網(wǎng)絡(luò)群體與市場(chǎng)-課件--第21章

1、2021/8/141傳染病的網(wǎng)絡(luò)傳播模型（第21章）2021/8/142疾病傳播模型：基本要素 多大范圍（規(guī)模）？要不要采取措施？ 許多傳染病會(huì)自生自滅，例如季節(jié)性的 多長(zhǎng)時(shí)間？會(huì)不會(huì)反復(fù)（“死灰復(fù)燃”） 對(duì)患者影響的嚴(yán)重性（生命、損傷、不適）接觸網(wǎng)絡(luò)疾病特征傳染概率關(guān)心的問(wèn)題:2021/8/143流行病傳播與社會(huì)行為傳播的差別 已經(jīng)討論過(guò)的傳播模型 總體模型總體（占比）效應(yīng) 網(wǎng)絡(luò)模型社會(huì)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 基于門(mén)檻值的模型 流行病傳播特點(diǎn) 傳播原因：傳染 傳播途徑：接觸關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 傳播方式：具有隨機(jī)特性決策模型隨機(jī)模型被感染患病者未感染2021/8/144分支過(guò)程：一個(gè)最簡(jiǎn)單的疾病傳播模型 分支

2、過(guò)程形成樹(shù)結(jié)構(gòu)接觸網(wǎng)絡(luò)，最初一個(gè)人攜帶病菌進(jìn)入人群，以一個(gè)獨(dú)立的概率 p 傳染給遇到的每個(gè)人。假設(shè)疾病感染期間每個(gè)人遇到 k 個(gè)其他人這個(gè)模型雖然簡(jiǎn)單，但便于引出刻畫(huà)疾病傳播過(guò)程的一個(gè)關(guān)鍵概念p反映了疾病的傳染性2021/8/145傳染過(guò)程停止的條件？為什么隨著層數(shù)往下，被傳染的人越來(lái)越多？為什么隨著層數(shù)往下，被傳染的人越來(lái)越少？2021/8/146基本再生數(shù)（reproductive number）基本再生數(shù)：由單一個(gè)體引起的新發(fā)病例數(shù)期望值，記為R0，R0=p*k 如果R0 1，則疾病持續(xù)在每一波以一定的概率至少感染一個(gè)人 2021/8/147基本再生數(shù)的特點(diǎn) 因?yàn)镽0=p*k，當(dāng)R0接近

3、于1時(shí)，稍微改變接觸人數(shù)k或傳染概率會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很大影響。R0接近于1時(shí)有一個(gè)“刀刃”（knife-edge）特性 如果R0略低于1，稍微增加傳染概率p；結(jié)果可能會(huì)使R0 高于1，造成一個(gè)突然的疾病爆發(fā) 略微減少疾病的傳染性，可以將R0減小到1以下，消除疾病大范圍流行的風(fēng)險(xiǎn) 結(jié)論：當(dāng)門(mén)檻值R0=1附近，社會(huì)應(yīng)該付出努力減小基本再生數(shù)（隔離，戴口罩等就是措施） 實(shí)際的疾病傳播要復(fù)雜得多，分支結(jié)構(gòu)沒(méi)有考慮三角關(guān)系，弱連接2021/8/148SIR疾病傳播模型 SIR模型可以描述更一般網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的傳播情況，接觸網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)在流行病傳播過(guò)程中經(jīng)歷三個(gè)狀態(tài)(susceptible,infectious,r

4、emoved)： 易感狀態(tài)(S)：易感者，有可能被一個(gè)患病的網(wǎng)絡(luò)鄰居節(jié)點(diǎn)感染 傳染狀態(tài)(I)：患病者，以一定的概率將疾病傳染給處于易感狀態(tài)的鄰居 移出狀態(tài)(R)：痊愈并免疫者，當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)經(jīng)歷了完整的病期康復(fù)后，就不再會(huì)被傳染，也不會(huì)再對(duì)其他節(jié)點(diǎn)造成威脅，相當(dāng)與從接觸網(wǎng)絡(luò)中移出了2021/8/149SIR模型描述 SIR模型流行病的傳播過(guò)程取決于接觸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以及兩個(gè)量值：p（傳染的概率）和 tI（傳染期的長(zhǎng)度） 最初，一些節(jié)點(diǎn)處于狀態(tài) I，所有其他節(jié)點(diǎn)處在狀態(tài) S。 每個(gè)進(jìn)入狀態(tài) I 的節(jié)點(diǎn)v在固定的步驟 tI 期間具有傳染性。在在 t tI I 的每一步的每一步，v 以概率 p 將疾病傳染給

