彈塑性力學(xué)應(yīng)力分析

1、2-1 2-1 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力2-2 2-2 應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變換應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變換2-3 2-3 應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向2-4 2-4 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程2-6 2-6 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件xyzABCONxzyxyxzzxzyyzyxNpzpypxpyzyzzyyzzxxxzxyxyz2-1 2-1 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 已知物體在任一點(diǎn)已知物體在任一點(diǎn)O的六個(gè)應(yīng)力分量的六個(gè)應(yīng)力分量 , 求經(jīng)求經(jīng)過(guò)過(guò)O點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力點(diǎn)的任一斜截面上的應(yīng)力ij123cos,cos,cos,lxlylz

2、NNN令平面令平面ABC的外法線為的外法線為N，其方向余弦為，其方向余弦為設(shè)斜截面上全應(yīng)力為：設(shè)斜截面上全應(yīng)力為：Np沿坐標(biāo)的分量為：沿坐標(biāo)的分量為：,xyzppp簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：ip設(shè)四面體斜面的面積為：設(shè)四面體斜面的面積為：NS則三個(gè)直面的面積為：則三個(gè)直面的面積為：123ddddddxNyNzNSS lSS lSS l簡(jiǎn)寫(xiě)為：簡(jiǎn)寫(xiě)為：ddiN iSS l(1, 2,3)i 考慮四面體微元的平衡考慮四面體微元的平衡0X dddd0 xNxxyxyzxzpSSSS0Y dddd0yNxyxyyzyzpSSSS0Z dddd0zNxzxyzyzzpSSSSxyzONxzyxyxzzxzyyzy

3、xNpzpypxpdd0jNijipSSddjNij iNpSl S所以所以jij ipl即即123123123xxyxzxyxyyzyzxzyzzplllplllplllCauchy定理定理 已知一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可求過(guò)該點(diǎn)任意斜截面上的全應(yīng)力在三已知一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可求過(guò)該點(diǎn)任意斜截面上的全應(yīng)力在三個(gè)（正交）坐標(biāo)軸上的分量個(gè)（正交）坐標(biāo)軸上的分量或或iji jpl 若該斜截面是外邊界的一點(diǎn)，其上作用的面力為若該斜截面是外邊界的一點(diǎn)，其上作用的面力為xyzppp,則則Cauchy公式表明了邊界外力（面力）與該點(diǎn)應(yīng)力的關(guān)系公式表明了邊界外力（面力）與該點(diǎn)應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件xyzNNp

4、zpypxpNN將將 向外法線和斜面分解為向外法線和斜面分解為 和和 。NpNN則則123Nxyzp lp lp l即即Nj jp l將將Cauchy定理代入：定理代入：Nij i jll展開(kāi)整理得：展開(kāi)整理得：2221231 22 33 1222Nxyzxyyzzxllll ll ll l由由 可求得：可求得：2222222NNNNxyzppppp2222NxyzNppp特例：平面應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力公式特例：平面應(yīng)力狀態(tài)斜截面應(yīng)力公式00000 xyxijxyyxyNypxpNNyxxyxycossin0jlcossincossin00 xxyxiyij jxyypppl22cossinsi

5、ncossincosNij i jxyyxxyll22cossin2sincosxyxy11()()cos2sin222xyxyxy222xNyNpp材料力學(xué)中斜截面應(yīng)力公式為材料力學(xué)中斜截面應(yīng)力公式為11()()cos2sin2221()sin2cos22NxyxyxyNxyxy 原因？原因？1()sin2cos22xyxy例例2-1 物體中一點(diǎn)的應(yīng)力張量為 , 求作用在過(guò)此點(diǎn)的平面 上的法向和切向應(yīng)力。 012120 MPa201 31xyz解：解： 平面外法向的方向余弦12221111131l 22223311131l 32221111131l 11511j jpl22711j jpl3

