補(bǔ)充二、希爾伯特變換及其應(yīng)用

1、1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)實(shí)連續(xù)時(shí)間信號(hào) 的Hilbert變換 定義為： )( tx)(txttxdtxdtxtx1*)()(1)(1)( tth/1)(00)sgn()(jjjjH補(bǔ)充內(nèi)容2： 希爾伯特（Hilbert）變換及其使用Hilbert變換與解析信號(hào)結(jié)論：結(jié)論：Hilbert變換器是幅頻特性為1的全通濾波器。信號(hào)x(t)通過(guò)Hilbert變換器后，其負(fù)頻率成分作+90相移，而正頻率成分作90相移。其幅頻、相頻特性為： Hilbert反變換HilbertHilbert變換與解析信號(hào)變換與解析信號(hào))sgn()()sgn()()()()(jjXjjXjHjXjX由時(shí)域卷積定理有：tthttxtx1

2、)(,1)()( 由此可得：HilbertHilbert反變換的公式反變換的公式 )()sgn()(jXjjXdtxtxttx)( 1)( *1)(解析信號(hào))( )()(tx jtxtz設(shè) 為 的Hilbert變換，定義為信號(hào) 的解析信號(hào)解析信號(hào)(analytic signal)。)( tx)(tx)(txHilbertHilbert變換與解析信號(hào)變換與解析信號(hào))()()()()()(jXjjHjXjXjjXjZ00)sgn()(jjjjH又000)(2)(jXjZ()X j()Z j()X j結(jié)論：結(jié)論：由Hilbert變換構(gòu)成的解析信號(hào)，只含有正頻率成分，且是原信號(hào)正頻率分量的2倍。例Hi

3、lbertHilbert變換與解析信號(hào)變換與解析信號(hào)設(shè) ，求其Hilbert變換及解析信號(hào))2cos()(0tfAtx解：解：)()(2)()(2)()()(2)(000000AjjjAjXAjX)()()()(0AjXjjXjZ又tfjAetz02)(解析函數(shù)為: )2sin()(0tfAtx可以證明，若 )2cos()(0tfAtx則其Hilbert變換 002 f令)2sin()( 0tfAtx 的Hilbert變換為：)(tx可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng) tuthth 00 tth即即:其傅里葉變換其傅里葉變換 j1j21jHH )j (jjej)j

4、 (j XRHH 又又則則 jj)j (XR j1jjj21XR 1jj21XR 1jj2jRX dj21j21jjj XRXR所所以以 dj212jjRX根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得 dj1)j ( XR dj1j RX因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) )j ( H的實(shí)部與虛部滿足希爾的實(shí)部與虛部滿足希爾 伯特變換約束關(guān)系。伯特變換約束關(guān)系。 伯特變換的約束關(guān)系。伯特變換的約束關(guān)系。的實(shí)部與虛部滿足希爾的實(shí)部與虛部滿足希爾，證明，證明已知已知)()()(thFtuethta a 因?yàn)橐驗(yàn)?a aa ajtueFthFt 1)(即系統(tǒng)函數(shù)即系

5、統(tǒng)函數(shù) a a a aa a jjXjRjjH 2222式中實(shí)部式中實(shí)部 22 a aa a jR虛部虛部 22 a a jX a a a a a a a a a a d2121122 jjjjjXH現(xiàn)在求現(xiàn)在求 jX的希爾伯特變換的希爾伯特變換 d1 jXjXHad122aaaCjBjA22令可求出各分式系數(shù)可求出各分式系數(shù) 22,21,21a a a a a a CjBjA則則 a a a a a a a a a a d2121122 jjjjjXH a a a aa a d122222 a a a a a aa a d12222222 a a a a a a a aa a lnlnarc

6、tg12222 0022122 a aa a 22a a a a R HilbertHilbert變換與解析信號(hào)變換與解析信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)00)(jjeHj設(shè)Hilbert變換器的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，與連續(xù)信號(hào)Hilbert變換器的頻率響應(yīng)H(j)對(duì)應(yīng)，h(n)的頻率響應(yīng)H(ej)為：作H(ej)的傅里葉反變換，求得： de jdjedeeHnhnjnjnjj002121)(21)(為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnnhn20) 1(1)()( nx)(nx離散時(shí)間信號(hào) 的Hilbert變換記為：HilbertHilbert變換與解析信號(hào)變換與解析信號(hào) 的Hilbert變換 為：)( nx)(nxmmm

