談如何解答最值型應(yīng)用題

1、談如何解答最值型應(yīng)用題德化縣葛坑中學(xué)張貴焰最（極）值型應(yīng)用題是高考的重要題型之一，這類問題貼近生活、貼近社會(huì)，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值， 有利于考查學(xué)生的分析、 猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力，如何解答該類題型是數(shù)學(xué)課堂必 須解決的一個(gè)重要專題。針對(duì)最（極）值型應(yīng)用題，筆者習(xí)慣通過歸納不 同的模型，采取三步走的方式引導(dǎo)學(xué)生解答。一、認(rèn)真讀題、析題，從中提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)一個(gè)應(yīng)用題擺在你面前，你首先要做的就是把它讀懂，然后認(rèn)真分析題目，找準(zhǔn)關(guān)鍵信息，提煉數(shù)學(xué)模型。例1、某企業(yè)為適應(yīng)市場(chǎng)需求，準(zhǔn)備投入資金 10萬元，生產(chǎn) Wffi R型 兩種產(chǎn)品。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，生產(chǎn) W型產(chǎn)品所獲利

2、潤y（萬元）與投入資金x（萬 元）的關(guān)系為y = 2-10+ 6xx +1x。生產(chǎn)R型產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與投3，一 一1一.1 一一一、一 入資金x（萬元）的關(guān)系滿足y = -xo為獲得最大利潤，問生產(chǎn) W R型兩種3產(chǎn)品各應(yīng)投入資金多少萬元？獲得的最大利潤是多少？（精確到0.01萬元） 通過讀題，從中可以得到以下四個(gè)重要信息：（1）這是一個(gè)“最值型應(yīng)用題”；（2）投入生產(chǎn) 儲(chǔ)口 R兩種產(chǎn)品的總資金是10萬元。如果投入生產(chǎn) W 的資金是x萬元（0ExW10）,則投入生產(chǎn)R的資金是（10-x）萬元；（3）生產(chǎn)W型產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與投入資金x（萬元）的關(guān)系為y-10 + 6x-x2 1=

3、2 十+1xo生產(chǎn)R型產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與投入資金x（萬元）31的關(guān)系為y=§x。(4)企業(yè)所獲總利潤是生產(chǎn) W口 R兩種產(chǎn)品的利潤總和。依據(jù)上述四個(gè)重要信息，并設(shè)投入生產(chǎn) W的資金為x萬元，可以建立 本題的利潤數(shù)學(xué)模型：y = 2,0#" +1x + l(10 . x)=20* +"(0<x<10)o333建立了數(shù)學(xué)模型，就等于邁出了成功解題最關(guān)鍵的第一步。高中數(shù)學(xué) 最值型應(yīng)用題主要涉及哪些數(shù)學(xué)模型呢？1、常用函數(shù)型。通過建立常用函數(shù)模型進(jìn)行解題的最(極)值型應(yīng)用題是高考及平時(shí) 訓(xùn)練最常見的，所涉及的常用函數(shù)有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、 指

4、數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等，如例1所建立的就是復(fù)合函數(shù)的模型。例2、A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現(xiàn)要把化肥運(yùn)往 C、D 兩村，如果從A城運(yùn)往C、D兩地運(yùn)費(fèi)分別是20元/噸與25元/噸，從B城 運(yùn)往C D兩地運(yùn)費(fèi)分別是15元/噸與25元/噸，已知C地需要220噸，D 地需要280噸。如果個(gè)體戶承包了這次運(yùn)輸任務(wù)，請(qǐng)你幫他算一算，怎樣 調(diào)運(yùn)花錢最少？解析：此題文字信息量大，數(shù)2000$據(jù)較多，可先憑借圖形處理，如圖所示。設(shè)A城化肥運(yùn)往C地x噸。1r1rl計(jì) 口噸 本題的終極目標(biāo)量是總調(diào)運(yùn)費(fèi)?？紤]建立總調(diào)運(yùn)費(fèi)的等量關(guān)系：總調(diào)運(yùn)費(fèi)=運(yùn)了的化肥費(fèi)用。設(shè)總調(diào)運(yùn)費(fèi)用為 y,則可建立如