5、它的處于易感狀態(tài)的鄰居 經(jīng)過(guò) tI步后，節(jié)點(diǎn) v 進(jìn)入移出狀態(tài)（R），成為網(wǎng)絡(luò)中的惰性節(jié)點(diǎn)，不會(huì)再被傳染，也不會(huì)向其他人傳播易感 S傳染 I移出 R2021/8/1410 接觸網(wǎng)是一個(gè)有向圖 圖中有三種不同的節(jié)點(diǎn) 白色（易感） 粗邊界的灰色（傳染） 細(xì)邊界的灰色（移出）一個(gè) tI =1的SIR模型示例接觸不一定傳染2021/8/1411非樹(shù)型網(wǎng)絡(luò)的R0不再有“刀刃”特性 網(wǎng)絡(luò)由每層兩個(gè)節(jié)點(diǎn)組成向右無(wú)限伸延，tI= 1，傳染概率p為2 / 3，最左邊的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是最初傳染者 R0是由一個(gè)節(jié)點(diǎn)造成的新病例數(shù)，預(yù)期為4/3 1 每條邊不傳播疾病的概率為1/ 3，所有四條邊都沒(méi)導(dǎo)致疾病傳播的概率為(1/

6、3)4, 于是每一層成為最后一層（疾病傳染終止層）的概率至少是1/81這種結(jié)構(gòu)相當(dāng)于形成了一個(gè)路障，疾病無(wú)法超越它向遠(yuǎn)方傳播2021/8/1412SIR模型（運(yùn)行）的靜態(tài)圖示 接觸網(wǎng)絡(luò)每條邊預(yù)先投擲硬幣（按照給定傳染概率p），投擲硬幣成功的邊定義為開(kāi)放邊；其余的邊定義為 阻塞邊 利用開(kāi)放邊和阻塞邊描述流行病傳播過(guò)程：最終受感染的節(jié)點(diǎn)正是那些能夠從最初感染節(jié)點(diǎn)沿著在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選定的 開(kāi)放邊能夠達(dá)到的節(jié)點(diǎn) 注意：每次運(yùn)行結(jié)果可能不同圖中，粗黑線(xiàn)為開(kāi)放邊。注意到不是所有開(kāi)放邊都起作用的（例如 wr）2021/8/1413SIR模型的形式化描述 易感人數(shù)、傳染人數(shù)、移出人數(shù)分別為S(t),I(t),R

7、(t)，占比分別為s(t), i(t), r(i) ：個(gè)人單位時(shí)間與其他人平均有效接觸次數(shù) ：?jiǎn)挝粫r(shí)間治愈人數(shù) SIR模型描述為：來(lái)自最早提出SIR模型的文獻(xiàn)：Kermack W O, McKendrick A G. Contributions to the mathematical theory of epidemics, part IJ. Proceedings of the Royal Society of London A, 1927, 115: 700721ds(t)dt=-bi(t)s(t)di(t)dt=bi(t)s(t)-gi(t)dr(t)dt=gi(t)s(t)+i(t)+

8、r(t)=12021/8/1414一個(gè)給定和的SIR時(shí)間曲線(xiàn)設(shè)=1,=0.4,s(at start)=0.99, i(at start)=0.01, r(at start)=0疾病什么時(shí)候消失呢？ 取決于：/。如果發(fā)病率高于痊愈率，則疾病會(huì)持續(xù)，否則疾病將消失2021/8/1415利用SIR模型分析SARS傳播 利用SIR模型中di/dt方程模擬北京在2003 年4 月18 日到6 月16 日的每天新增病例 模擬中使用的參數(shù)是: = 0.148, =0.85, 初始值為: s(0)=1199, i(0)=1（這里總?cè)藬?shù)應(yīng)該看作是接觸到病源的易感 、傳染 、免疫的人數(shù)之和 ,而不是北京市總?cè)丝冢?/p>

