高二理科數(shù)學《3..2立體幾何中的向量方法（五）》

1、 立體幾何中的向量方法 (五)1、教學任務(wù)分析：學生已有的相關(guān)知識是：線面平行判定、線面垂直判定、求二面角的的平面角的大小的傳統(tǒng)幾何方法與向量方法，并且經(jīng)歷了解決上述單個問題的過程，積累了初步用坐標法解決問題的經(jīng)驗與具體方法。這一節(jié)課的任務(wù)是：1）已知一直線一平面，求證直線與平面平行2）已知一直線一平面，求證直線與平面垂直 3）給定兩個半平面，求二面角的大小。從學生已有的知識與經(jīng)驗來看，可以把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，從而完成任務(wù)。從課型上說：屬于“問題教學”，以問題為載體，學生在老師的引導與幫助下，分析、研究問題，制訂解決問題的策略，選擇解決問題的方法。通過一個數(shù)學問題的解決，讓學生參

2、與教學過程，這個過程中，老師尊重學生的思維過程，充分發(fā)揮學生在學習中的主動性以及他們之間的合作交流。2、教學重點與難點重點：對立體幾何的主要向量方法進行綜合訓練難點：選擇恰當?shù)慕鉀Q問題的方法3 教學基本流程4 教學情境設(shè)計問 題設(shè)計意圖師 生 活 動問題1：回顧前面討論過的問題，請你概述用向量方法解決立體幾何問題時一般經(jīng)歷怎樣的過程。 立體幾何中的確向量方法可以歸納為三步：（1）把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）進行向量運算；（3）由向量運算解釋幾何問題。問題1有助于加強學生對解題通法的整體認識。 教師引導學生結(jié)合前面的例題從整體上歸納解題過程，留給學生一定時間，使其通過思考能明確認識“三步曲”

3、各階段的主要任務(wù)，并能簡明地敘述出來，為對本節(jié)后續(xù)內(nèi)容的整體把握作準備。問題2：閱讀例4，請你找出其中的已知條件和求解問題。這些求解問題能用向量方法解決嗎？ 通過閱讀題目，使學生明確題中所給出的條件和求解的問題，從需要完成的任務(wù)理出本題可以用向量解決的大體思路。 例1如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點是的中點，作交于點 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小。分析本題涉及的問題包括：判定直線與平面平行和垂直，計算二面角的大小，這些問題都可以利用向量方法解決。由于已知條件中四棱錐的底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，所以非常適合建立空間直角坐標系表示向量。 問題3：從例

4、4的已知條件和求解問題看，你認為應(yīng)怎樣把問題向量化？如果建立坐標系，應(yīng)怎樣建立？ 初步建立已知條件與求解內(nèi)容兩者間的聯(lián)系，使學生意識到通過把向量坐標化解決問題，培養(yǎng)他們結(jié)合題中條件建立適當坐標系的能力。教師引導學生關(guān)注已知條件中有“三角線段兩兩垂直且彼此相等”這一條件，使學生由此聯(lián)想到選擇這些線段所在直線為坐標軸、以線段長（正方形邊長）為單位長度建立空間直角坐標系，并意識到這是適合本題的坐標化方法。教師要求學生寫出點的坐標，并進一步寫出等的坐標。問題4：考慮4（1），要證平面，應(yīng)如何入手？ 運用直線與平面平行的判定定理，需證明與平面內(nèi)一直線平行。找出這條直線的過程可以鍛煉直覺觀察能力；證明兩線

5、平行可以鞏固對直線的方向向量、共線向量等概念的理解。教師從“要證平面”出發(fā)，啟發(fā)學生考慮直線與平面平行的判定條件，引導學生通過討論發(fā)現(xiàn) 與有平行關(guān)系，從而自然地想到寫出的坐標，并由證出，進而證出平面。解析如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設(shè)。（1）證明：連結(jié)交于點，連結(jié)依題意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，）。因為底面是正方形，所以點是此正方形的中心，故點的坐標為（），且所以而平面，且平面因此平面。法二：設(shè) 共的又平面 平面.問題5：考慮例4（2），要證平面，應(yīng)如何入手？ 運用直線與平面垂直的判定定理，需證明與平面內(nèi)兩相交直線垂直。找出這兩條直線的過程可以鍛煉分析已知條

6、件以及看圖能力；證明直線間的垂直關(guān)系的過程可以鞏固對兩非零向量的“數(shù)量積為0”的幾何意義的認識。教師從“要證平面”出發(fā)，啟發(fā)學生考慮直線與平面垂直的判定條件，讓學生討論：應(yīng)證明與哪些線段垂直，用向量方法怎樣證？在討論的基礎(chǔ)上，由學生自已寫出主要證明過程，即（已知），平面。解析 (2)證明：依題意得又故 所以。由已知，且。所以平面問題6：考慮例4（3），要計算二面角的大小，應(yīng)如何入手？ 計算二面角的大小，首先要找出其平面角，轉(zhuǎn)而計算平面角的大小。計算角的大小時，向量是非常有力的工具。解決這個問題可以鞏固對運用向量方法求角度的掌握。教師從“計算二面角的大小”出發(fā)，啟發(fā)學生如何找出相應(yīng)的平面角，讓學

7、生討論：哪個角是二面角的平面角，用向量方法怎樣計算它的大小？教師引導學生考慮：點的坐標對計算是否重要？怎樣利用題中條件確定點的坐標？讓學生通過討論寫出確定點坐標的過程，再進一步考慮并表達通過計算的過程。法一：（3）已知，由（2）可知故是二面角的平面角。設(shè)點的坐標為，則因為，所以即因為所以所以點有坐標為又點的坐標為所以因為所以即二面角的大小為.法二：法向量法：由已知可證平面，平面.故平面法向量平面法向量故二面角為法三：方向向量法：過、分別作棱的垂線、垂足、，仿法一求、坐標.只求即為所求. 同學們課后練習.問題7：考慮例4后的思考題1.思考題1可以使學生進一步體會向量方法中坐標化對簡化計算所起的作用。學生結(jié)合剛討論過的例題，對思考題進行思考和討論，教師適當點撥引導。注意不要就題論題，而要透過例題看到解題中的基本想法。師：你能不建立坐標系，用向量法完成證明嗎？學生嘗試，教師指導證明（1）不共面,為一個基底,取中點為，則，面，面.（2）=.，.又，面.（3）面.，.即為二面角的平面角.不妨設(shè).則，. ，. 問題8：考慮例4后的思考題2.思考題2可強化綜合法，理會各方法的簡繁，靈活選用三種方法解題.綜合法怎樣題：作，證，求。你能解求出嗎？請課后練習.小結(jié)立體幾何中的不同方法。加