四種線性代數模型

1、線性代數是高等學校理工科和經濟類學科相關專業(yè)的一門重要基礎課，它不僅是其他數學課程的基礎，也是物理、力學、電路等專業(yè)課程的基礎。作為處理離散問題工具的線性代 數，也是從事科學研究和工程設計的科研人員必備的數學工具之一。實驗一生物遺傳模型1. 工程背景設一農業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA、Aa和aa。常染色體遺傳的規(guī)律是:后代是從每個親體的基因對中個繼承一個基因， 由兩個基因A、a控制的，那末就有三種基因對,形成自己的基因對。如果考慮的遺傳特征是記為AA、Aa和aa。研究所計劃采用 Aa(AA)型的植物與每一種基因型植物相結合的方案培育植物后代。問經過若干年后，這種植物的任 意一代的三種基

2、因型分布如何2.問題分析分析雙親體結合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。表6-4基因型概率矩陣后代基因對父體-母體的基因對AA AAAA AaAA aaAa AaAaaaaa aaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/213.模型建立與求解設an,bn,cn分別表示第n代植物中基因型AA、Aa、aa型的植物占植物總數的百分率aog 表示植物型的初始分布。 依據上述基an則第n代植物的基因型分布為x(n)bn，x(0)cico因型概率矩陣,有anan 1bn 11bn 0 1cn 1 ， cn0 ，anbncn1，表示為22矩陣形式an11/20an 1bn

3、01/21bn 1Cn000cn 111/ 20記M01/ 21 ，則 x(n)(n 1)2 (n 2)3 (n 3)MxM xM xL M nx(0)。于是問題歸結為如何計算Mn，可將M對角化。易于計算M的特征值為1、1/2、0，其相應的特征向量為(1,0,0)T ，(0,1,0)T，(1,2,1)T。10111/20令P012，則MP 01/21 P 1001000n11/20X(n) Mnx（0）p0 1/21P 1(0) X0 0 010 11n 00101101 20 (1/2)n0012X(0)00 10 0000111 (1/ 2n) 1 (1/ 2n 1)a。b0C0(1/2n

4、)b0(1/2n1)C001/ 2n1/2nX(0)(1/2n)b0(1/2n1)C000001(1/2n)b0(1/2n 1)C0(1/2n)b。(1/2n1)C0o0當n , an 1,bn0，因此，可以認為經過若干年后，培育出的植物基本上呈現(xiàn)AA型。實驗二員工培訓問題1.工程背景某試驗性生產線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數統(tǒng)計，然后將1/6熟練工支援yn其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經培訓及實踐至年終考核 有2/5成為熟練工。若記第 n年一月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占比例分別為2問題問題1:第n+1年熟練工與非熟練工所占比例與第n年熟練工與非熟練工所占

5、比yn 1xn例n的關系。yn1問題2:若第1年熟練工與非熟練工所占比例為X12 ，求Xn 1y11yn 123.模型建立與求解5 2 1依據題意，有 Xn 1 Xn （ Xn6 5 6Yn)， Yn 13/15(6Xnyn)。9292即Xn 1105Xn記A105，亦有X 1Xn A nYn 113Yn13Yn 1Yn1051051由問題1結果:，有Xn 1AXnA2 Xn1L An2oYn 1YnYn 112整理化簡得xn9 一yy2 - 5征向量為 4,11,1 。41則p 1051113105101 4115 110(1)n118X 1An21Yn 1110292記P14因此2Anp

6、11(2)(1)n4 4占21 4(2O問題歸結為求 A，可將A對角化。易于計算 1、1/2是矩陣A的兩個特征值，且相應的特實驗三多金屬分選流程計算1.工程背景設，j 原礦產率及第j種產品產率，%，100% ；i原礦中第i種金屬品位，% ；ij 第j種產品中第i種金屬品位，%；第j種產品中第i種金屬的理論回收率， %；按照金屬平衡和產率平衡進行計算。為了計算方便，尾礦視為產品。 金屬平衡，ni j j, i 1,2,L ,mj i產品平衡，nj 100%j 1其中，尾礦產率及金屬品位為解次多元線性方程組求出產品產率。各產品任一金屬回收率ijj ijn100%。j ij鋅、硫精礦和尾礦，已化驗知

7、各產品的金屬品位（見j 1產品名稱品位鉛（金屬1）鋅（金屬2）硫（金屬3）原礦3.143.6315.41鉛71.043.7115.70鋅1.2051.5030.80硫0.380.3542.38尾礦0.340.101.402問題某鉛鋅礦選礦廠生產的產品為鉛、F表），試計算各產品產率和回收率。表6-5各產品的化驗品位3.模型建立與求解設鉛、鋅、硫和尾礦的產率為線性方程組：X1,X2,X3和X4，按照金屬平衡與產率平衡，可建立以下71.04音 1.20X2 0.38X3 0.34x4 100 3.143.71X-1 51.50x2 0.35x3 0.10x4 100 3.6315.70X1 30.8

8、0x2 42.38x3 1.40x4100 15.41X x2 x3 X4 100MATLAB源代碼：A=71.041.200.380.34;3.7151.500.350.10;15.7030.8042.381.40;1 1 1 1%創(chuàng)建系數矩陣b=3143631541100'% 常數列矩陣x=Ab %利用 x=inv(A)*b x =3.86596.459028.204661.4706又 xO=repmat(x,1,4);%創(chuàng)建多維數組B0=repmat(b,1 4)'s=xO.*A './BO%計算各產品的理論回收率，最后一列為產率s=87.46232.46843.

9、41336.65603.951191.63612.71941.69343.938612.909677.56715.58463.86596.459028.204661.4706x3100x6300200x2x7300f300 >500 X1f60S400x8500將計算結果填入下表表6-6各產品產率及回收率計算結果產品名稱產率/%回收率/%鉛鋅硫原礦100100100100鉛3.865987.46233.95113.9386鋅6.45902.468491.63616.4590硫28.20463.41332.719428.2046尾礦61.47066.65601.693461.4706實驗四

10、交通流量模型1.問題，計算各線路上車輛數.圖6-8給出了某城市部分單行街道的交通流量(每小時過車數)x10700“x9600圖6-8假設：(1)全部流入網絡的流量等于全部流出網絡的流量.(2)全部流入一個節(jié)點的流量等于全部流出此節(jié)點的流量.2. 模型的建立與求解由假設可知，所給問題滿足如下線性方程組x2 x3 x4300X4X5500X7X6200X1X2800XX5800X7X8100X9400X10X9200X10600X8 X3 X61003. Matlab程序實現(xiàn)A=0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,

11、0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0%矩陣Ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100B=A,b%增廣矩陣BRank(A)%計算矩陣A的秩Rank(B)%計算增廣矩陣B的秩，若秩相等，則有解rref(B)%將增廣矩陣B化為最簡型4結果分析增廣矩陣B =01-1100(100c300001100a05I：IO00

12、000-11002001100000a0SOO1CI010C000sao0ULI00011d010000000001040Q00Cl00000r120000a000(1001600001QQ10101QQ系數矩陣的秩Ran k(A)=8增廣矩陣的秩 Rank(B)=8<10，說明該非齊次線性方程組有無窮多個解.增廣矩陣的最簡型為：10001000a0SCO100-aca000010aa0000200001o0o0500000U010icu-10000001i0wo000a0a14CID0000000001BOOQQ0CQQQQ00000000a0a00其對應的齊次同解方程組為X5800X2X