9、 2021/8/1416SIS流行病傳播模型 SIR模型只適用于一次患病終身免疫的疾病。SIS模型描述了更一般的疾病傳播。節(jié)點(diǎn)結(jié)束傳染狀態(tài)后再回到易感狀態(tài)，節(jié)點(diǎn)在 S 和 I 兩種狀態(tài)中交替，因此得名SIS模型 最初，一些節(jié)點(diǎn)處于狀態(tài) I，其余節(jié)點(diǎn)處于狀態(tài) S 每個(gè)進(jìn)入狀態(tài) I 的節(jié)點(diǎn) v 在 tI 期間內(nèi)具有傳染性，在 tI的每一步，節(jié)點(diǎn)以概率 p 將疾病傳染給其處在易感狀態(tài)的鄰居 經(jīng)過(guò) tI 步后，I 節(jié)點(diǎn)不再具有傳染性，返回狀態(tài) S易感 S傳染 I2021/8/1417SIS模型的特點(diǎn)SIS模型下的傳染病的流行周期會(huì)比SIR模型的要長(zhǎng)基本再生數(shù)具有刀刃特點(diǎn)：可以證明，對(duì)于某些類(lèi)型的接觸網(wǎng)

10、絡(luò)，存在特定傳染概率p，在其附近，網(wǎng)絡(luò)中的SIS傳染病在一邊表現(xiàn)為“快速消失”，在另一邊則會(huì)“持續(xù)一個(gè)很長(zhǎng)的時(shí)間”。該傳染概率臨界值以微妙的方式依賴(lài)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。2021/8/1418SIR與SIS的關(guān)系 SIS模型可以看成是SIR模型的特例 設(shè) tI=1，將患病節(jié)點(diǎn)v在每一個(gè)時(shí)間步視為“不同的個(gè)體”，可以將SIS模型表示為SIR模型 在每個(gè)時(shí)間周期 t=0、1、2、3，為每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別創(chuàng)建一個(gè)節(jié)點(diǎn)副本，對(duì)于原網(wǎng)絡(luò)中v連接到w的邊，復(fù)制 t 時(shí)刻擴(kuò)展網(wǎng)絡(luò)中 v 到 t+1時(shí)刻w的邊同時(shí)被w傳染2021/8/14192021/8/1420SIR與SIS的關(guān)系2021/8/1421SIRS 流行病傳播

11、模型 結(jié)合SIR和SIS，疾病有暫時(shí)免疫特性：受傳染節(jié)點(diǎn)治愈后會(huì)暫短地經(jīng)過(guò)R狀態(tài)，然后再次進(jìn)入S狀態(tài)SIRS模型 開(kāi)始某些節(jié)點(diǎn)在 I 狀態(tài)，其他在S狀態(tài) 進(jìn)入 I 狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)v在固定時(shí)間 tI 內(nèi)具有傳染性，在 tI 的每一步以概率p將疾病傳播給易感狀態(tài)的鄰居 I 狀態(tài)節(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò) tI 步后，進(jìn)入狀態(tài)R，經(jīng)過(guò) tR 后再次回到S狀態(tài)傳染I易感S移出R疾病傳播過(guò)程受量值 p、tI 以及 tR 的影響，同時(shí)受到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響tItR2021/8/1422SIRS模型下可能看見(jiàn)傳染病流行的震蕩效應(yīng)STUVWXSISSSS.RI.SRI.SRI.SRII.RI.SRI.SRI.SRI.SRITSUWXV

12、p=0.5, 形象過(guò)程2021/8/1423Watts-Strogatz小世界模型上運(yùn)行SIRS模型 I=4，R=9 Ninf(0)=0.1 模擬c=0.01, 0.2, 0.9三種情況結(jié)論：當(dāng)弱連接（遠(yuǎn)程）邊占比較高時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)被傳染的周期趨于同步。經(jīng)歷被傳染，持續(xù)相同的時(shí)間，進(jìn)入隔離，之后又同時(shí)被傳染受感染人數(shù)占比模擬時(shí)間c: 弱連接邊占比2021/8/1424為什么會(huì)有同步震蕩？ 當(dāng)c較小時(shí)：00.5，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)較高的有序的聚集特點(diǎn)，疾病周期會(huì)在一個(gè)局部區(qū)域內(nèi)完成，之后進(jìn)入免疫期（不活躍期） 當(dāng)c值較大時(shí)：0.5，弱連接打破了有序的聚集區(qū)域，剛剛?cè)膫€(gè)體可能又通過(guò)一個(gè)弱連接被再次感染。因

13、此整個(gè)網(wǎng)絡(luò)成同步狀態(tài)2021/8/1425模型中可以考慮的一些其他因素 傳染期不同時(shí)段傳染性可以不同 不同個(gè)體傳染性的不同 患病者可能在傳染期間不同的階段恢復(fù) 接觸網(wǎng)絡(luò)的邊具有時(shí)間特性 其他非網(wǎng)絡(luò)因素（例如蚊子） 2021/8/1426一個(gè)生物學(xué)基因遺傳的研究 線(xiàn)粒體夏娃理論：1987年，Rebecca Cann、Mark Stoneking和Allan Wilson 在Nature 雜志上發(fā)表一篇論文引起轟動(dòng) 線(xiàn)粒體DNA嚴(yán)格按照母系遺傳 現(xiàn)代全人類(lèi)的線(xiàn)粒體DNA基本相同 于是，每個(gè)人都有一條母系祖先的線(xiàn)索，稱(chēng)為母親的血統(tǒng)。所有這些血統(tǒng)源自10萬(wàn)至 20萬(wàn)年前（14萬(wàn)年）的一個(gè)單一女子，很可