6、3311j jplNij i jl l11 1 112 1 213 1 3l ll ll l21 2 122 2 223 2 3l ll ll l31 3 132 3 233 3 3l ll ll l112233jjjjjjl ll ll l32318210001111111111112222225499296 211111112111NxyzNppp2911若視若視 為外法線的坐標(biāo)面為為外法線的坐標(biāo)面為 坐標(biāo)系下的斜截面坐標(biāo)系下的斜截面 則該點(diǎn)在則該點(diǎn)在 坐標(biāo)系下（旋轉(zhuǎn)）的應(yīng)坐標(biāo)系下（旋轉(zhuǎn)）的應(yīng)力張量力張量 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？xzzxyzxzyzyyzyxxyx2-2 2-2 應(yīng)力狀態(tài)

7、的坐標(biāo)變換應(yīng)力狀態(tài)的坐標(biāo)變換xy z zyzyxy x x y x z z x z y 已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在 坐標(biāo)系下的應(yīng)力坐標(biāo)系下的應(yīng)力張量為張量為 ，設(shè)兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為設(shè)兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為 定義為定義為ijlxyzxyz11l12l13l21l22l23l31l32l33lOxyzx則則11xij ijl l同理同理22yij ijl l33zij ijl lOxyzijOx y z i j 將該斜截面的全應(yīng)力分量將該斜截面的全應(yīng)力分量 分別向分別向 方向方向投影投影即得即得 。仍視仍視 為外法線的坐標(biāo)面為為外法線的坐標(biāo)面為 坐標(biāo)系下的斜截面坐標(biāo)系下的斜截

8、面Oxyzx,xyzppp,yz,x yx z 122232212x yxyzjjij ijp lp lp lp ll l 132333313x zxyzjjij ijp lp lp lp ll l 同理同理21y xij ijl l 23y zij ijl l 31z xij ijl l 32z yij ijl l 所以所以i jij i ij jll 此系二階張量的本質(zhì)特征此系二階張量的本質(zhì)特征 數(shù)學(xué)上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點(diǎn)應(yīng)力數(shù)學(xué)上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量個(gè)應(yīng)力分量 是一個(gè)二階張量，稱為是一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量應(yīng)力張量

9、ij2-3 2-3 應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向定義：定義：1. 當(dāng)當(dāng) P 點(diǎn)的某一斜截面上的切應(yīng)力為零時(shí)，則該斜截面點(diǎn)的某一斜截面上的切應(yīng)力為零時(shí)，則該斜截面上的正應(yīng)力稱為上的正應(yīng)力稱為 P點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力主應(yīng)力。2. 該斜截面稱為該斜截面稱為P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面（點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面（主平面主平面）。）。3. 主平面法線方向稱為主平面法線方向稱為P點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱點(diǎn)一個(gè)應(yīng)力主向，或稱主方向主方向。由定義，在主平面上由定義，在主平面上0N則全應(yīng)力則全應(yīng)力NNp將其向三個(gè)坐標(biāo)投影將其向三個(gè)坐標(biāo)投影iipl由由Cauchy公式公式ij jill123112321233xy

10、xzxxyyzyxzyzzllllllllllll123123123()0()0()0 xyxzxxyyzyxzyzzlllllllll()0ijijjl一一. . 應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向主平面方程主平面方程由由22212310lll 0 xyxzxxyyzyxzyzzdet()0ijij即即展開(kāi)整理，展開(kāi)整理，ijji其中其中1xyzI2222xyyzzxxyyzzxI 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyI 分別稱之為分別稱之為P點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的第一、第二和第三點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的第一、第二和第三不變量不變量為什么稱為不變量？為什么稱為不變量？稱之為稱之為P點(diǎn)應(yīng)力狀

11、態(tài)的點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的特征方程特征方程或或主應(yīng)力方程主應(yīng)力方程321230III并考慮并考慮 得得也稱為體積應(yīng)力，習(xí)慣上用也稱為體積應(yīng)力，習(xí)慣上用 表示。表示。聯(lián)立聯(lián)立 求解，得三組方向余弦。即求解，得三組方向余弦。即求解特征方程得主應(yīng)力，并按從大到小排序求解特征方程得主應(yīng)力，并按從大到小排序123分別將分別將 回代回代123,2221( )2( )3( )1kkklll()0ijijjl11(1)2(1)3(1):,lll21(2)2(2)3(2):,lll31(3)2(3)3(3):,lll 一定為實(shí)根（可證明），分別稱為第一、第二和一定為實(shí)根（可證明），分別稱為第一、第二和 第三主應(yīng)力。第三主

