聯(lián)合態(tài)密度和臨界點

1、3.3 聯(lián)合態(tài)密度和臨界點上面我們從微觀躍遷過程出發(fā)給出了理想晶體由直接躍遷（或豎直躍遷）決定的吸收光譜的一般表達式。材料吸收光譜的具體形式顯然依賴于材料具體的能帶結構。但是，不同材料的光譜存在一個共有的特點：實驗發(fā)現(xiàn)晶體吸收光譜中常會出現(xiàn)一些明顯的結構，或拐點，（如圖3.3-1給出的例子）這些結構產生的物理原因和拐點附近吸收光譜的行為？圖3.3-1 帶間直接躍遷決定的吸收光譜示意圖3.3.1 聯(lián)合態(tài)密度和臨界點（joint or combined density of states and critical point）考查計算或的公式：積分的被積函數中的矩陣元 除了在一些特殊的值（由于對稱

2、性）變?yōu)榱?，一般來說是的平滑函數。即 或中一些拐點，不會是由于矩陣元對的依賴關系。在這些拐點附近，這矩陣元可近似地看作常數，移出積分號。這一近似的含義是，在這小的能量范圍里，滿足能量守恒的每個躍遷元過程都有相同的幾率，因而總的躍遷速率與可能的躍遷數目成比例。式中的積分變?yōu)椋海?（3.3-1） - 給定光場下，波矢和自旋相同，能量間隔為，分屬兩個帶的狀態(tài)對（在這里，一個在價帶，一個在導帶）的數密度，稱之為 聯(lián)合態(tài)密度。下面的討論將顯示晶體吸收光譜中出現(xiàn)的拐點正是與這聯(lián)合態(tài)密度相聯(lián)系的。為明顯看出這一點，我們把空間的積分作一改寫?？臻g的體積元可表示為， （3.3-2）其中 為 曲面上的面元矢量，為

3、面元大小，為波矢增量，它在面元法線方向的投影為。利用 ，也即 。 就可表示成： （3.3-3）上式中，對 積分后變?yōu)?（3.3-4）由的這一表達式可見， (對比態(tài)密度：空間中，等能面與之間的狀態(tài)數/dE，它等于這兩個空間等能面所夾的殼層體積與之積/dE：)積分被積函數可能在某些特定的值，被積函數發(fā)散，出現(xiàn)奇點。稱之為 臨界點（critical point）。該點對應的帶間能量差 稱為 臨界點能量。在這一能量值，聯(lián)合態(tài)密度呈現(xiàn)一個拐點。 由對稱性 可能有多個同類臨界點下面限于討論單個臨界點的情形由于臨界能附近的異常變化是由空間臨界點附近的一個小范圍內狀態(tài)對數目隨E的變化決定的，這范圍以外的區(qū)域對

4、積分的貢獻是常數，我們可以限于討論臨界點附近區(qū)域的貢獻。將在臨界點附近展開，取到二次項（由臨界點條 件，一次項顯然為零）： （3.3-5）其中為臨界點處的值（臨界點能量），都是相對臨界點的值，展開式系數的大小由的倒數表示，系數的符號則由來表示，即它們可能的取值為。按的正或負，臨界點可分為四類：極小值點：對于它， 在此奇點取極小值；鞍點（saddle point）：對于它，兩個取正，一個取負；鞍點（saddle point）：對于它，一個取正，兩個取負；極大值點：，在奇點取極大值。 聯(lián)合態(tài)密度在這幾種臨界點相應的臨界點能量附近的行為 ? 討論中會利用函數的性質：， （3.3-6）其中是方程在區(qū)間

5、中的第個根。以下為方便起見，引進新坐標 ，其中。于是：進而，（3.3-1）式 改寫為 （3.3-7） 先討論點，對這一情形，采用球坐標較方便，這時： （3.3-8）上式中的積分可利用前面提到的函數的性質來計算。方程 僅當時，有一正實數根，而且，由此我們得到： （3.3-9）而在時，方程無根，這時。對鞍點，用柱坐標較方便。在平面的極坐標為。 （3.3-10）先對積分，得 （3.3-11）當時，方程有兩個根，代入上式，得： （3.3-12）上式中的常數 。（3.3-12）式中的積分有兩種情形。一種是，則恒有?？疾欤涸谂R界能附近（很?。?，隨的變化。這時：可以考察一個適當半徑的區(qū)域內的積分，只要在這區(qū)

6、域內，所作的展開（3.3-5）成立，而且。這是因為在整個積分區(qū)間（布里淵區(qū)）中，半徑R的柱體以外的區(qū)域里的積分，貢獻一個常數項。于是（3.3-12）變?yōu)椋?（3.3-13）其中，常數B與能帶的具體結構有關，表示與相比為無窮小量。的情形，要使 ，就需 ，因而有： （3.3-14）這里也同樣的選用了半徑R足夠大的柱體區(qū)域為積分區(qū)間。對鞍點和極大點情形，聯(lián)合態(tài)密度行為的討論非常類似鞍點和極小點的情形，此處不再贅述。四種臨界點附近，聯(lián)合態(tài)密度的行為都列在圖表3.3-1中。上面的討論關注的是臨界點附近小范圍里光吸收的急劇變化規(guī)律（拐點），因而吸收光譜表達式（3.2-12）中變化相對緩慢的躍遷矩陣元可以看

7、作常數提到積分號外。要得到完整的吸收光譜就需要考慮躍遷矩陣元的大小隨光子能量的變化。顯然，這一矩陣元依賴于具體的能帶結構。人們已經對某些具體材料計算了它們的能帶結構和相應的吸收光譜，得到與實驗相符的結果。（見圖3.3-1）表3.1-1 三維體系聯(lián)合態(tài)密度在臨界點附近的行為 （其中, B是一個與能帶結構有關的常數）臨界點聯(lián)合態(tài)密度圖示M0點(極點)M1點(鞍點)M2點(鞍點)M3點(極點)3.3.2 直接帶材料的光學吸收邊和帶隙 絕緣晶體由于禁帶的存在，當光子能量小于帶隙時，不能被它吸收。當光子能量大于或等于帶隙時，吸收過程就變得十分明顯。對直接帶材料尤其如此，在這一能量附近吸收系數變化劇烈，可

8、從往長波方向很快降到幾個。這種帶間躍遷的吸收徒然變化的區(qū)域稱為吸收邊，它涉及的能量范圍只有十分之幾電子伏。® 測量和研究帶隙的基礎。我們知道，直接帶材料的價帶極大（頂）與導帶極?。ǖ祝┰诳臻g的同一位置，這正是前面討論的臨界點。為簡單起見，設價帶和導帶極值附近都是各向同性的，即那里載子有效質量為一標量。它們分別用和表示。于是，豎直躍遷的能量與波矢的關系為： （3.3-15）其中由關系式定義的為約化有效質量，它相當于上一小節(jié)3.3.1中的 。這時聯(lián)合態(tài)密度為 （3.3-16）為計算吸收系數或，還要計算矩陣元（3.3-17） 光的波矢 ，差不多有同樣的波矢，但屬于不同的能帶，幾乎正交，因而上式中第二項的值很小。因而當不為零，也即為允許躍遷時，第二項比第一