14、能是在非洲，她是我們當(dāng)代所有人的母系祖先。2021/8/1427一點(diǎn)生物遺傳知識(shí)2021/8/14282021/8/14292021/8/1430線(xiàn)粒體遺傳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)解釋 Wright-Fisher單親祖先模型：?jiǎn)斡H祖先模型：每一代的人口數(shù)量保持在固定的N當(dāng)前一代N個(gè)個(gè)體產(chǎn)生新一代的N個(gè)個(gè)體每個(gè)后代由一個(gè)單親產(chǎn)生，從當(dāng)前一代中獨(dú)立地均勻隨機(jī)選擇，這樣，當(dāng)前一代的一個(gè)個(gè)體可能會(huì)有多個(gè)孩子 這樣，就可以想到一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)是個(gè)體，代際分層，邊代表單親關(guān)系 2021/8/1431 每個(gè)個(gè)體都向上連接到自己的母親； 時(shí)間自上向下展開(kāi)，最底層表示當(dāng)前有N個(gè)個(gè)體 從底部開(kāi)始，任何一個(gè)個(gè)體都可以沿著向上

15、的邊追溯他她的單親血統(tǒng) 能否說(shuō)明這些邊最終將匯聚到一點(diǎn)？2021/8/1432 簡(jiǎn)單的概率分析，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)前給定數(shù)量的個(gè)體在向上追溯單親祖先的過(guò)程中會(huì)不斷發(fā)生匯聚（發(fā)現(xiàn)同一個(gè)母親），于是獨(dú)立的線(xiàn)索越來(lái)越少，最終匯聚到一點(diǎn) 這個(gè)距當(dāng)代最近的匯聚點(diǎn)就是線(xiàn)粒體夏娃2021/8/1433基因遺傳學(xué)的解釋 當(dāng)時(shí)肯定同時(shí)生活著許多女人（以及男人），只不過(guò)她們的線(xiàn)粒體基因沒(méi)有遺傳到現(xiàn)在。 不僅是線(xiàn)粒體基因存在這種情形，人的任何一種基因，只要把它們的突變過(guò)程追溯得足夠遠(yuǎn)，總能找到一個(gè)共同祖先，這些祖先生活的時(shí)間可能各不相同，甚至未必是人，有的可能要追溯到人進(jìn)化出來(lái)之前的某個(gè)生物2021/8/1434Wrigh

16、t-Fisher單親祖先模型的意義 可以分析單親物種的遺傳特點(diǎn) 可以分析雙親物種中那些只由單親遺傳的現(xiàn)象，如線(xiàn)粒體DNA 分析社會(huì)繼承行為（包括學(xué)術(shù)繼承等） 2021/8/1435我父母祖父母曾祖父母曾曾祖父母上溯到第十代，有多少不同的人是與你有血緣關(guān)系的祖輩？2021/8/1436小結(jié) 疾病傳染的簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)模型：分支結(jié)構(gòu)、SIR、SIS、SIRS不同模型下的不同現(xiàn)象與問(wèn)題 生物遺傳過(guò)程也可以自然看成是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，從中可能發(fā)現(xiàn)出人意料（或者令人困惑）的現(xiàn)象2021/8/1437作業(yè)：練習(xí)21.2 設(shè)想你了解一群人的接觸關(guān)系，但不知道其中接觸發(fā)生的時(shí)間段?，F(xiàn)觀(guān)察到某種疾病在某些接觸關(guān)系中總不會(huì)傳染，而在另一些接觸關(guān)系中會(huì)傳染，稱(chēng)前者為陰性關(guān)系，后者為陽(yáng)性關(guān)系。很自然要問(wèn)是否能求得接觸網(wǎng)絡(luò)中每條邊存在的時(shí)間段，對(duì)應(yīng)上述陽(yáng)性關(guān)系和陰性關(guān)系的特征。 我們用簡(jiǎn)單的五人接觸網(wǎng)絡(luò)描述這樣的問(wèn)題，如圖21.23所示。 你能否