12、應(yīng)力。123, 一定相互垂直（可證明），分別稱為第一、第一定相互垂直（可證明），分別稱為第一、第 二和第三主方向。二和第三主方向。1( )2( )3( ),kkklll 若取若取 為為 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸1( )2( )3( ),kkklll,x y z123,0 xyzxyyzzx則則1123I2122331()I 3123I 與坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)與坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)（取兩式）（取兩式）特例特例1 1：平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力及主方向：平面應(yīng)力狀態(tài)主應(yīng)力及主方向00000 xxyijxyy12230 xyxyxyIII 代入特征方程代入特征方程32()()0 xyxyxy 解方程（若按大小排序其解為）解方程（若按大

13、小排序其解為）22122xyxyxy22222xyxyxy30將將 回代回代1()0ijijjl11(1)2(1)1(1)12(1)1 3(1)()0()00 xyxxyylllll聯(lián)立聯(lián)立 解之解之2221(1)2(1)3(1)1lll1(1)2212(1)2213(1)()()0 xyxxyxyyxylll221(2)2(2)1(2)22(2)2 3(2)()0()00 xyxxyylllll1(3)2(3)1(3)2(3)00 xyxxyyllll32221(2)2(2)3(2)1lll2221(3)2(3)3(3)1lll1(2)2222(2)2223(2)()()0 xyxxyxyy

14、xylll1(3)2(3)3(3)001lll設(shè)設(shè) 為第一主方向與為第一主方向與x軸的夾角軸的夾角1(1)cosl則由三角函數(shù)關(guān)系可得則由三角函數(shù)關(guān)系可得2tan2xyxy例例2-2 已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的已知彈性體內(nèi)部某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為應(yīng)力狀態(tài)為求主應(yīng)力和主方向。求主應(yīng)力和主方向。00000ijaaaaaa解：解：不變量的計(jì)算不變量的計(jì)算1xyzIa2222xyyzzxzxIa 230 xyzyzxI 代入特征方程代入特征方程32220aa解之解之12320aa 將將 代入代入12a()0ijijjl聯(lián)立聯(lián)立 解之解之2221(1)2(1)3(1)1lll1(1)12l2(1)0l3(1)12l

15、 將將 代入代入20()0ijijjl聯(lián)立聯(lián)立 解之解之2221(2)2(2)3(2)1lll1(2)12l2(1)0l3(1)12l將將 代入代入3a ()0ijijjl聯(lián)立聯(lián)立 解之解之2221(3)2(3)3(3)1lll1(3)0l2(1)1l3(1)0lxyzO 123NN123二二. . 最大和最小應(yīng)力最大和最小應(yīng)力 設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，現(xiàn)以設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，現(xiàn)以三主方向取三主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示坐標(biāo)，如圖所示主應(yīng)力單元體主應(yīng)力單元體123xyz123設(shè)任一斜截面設(shè)任一斜截面N，其方向余弦為，其方向余弦為l1、l2、l3則由斜截面正應(yīng)力公式則由斜截面正

16、應(yīng)力公式2221231 22 33 1222Nij i jxyzxyyzzxllllll ll ll l2221 12 23 3lll22221232 23 3(1)llll求極值求極值21222220Nlll 31333220Nlll 解之解之230ll11l 2221231lll 1N同理，將同理，將 分別代入可得分別代入可得22222221331211llllll 和和2N3N說(shuō)明說(shuō)明主應(yīng)力為斜截面正應(yīng)力的極值主應(yīng)力為斜截面正應(yīng)力的極值及及用類(lèi)似的方法亦可求出斜截面切應(yīng)力的極值及其所在平面用類(lèi)似的方法亦可求出斜截面切應(yīng)力的極值及其所在平面應(yīng)力的極值及其所在平面法線的方向余弦應(yīng)力的極值及其