5、下一次函數(shù)模型:y = 20x + 25(200 x) + 15(220 x) + 22(80 + x),化簡(jiǎn)，得 y = 2x+10060(0<x<200)o例3、在某沙漠地區(qū)，A地生產(chǎn)汽油，B地需要汽油，汽車若由A地直接向B地運(yùn)油，由于往返一次的耗油量恰好等于汽車滿載量，所以此法不可行，因此，需要在A到B的途中設(shè)一中轉(zhuǎn)站D。先由往返于A D之間的汽車將油從A運(yùn)到D,再由往返于D. B之間的汽車將油從D運(yùn)到B（設(shè)此過程中，每輛運(yùn)油車的滿載量、耗油量、行駛速度均相等 ）為使運(yùn)油率達(dá)到一 ，一弛收到的油最大，則中轉(zhuǎn)站D就建在何處？（運(yùn)油率=/", ）s解析：設(shè)每輛汽車的滿載

6、量為 W ABN間的路程為s, AD=- （x>0）, xW swu小W" 2s x 2 x-1則從A到D的運(yùn)油率為P1 =W=v vx(x>0),W 2s s (1 x) 2從D到B的運(yùn)油率為P2 =W1 .=-(x>0), x從A地到B地的運(yùn)油率P= Pi P2,通過計(jì)算可建立以二次函數(shù)為主的 11 o 1復(fù)合函數(shù)模型：P= （1 2） +4（x>0）。例4、某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為 5000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷12 一一一， 售的收入函數(shù)為R（x）=5x2x2（萬兀）（0WxW

7、5）,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺(tái)）。（1）把利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤最大？解析：利潤y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入 R(x)與其總成本 C(x)之差，由題意，當(dāng)xW5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x>5時(shí)，只能銷售500 臺(tái)，所以由y= R(x)- C(x)可得：1 25 5x 2x2 (0.5+ 0.25x) 0< x< 5y=11化簡(jiǎn)得到以下分段函數(shù)模型： (5 X 5 - 2 X 52)-(0.5 + 0.25x) x>5,4.75x- Jx2- 0.5 0<x< 5y=2。1 12-0.25xx>52、不

8、等式型。一些最值型的應(yīng)用題可建立一個(gè)不等式模型，通過解不等式(組)而 達(dá)到求解的目的?；蛘呦冉⑿稳鐈= f(x) ,g(x)或y= f(x) + g(x)的函數(shù)，再應(yīng)用“ a+b2«b(a A0,b A0) ”系列不等關(guān)系求得最值。例5、根據(jù)實(shí)驗(yàn)可以測(cè)出：汽車從剎車到停車所滑行的距離(m)與時(shí)速(km/h)的平方及汽車總重量成正比例關(guān)系。設(shè)某輛卡車不裝貨物以時(shí)速 50km/h的速度行駛時(shí)，從剎車到停車走了 20m,如果這輛貨車裝著等于車 重的貨物行駛時(shí)，發(fā)現(xiàn)前面 20m處有障礙物，這時(shí)為了能在離障礙物5m以外處停車，最大限制時(shí)速應(yīng)是多少(答案只要求保留整數(shù)部分，設(shè)卡車司 機(jī)從發(fā)現(xiàn)障

9、礙物到剎車需經(jīng)過1s)?解析：(1)理順以下關(guān)系：。汽車從剎車到停車所滑行的距離(m)與時(shí) 速(km/h)的平方及汽車總重量存在正比例關(guān)系；O 2正比例關(guān)系中的系數(shù) k 可求嗎？題中所給的兩個(gè)數(shù)據(jù)：設(shè)某輛卡車不裝貨物以時(shí)速50km/h的速度 行駛時(shí)，從剎車到停車走了 20m有何作用；G汽車滑行距離的函數(shù)表達(dá)式是什么；G問題的結(jié)論中有障礙物時(shí)汽車所允許滑行的最大距離(2)建立函數(shù)與不等式模型：建立汽車滑行距離的函數(shù)模型：設(shè)汽車的時(shí)速為x千米/小時(shí)，汽車總重量為W,則滑行距離y=kx2 W,其中k為比例系數(shù)；今設(shè)汽車自重為P,20則當(dāng) w=p, x=50 時(shí)，y=20Xl0 2千米.由 1OO0=

10、k 502 P,得 k =20.1.2500Px 1000o . y=125PX 103xW °建立最大限速的不等式模型：由題設(shè)， 令滑行距離小于等于15米：得 x+ dncDv m3x2 2F>< tJ3o最后通過解不等式求得最大限速。3600125Px 10103、線性規(guī)劃型。線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中的基本內(nèi)容，是通過數(shù)形結(jié)合方法來解決日 常生活實(shí)踐中的最優(yōu)化問題的一種數(shù)學(xué)模型，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。例6、某工廠生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1噸需耗A種礦石10噸，B種礦石5噸，煤4噸；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品1噸需耗A種礦石4噸，B 種礦石4噸，煤9噸。每1噸甲種產(chǎn)品的利潤是600元

