成的平面，兩個矢量形成的平面，u u 、v v和和w w形成一個右形成一個右手系統(tǒng)。手系統(tǒng)。記為記為rotrotv或或CurlCurl在直角坐標系中在直角坐標系中v8旋度的基本運算法則為旋度的基本運算法則為 vuvu vvv 9 d d 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222222xyz 稱為拉普拉斯稱為拉普拉斯（laplacelaplace）算子）算子222222222222xyz

11、xyz（4.3-74.3-7）10 a. a.單位張量單位張量單位張量的表達式單位張量的表達式 100010001ijijd稱為稱為克郎內(nèi)克克郎內(nèi)克（KranecherKranecher）符號，定義為）符號，定義為 10ijijij當當b.對稱張量對稱張量 二階張量的下標二階張量的下標i i與與j j互換互換后所代表的分量不變，稱為二后所代表的分量不變，稱為二階階對稱張量對稱張量。ijji 對稱張量矩陣形式中各元對稱張量矩陣形式中各元素關(guān)于對角線對稱。因而只有素關(guān)于對角線對稱。因而只有6 6個獨立元素個獨立元素。 111213111213212223222331323333ij（3 3）常用特

12、殊張量單位張量）常用特殊張量單位張量（4.3-84.3-8）（4.3-94.3-9）11 c.反對稱張量反對稱張量二階反對稱張量分量滿足二階反對稱張量分量滿足 ijjipp 對角線各元素為零對角線各元素為零，只有，只有3 3個獨立分量個獨立分量 121312231323000ijppppppp 任意一個二階張量都可唯一地分解為任意一個二階張量都可唯一地分解為一個二階一個二階對稱張量對稱張量和一個二階和一個二階反對稱張量反對稱張量之和。之和。 （4.3-104.3-10）12二、并矢與應(yīng)變速率張量二、并矢與應(yīng)變速率張量 向量向量u u（u u1 1，u u2 2，u u3 3），），v v（v

13、v1 1、v v2 2、v v3 3），將它們按如下的），將它們按如下的形式排成一個數(shù)組，記作形式排成一個數(shù)組，記作1 11 21 32 12 22 33 13 23 3u vu vu vUVu vu vu vu vu vu v 則稱為則稱為并矢并矢。并矢也可理解為并矢也可理解為向量的梯度向量的梯度，（4.3-114.3-11）在向量的三個分量方向上，每個分量可能按一至三個方向在向量的三個分量方向上，每個分量可能按一至三個方向變化變化，向量的梯度有九個可能的分量。向量的梯度有九個可能的分量。每個分量都具有一個模和每個分量都具有一個模和 兩個方向：兩個方向：一個方向與一個方向與向量本身重合向量本

14、身重合的方向，另一個是它的方向，另一個是它變化變化的方向。的方向。dVdS速度的向量梯度速度的向量梯度13/dV dS可以寫為：可以寫為：111123222123333123VVVxxxVVVdV dSxxxVVVxxx引入微分算符引入微分算符，如前述它在直角坐標系中定義為：，如前述它在直角坐標系中定義為： ijkxyz dVVdS速度的向量梯度用微分算符速度的向量梯度用微分算符與與速度速度 兩個向量的兩個向量的并矢并矢來表示來表示 （4.3-124.3-12）V14 并矢張量可以分解為并矢張量可以分解為對稱張量對稱張量與與反對稱張量之和反對稱張量之和。第第二二項是項是反對稱張量反對稱張量，它

15、表示微元體它表示微元體角轉(zhuǎn)動速率角轉(zhuǎn)動速率。 第第一一項是項是對稱張量對稱張量，稱為稱為應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量，它表示微元體的它表示微元體的應(yīng)變速率應(yīng)變速率；112211221122yxxxzyyyxzyxzzzVVVVVxyxzxVVVVVVyxyzyVVVVVzxzyz110221102211022yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVVyxzyVVVVzxzy1122式中式中:（4.3-13）15 它們的分量的幾何它們的分量的幾何解釋解釋舉例說明舉例說明 0 xVx（a a）拉伸應(yīng)變速率拉伸應(yīng)變速率 yxVVyxyxVVyx （b b）角應(yīng)變速率角應(yīng)變速率（/2/2） （c c