7、nxnhnxnx) 12() 12(2)(*)()( 0)(0)()()()(jjjjjejXejXeHeXeX求得 后，即可構(gòu)成 的解析信號(hào) )( nx)( )()(nx jnxnz)(nx使用DFT求信號(hào)的Hilbert變換步驟：Step 1. 對(duì) 做 DFT, 得：( )x n( ),0,1X kkNStep 2. 令1,2012, 2 , 1)(20)()(NNkNkkXkkXkZStep 3. 對(duì) 做逆 DFT, 得( )Z k( )z nStep 4. 由( )IDFT( ( )( )x nj Z kX k得)()()( nxnzjnx實(shí)連續(xù)信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率)( )(

8、)(tx jtxtz)()(| )(|)(22txtxtzte)()( arctan)(txtxt dttdt)()(X（t）的包絡(luò),瞬時(shí)振幅X（t）的瞬時(shí)相位X（t）的瞬時(shí)頻率實(shí)離散信號(hào)的包絡(luò)、瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率)( )()(nx jnxnz)()(| )(|)(22nxnxnzne)()( arctan)(nxnxn X（n）的包絡(luò)X（n）的瞬時(shí)相位18 help hilbert HILBERT Discrete-time analytic signal via Hilbert transform. X = HILBERT(Xr) computes the so-called discre

9、te-time analytic signal X = Xr + i*Xi such that Xi is the Hilbert transform of real vector Xr. If the input Xr is complex, then only the real part is used: Xr=real(Xr). If Xr is a matrix, then HILBERT operates along the columns of Xr.19 n=0:1:50; dt=0.001; a=0.1; x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) su

10、bplot(2,2,1); plot(x); y=hilbert(x); rx=real(y); Ix=image(y);20z=sqrt(rx.*rx+ix.*ix);%求信號(hào)x的包絡(luò)%z=sqrt(abs(x).2+abs(y).2);subplot(222);plot(z);thet=atan(ix./rx);%求信號(hào)x的瞬時(shí)相位subplot(223);plot(thet);real(z) 實(shí)部函數(shù)imag(z) 虛部函數(shù)abs(z)求復(fù)數(shù)z的模angle(z)求復(fù)數(shù)z的輻角，其范圍是（ ， conj(z) 求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)0204060-1-0.500.51020406000.51

11、1.50204060-2-1012單道地震信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬實(shí)際地震記錄信號(hào)瞬時(shí)屬性提取合成記錄瞬時(shí)屬性提取分析瞬時(shí)屬性的分辨率及地質(zhì)意義實(shí)際地震記錄信號(hào)瞬時(shí)屬性提取實(shí)際地震記錄信號(hào)瞬時(shí)屬性提取三條同相軸，最上一條和中間一條間距小，在瞬時(shí)振幅曲線上未分辨出來(lái)，中間一條和最下一條間距相對(duì)較遠(yuǎn)，在瞬時(shí)振幅曲線上可以分辨出來(lái)，但也不明顯。 600ms461700ms單道地震信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬合成記錄瞬時(shí)屬性提取合成記錄瞬時(shí)屬性提取合成地震記錄參數(shù)：30Hz的Ricker子波，三個(gè)反射層位且相距較遠(yuǎn) ，瞬時(shí)振幅可以很清晰的分辨出三個(gè)層位 -30-20-100102030-1

12、01the Ricker wavelet050100150200250300-0.500.5the reflection coefficient050100150200250300-0.500.5the synthetic seismograms050100150200250300-0.500.5time/msamplitudepart of the original signal 05010015020025030000.20.40.60.8time/msamplitudethe instantaneous amplitude of the synthetic seismograms單道地震

13、信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬合成記錄瞬時(shí)屬性提取合成記錄瞬時(shí)屬性提取 合成地震記錄參數(shù)：100Hz的Ricker子波，四個(gè)反射層位，其中第二個(gè)和第三個(gè)相距較近，合成地震信號(hào)有明顯的四個(gè)層位，但是Hilbert變換只能清晰的辨別三個(gè)層位，這說(shuō)明Hilbert變換提取瞬時(shí)振幅的分辨率是有限的，特別是對(duì)于薄層、薄互層。 -30-20-100102030-101timeamplituethe riker wavelet of 100Hz050100150200250300-0.500.5timeamplitudethe reflection coeffici

14、ent050100150200250300-0.500.5timeampthe synthetic seismogram050100150200250300-0.500.5timeamplitudethe synthetic seismograms501001502002503000.20.40.60.8timeamplitudethe instantaneous amplitude of the synthetic seismograms單道地震信號(hào)數(shù)值模擬單道地震信號(hào)數(shù)值模擬瞬時(shí)屬性的分辨率及地質(zhì)意義瞬時(shí)屬性的分辨率及地質(zhì)意義 通過(guò)單道信號(hào)的瞬時(shí)屬性的分析，可知利用瞬時(shí)屬性可以反映同相軸的