11、，每1噸乙種產(chǎn)品的利潤是1000元。工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中要求消耗 A種礦石不超 過300噸，B種礦石不超過200噸，煤不超過360噸。甲，乙兩種產(chǎn)品應(yīng) 各生產(chǎn)多少噸(精確到0.1噸)，能使利潤總額達(dá)到最大值？解析：這個(gè)問題中涉及數(shù)量很多，相互關(guān)系較復(fù)雜，可先通過列表幫 助理清數(shù)量關(guān)系，設(shè)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y噸，利潤總額z元, 建立目標(biāo)函數(shù)，約束條件組，畫出可行域。成:目標(biāo)函數(shù)：z=600x + 1000y ,整理3 zy 二 x 5100010x 4y <3005x 4y <2004x 9y <360作直線y = 3 x,5約束條件組:畫出可行域,并平移觀

12、察找出最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。（如圖）4、可應(yīng)用導(dǎo)數(shù)型。一些最值應(yīng)用題可建立高次線性函數(shù)模型（三次的較為常見）或一些 復(fù)雜但可導(dǎo)且易求駐點(diǎn)的函數(shù)模型，就可通過導(dǎo)數(shù)的方法求得最值。例7、如下圖，用半徑為R的圓鐵皮，剪一個(gè)圓心角為a的扇形，制成一個(gè)圓錐形的漏斗，問圓心角 a取什么值時(shí)，漏斗的容積最大？分析：設(shè)圓錐的 底面半徑為r,高為 h,如果求出r,就 可以由Ra = 2二r求 出a。設(shè)圓錐的體 積為V,那么V= 1nr2h。由圖知：r2+h2=R2。選擇對(duì)a或r求導(dǎo)數(shù)的方法，求漏斗容積的 3最大值。二、提取問題中的特殊限制條件最值型應(yīng)用題的背景材料來源于生活或其它學(xué)科，就會(huì)有一些變量的 取值范圍受到限

13、制，這一些特殊的限制條件可分成兩類:一是明確的限制條件。如例4中題目就對(duì)產(chǎn)品售出的數(shù)量x做了明確 規(guī)定，必須在0WxW5和x>5兩個(gè)范圍內(nèi)分別建模。例6也有“要求消耗 A種礦石不超過300噸，B種礦石不超過200噸，煤不超過360噸”的明確 限制。二是隱藏的限制條件。限制條件沒有明確告知我們，它是現(xiàn)實(shí)條件及實(shí)際需要的體現(xiàn)，在解題時(shí)要給予充分考慮。如例 1中投入生產(chǎn) W勺資金 必須在0到10萬元之間；例2中從A城運(yùn)往C地化肥的量必須在0到200 噸之間等。這些特殊的限制條件，不管是顯性的還是隱性的，在解題中都容易被忽視，因此每次解應(yīng)用題都要特別重視。三、操作、運(yùn)算、給出結(jié)論。給問題建立了數(shù)

14、學(xué)模型，找出了各變量的特殊限制條件，就可以開始進(jìn)行具體的操作、運(yùn)算，即解模。解模過程中要充分利用“模型”的各種現(xiàn)成屬性，時(shí)刻注意各變量的特殊限制條件。還有一些“模型”的解答過 程有它自身的步驟模式，解答時(shí)一定要按它的步驟模式踏踏實(shí)實(shí)完成。如解答線性規(guī)劃型的最值應(yīng)用題的一般步驟是（見例6） ：（ 1 ）將題目條件條理化、歸類，并列表（2）設(shè)未知變量x、y,目標(biāo)變量Z建立目標(biāo)函數(shù)，約束條件組（ 3）作可行域，將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閥 = kx + f（z） 形式，并作直線y = kx（ 4）根據(jù)求Z 最大（小）值及f（z） 中 Z 的系數(shù)判斷直線y = kx 的平移方向。（ 5）找出最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，列方程組求出最優(yōu)解，并計(jì)算Z 最大（?。┲?，寫出答案。又如應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解最值型應(yīng)用題的步驟是（如例7） ：（ 1）建立模型：認(rèn)真分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，建立