16、）角轉(zhuǎn)動速率角轉(zhuǎn)動速率 圖中應(yīng)變速率張量分量的圖中應(yīng)變速率張量分量的幾何解釋幾何解釋 xVx表示微元沿表示微元沿x x軸方向的拉軸方向的拉( (或壓或壓) )應(yīng)變速率應(yīng)變速率;yxVVyx表示微元體垂直于表示微元體垂直于z z軸的表面的軸的表面的角應(yīng)變速率角應(yīng)變速率,從從/2/2變到變到角的速率角的速率;yxVVyx 表示微元體的垂直于表示微元體的垂直于z z軸的表面的軸的表面的角轉(zhuǎn)動速率角轉(zhuǎn)動速率。 0 xVx12-12-11在在直角坐標系直角坐標系x x、y y、z z中中222yxxxzyyzzVVVVVxyxzxVVVyzyVz對稱000yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVV

17、yxzyVVVVzxzy在在柱坐標系柱坐標系r r、z z中，應(yīng)變速率張量為：中，應(yīng)變速率張量為：222111rrrzrzzVVVVVrrrrrzrVVVVrrzrVz 對稱角轉(zhuǎn)動速率張量為角轉(zhuǎn)動速率張量為 應(yīng)變速率張量為應(yīng)變速率張量為 17 三、張量的代數(shù)運算三、張量的代數(shù)運算1.張量的加減張量的加減兩張量的加減就是兩張量的對應(yīng)兩張量的加減就是兩張量的對應(yīng)分量相加減分量相加減。2.2.張量與標量相乘張量與標量相乘張量張量Aij與標量與標量相乘是把張量的相乘是把張量的每個分量每個分量Aij都都乘乘以這個標量以這個標量 ，其積是一個新的張量。其積是一個新的張量。ijijijTAB（張量數(shù)乘，張量

18、放大）（張量數(shù)乘，張量放大）ijijBA根據(jù)張量運算法則，根據(jù)張量運算法則，聚合物流變學(xué)常用聚合物流變學(xué)常用一種變換一種變換0000000200003300000000033000000033ij0020001033001ij(4.3-14)(4.3-15)183.3.兩張量的張量積（兩張量的張量積（單點積單點積）張量張量A A和張量和張量B B的張量積，乘積的張量積，乘積T T是一個新的張量記為：是一個新的張量記為：T=AT=AB B單點積乘法運算服從單點積乘法運算服從矩陣矩陣的乘法運算法則的乘法運算法則，即有，即有 張量張量T T的分量：它的第的分量：它的第i i行、第行、第j j 列上的

19、分量是張量列上的分量是張量A A的第的第i i行的行的各分量分別與張量各分量分別與張量B B 的第的第j j 列上各對應(yīng)分量的乘積之和。列上各對應(yīng)分量的乘積之和。1 1221kijilljijijikkjita ba ba ba bijikkjTAB（4.3-164.3-16）mllnmn=.19 4. 4. 兩張量的標量積兩張量的標量積( (雙點積雙點積) ) 張量張量P P與張量與張量Q Q的標量積（雙點積）記為的標量積（雙點積）記為P P：Q Q，是一個，是一個標標量量。該標量是兩個張量的。該標量是兩個張量的單點積相乘單點積相乘所得的所得的新張量新張量T T的的主對角主對角線上線上的的各

20、個分量代數(shù)之和各個分量代數(shù)之和。 兩張量的標量積在聚合物加工原理中應(yīng)用，例如應(yīng)力張量兩張量的標量積在聚合物加工原理中應(yīng)用，例如應(yīng)力張量與速度梯度與速度梯度 的雙點積，的雙點積， 兩兩應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量的雙點積的雙點積 的乘積按上述運算的結(jié)果是的乘積按上述運算的結(jié)果是: : 張量張量 主對角線上各分量主對角線上各分量的的平方和平方和再加再加非主對角線三個分量非主對角線三個分量的平方和的平方和的的兩倍兩倍，即即222222112233122313:2 (4.3-17)(4.3-17)V：: 20 在直角坐標系中表示為在直角坐標系中表示為:222222:42yxzyyxxzzVVVxyzVVVVVVyxzyxz 5.5.向量與張量相乘向量與張量相乘向量與張量按向量與張量按單點積相乘單點積相乘，左乘記為左乘記為 （向量在左），（向量在左），右乘記為右乘記為（向量在右）（向量在右）得到另一個新的向量。得到另一個新的向量。,xxxyxzyxyyyzzxzyzzyxxyyyzyyzxxzxxzzzxyzxyzxyzxyz (4.3-18)例如：例如：21 四、應(yīng)力張量與應(yīng)變速率張量不變量四、應(yīng)力張量與應(yīng)變速率張量不變量 凡在凡在坐標轉(zhuǎn)換下不改變其量坐標轉(zhuǎn)換下不改變其量的的量量稱為稱為不變量不變量。張量不變量是什么呢？張量不變量是什么呢？ 應(yīng)力