17、所在平面法線的方向余弦0100l30010l20001l1232312122123222222222222li1N2N3N123極值結(jié)論：結(jié)論：max1min3作用平面分別為第一和第三主平面作用平面分別為第一和第三主平面13maxmin2 作用平面為第一與第三主平面的角平分面作用平面為第一與第三主平面的角平分面三三. . 八面體應(yīng)力八面體應(yīng)力123xyz123 設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，以三設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，以三主方向取主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示坐標(biāo)，如圖所示現(xiàn)取一特殊的斜面：現(xiàn)取一特殊的斜面： 123lll注意到：注意到： 2221231lll可求得可求得12313lll

18、1. 1. 八面體斜面上的正應(yīng)力八面體斜面上的正應(yīng)力22281 12 23 3lll8123m13可見(jiàn)：可見(jiàn)：八面體正應(yīng)力等于平均應(yīng)力八面體正應(yīng)力等于平均應(yīng)力m符合上述條件的面有八個(gè)，這八個(gè)符合上述條件的面有八個(gè)，這八個(gè)面構(gòu)成一面構(gòu)成一八面體八面體，如圖所示。，如圖所示。 )(1x)(2y)(3z123（等傾面等傾面）2. 2. 八面體斜面上的切應(yīng)力八面體斜面上的切應(yīng)力2288p22221238ppp22221 12 23 38()()()lll222212312311()()3922281223311()()()3所以所以四四. . 應(yīng)力強(qiáng)度應(yīng)力強(qiáng)度 為讓復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的受力程度與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)

19、的受力程度在為讓復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的受力程度與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)的受力程度在強(qiáng)度方面作對(duì)比，故定義強(qiáng)度方面作對(duì)比，故定義222222i1()()()3()2xyyzzxxyyzzx2221223311()()()283 22顯然當(dāng)為單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)顯然當(dāng)為單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)i1 即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的 i 與單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)的與單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)的 i 在某種在某種意義上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱為意義上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱為正應(yīng)力強(qiáng)度正應(yīng)力強(qiáng)度或或等效正應(yīng)力等效正應(yīng)力同樣，為和純剪應(yīng)力狀態(tài)作對(duì)比，定義同樣，為和純剪應(yīng)力狀態(tài)作對(duì)比，定義222222i1()()()()6xyyzzxxyyzzx

20、11202221223311()()()6862顯然當(dāng)為純剪應(yīng)力狀態(tài)時(shí)顯然當(dāng)為純剪應(yīng)力狀態(tài)時(shí)i1203 即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的即表明復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的 i 與純剪應(yīng)力狀態(tài)的與純剪應(yīng)力狀態(tài)的 i 在某種意義在某種意義上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱為上具有相同的強(qiáng)度效應(yīng)。故稱為切應(yīng)力強(qiáng)度切應(yīng)力強(qiáng)度或或等效切應(yīng)力等效切應(yīng)力2-4 2-4 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解一一. . 應(yīng)力橢球應(yīng)力橢球xyzO 123NN123 設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，仍設(shè)一點(diǎn)的主應(yīng)力及其主方向已知，仍以三主方向取以三主方向取Oxyz坐標(biāo)，如圖所示。坐標(biāo)，如圖所示。 取任一斜面：取任一斜面： 123( ,)N lll由由 iij

21、 jpl得得 11 1pl22 2pl33 3pl代入代入 2221231lll得得 2223121231ppp此即以此即以 為坐標(biāo)軸，主半軸為為坐標(biāo)軸，主半軸為 的橢球方程的橢球方程 123,ppp123,故稱為故稱為應(yīng)力橢球應(yīng)力橢球 幾何意義：幾何意義： 在在 空間中，空間中，123Op p p 過(guò)過(guò) O 點(diǎn)任一斜截面上的全應(yīng)力點(diǎn)任一斜截面上的全應(yīng)力 的矢端均落在此橢球面上的矢端均落在此橢球面上p二二. . 應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量對(duì)于應(yīng)力橢球，若對(duì)于應(yīng)力橢球，若 ，則應(yīng)力橢球?yàn)榍蛎妫瑒t應(yīng)力橢球?yàn)榍蛎?23故定義故定義mmmm000000ij 為為應(yīng)力球張量應(yīng)力球張量力