15、局部或細(xì)微變換，但其分辨率也是有限的，而且不同瞬時(shí)屬性反映的信息也不同。屬性類別 物理意義 主要地質(zhì)意義 瞬時(shí)振幅 地震反射波強(qiáng)度的量度 反映巖性、不整合、斷層、流體及儲(chǔ)集層的孔隙率變化，識(shí)別河流和湖泊相砂體、局部斷層、薄層、縫（洞）等。瞬時(shí)相位 同相軸連續(xù)性的量度反映巖性、地層層序變化，識(shí)別河流和湖泊相砂體、不整合斷層、縫（洞）等。瞬時(shí)頻率 相位的時(shí)間變化率反映巖性、地層層序變化，識(shí)別沖積扇和三角洲砂體、異常衰減和薄層調(diào)諧變化、縫（洞）等。瞬時(shí)地震屬性提取方法綜述瞬時(shí)地震屬性提取方法綜述“？”表示尚無(wú)文獻(xiàn)有相關(guān)方面研究由上框圖可知，不論小波分解還是經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，最后的分量信號(hào)依然要利用Hil

16、bert變換處理提取瞬時(shí)屬性。瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究頻率域頻率域Hilbert變換算法實(shí)現(xiàn)變換算法實(shí)現(xiàn))()()(1)()()()()()()(Hsjhshjsss jsS00)(jjh0002)(H)()()(ts jtstS瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究頻率域頻率域Hilbert變換算法實(shí)現(xiàn)變換算法實(shí)現(xiàn)頻率域希氏變換流程圖頻率域希氏變換流程圖瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究Hilbert變換提取瞬時(shí)地震屬性的算法驗(yàn)證變換提取瞬時(shí)地震屬性的算法驗(yàn)證1、單道信號(hào)驗(yàn)證、單道信號(hào)驗(yàn)證0200

17、4006008001000120014001600-202x 104the original signal02004006008001000120014001600012x 104the intantaneous amplitude calculated by the matlab02004006008001000120014001600012x 104the instantaneous amplitude calculated by the C program瞬時(shí)地震屬性提取算法研究瞬時(shí)地震屬性提取算法研究 Hilbert變換提取瞬時(shí)地震屬性的算法驗(yàn)證變換提取瞬時(shí)地震屬性的算法驗(yàn)證2、瞬時(shí)振

18、幅剖面驗(yàn)證、瞬時(shí)振幅剖面驗(yàn)證瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用圈定火成巖侵入煤層范圍1. 天然氣水合物BSR空間展布瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用圈定火成巖侵入煤層范圍圈定火成巖侵入煤層范圍 克拉美麗氣田發(fā)現(xiàn)層系屬石炭系火山巖，氣藏地質(zhì)條件復(fù)雜，火山巖巖性與分布的識(shí)別是制約火山巖勘探的一個(gè)“瓶頸”難題。此次數(shù)值試驗(yàn)取用克拉美麗氣田資料，嘗試?yán)盟矔r(shí)屬性進(jìn)行火層巖侵入煤田范圍。 瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用1 7 0 4線疊后剖面線疊后剖面瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用1704線瞬時(shí)振幅剖面線瞬時(shí)振幅剖面瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用1 7 0 4線瞬時(shí)相位剖面線瞬時(shí)相位剖面瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用 結(jié)果分析：地震剖面顯示火成巖侵入煤層，上部煤層有錯(cuò)斷。在瞬時(shí)振幅剖面上可以明顯的顯示出錯(cuò)斷發(fā)生的位置，而且火成巖侵入?yún)^(qū)域瞬時(shí)振幅雜亂無(wú)章，可以定性的解釋火成巖侵入，但對(duì)于劃分火成巖侵入范圍效果不理想。在瞬時(shí)相位剖面上，可以明顯的顯示出錯(cuò)斷發(fā)生的位置，而且可以清晰的劃分?jǐn)鄬泳€，火成巖侵入的區(qū)域，瞬時(shí)相位同相軸雜亂無(wú)章，但煤層和巖層同相軸更加清晰，因此可以較為精確的劃分出火成巖侵入的邊界范圍。 瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用瞬時(shí)地震屬性應(yīng)用天然氣水合物似海底反射層天然氣水合物似海底反射層 (BSR)空間展布空間展布BSR是海底存在天然氣水