22、學(xué)意義：三向均拉（壓）應(yīng)力狀態(tài)力學(xué)意義：三向均拉（壓）應(yīng)力狀態(tài)靜水壓力靜水壓力由由 m1231()3有有 123m8113I將應(yīng)力張量進(jìn)行分解將應(yīng)力張量進(jìn)行分解ijmijijs 即即mmmmmm000000 xxyxzxxyxzyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzmmmxxyxzxxyxzijyxyyzyxyyzzxzyzzxzyzssssssssss稱稱為為應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量應(yīng)力偏張量為對(duì)稱二階張量，與應(yīng)力張量有類(lèi)似性質(zhì)：應(yīng)力偏張量為對(duì)稱二階張量，與應(yīng)力張量有類(lèi)似性質(zhì)：1. 1. 應(yīng)力偏張量的主值和主方向應(yīng)力偏張量的主值和主方向11ms22ms33ms主方向與應(yīng)力張量的主方向一致主方向

23、與應(yīng)力張量的主方向一致2. 2. 應(yīng)力偏張量的不變量應(yīng)力偏張量的不變量10 xyzJsss2222()xyyzzxxyyzzxJs ss ss ssss 22232xyzxyyzzxxyzyzxzxyJs s ss s ss ss ss s2221223311()()()61 2 3s s s3331m2m3m1()()()3()xyyzzxs ss ss s 1 22 33 1()s ss ss s 2-5 2-5 平衡微分方程平衡微分方程在點(diǎn)在點(diǎn)P P 附近取一微元體，附近取一微元體，如圖所示，如圖所示，PAdxPBdyPCdzP 點(diǎn)的應(yīng)力為：點(diǎn)的應(yīng)力為：xxyxzyxyyzzxzyz體力

24、分量為：體力分量為：bbb,xyzFFF由微元體的平衡條件可建立平由微元體的平衡條件可建立平衡微分方程和切應(yīng)力互等定理。衡微分方程和切應(yīng)力互等定理。xyzyxyxyxzzxzyzxyzOPABCxdxxxxydxyxxxzdxzxxdyxyxyydyyyydyzyzyydzyzyzzdzzzzdzxzxzzbzFbyFbxF各應(yīng)力增量均忽略了高階項(xiàng)各應(yīng)力增量均忽略了高階項(xiàng)0 xF dd dxxxy zxd dxy zdd dyxyxyz xyd dyxz xdd dzxzxzx yzd dzxx ybd d d0 xFx y z將上式同除以將上式同除以 dxdydz，化簡(jiǎn)得：，化簡(jiǎn)得：b0yx

25、xzxxFxyz同理，由同理，由0,yF 0zF 得到得到 y、z 方向的平衡微分方程。方向的平衡微分方程。xzxyxyxyxzzxzyzxyzOPABCdxxxxdyxyxyydzxzxzzbzFbyFbxFbbb000yxxzxxxyyzyyyzxzzzFxyzFxyzFxyz,b0ij ijF由三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩平衡方程由三個(gè)坐標(biāo)軸的力矩平衡方程0,0,0 xyzMMM列方程并忽略高階項(xiàng)可得列方程并忽略高階項(xiàng)可得,xyyxyzzyzxxz切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理平衡微分方程平衡微分方程：所以有所以有ijji應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量應(yīng)力張量為二階對(duì)稱張量表明了變形固體內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)表明了變形固體內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)力（應(yīng)力）與外力（體力）力（應(yīng)力）與外力（體力）的平衡關(guān)系。的平衡關(guān)系。其分量由九個(gè)縮減為六個(gè)其分量由九個(gè)縮減為六個(gè)2-6 2-6 應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件123123123()()()()()()()()()xSyxSzxSxxySySzySyxzSyzSzSzlllplllplllp設(shè)已知外邊界設(shè)已知外邊界S 上上的一點(diǎn)的外法線方向?yàn)榈囊稽c(diǎn)的外法線方向?yàn)閤yzppp,則由則由Cauchy公式公式 表明了變形固體邊界表明了變形固體