二面角的求法---三垂線法

1、三垂線法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，而用三垂線法作二面角的平面角是求二面角大小的一個重要方法，許多同學(xué)在解題過程中由于沒有有效地利用三垂線定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解題受阻我們把用三垂線定理 （或逆定理）作二面角的平面角的方法稱為三垂線法，其作圖模型為：如圖1，在二面角：1 一 中，過平面：內(nèi)一點A作AO丄平面垂足為0,過點0作OB JL于B （過A點作AB丄于B）,連結(jié)AB （或0B），由三垂 線定理（或逆定理）知AB 11 （或0BH）,則ZAB0為二面角。一 1 一：的平 面角作圖過程中，作出了兩條垂線 A0與0B （或AB ），后連結(jié)AB兩

2、點（或0B 兩點），這一過程可簡記為“兩垂一連”其中 A0為“第一垂線”“第一垂線”能否順利找到或恰當(dāng)作出是用三垂線法作二面角的平面角的關(guān)鍵，在具體解題過程中要注意以下幾點：ffllI圈 21.善于利用圖中已有的“第一垂線”例1已知斜三棱柱 ABC AiBiC i中，/ BCA =90 °, AC二BC, A在底面ABC的射影恰為AC的中點M,又知AAi與底面ABC所成的角為60 °.（1）求證：BC丄平面AAiCCi；求二面角B 一 AAi C的大小.剖析：注意該題的第 (1) 問，事實上本題已經(jīng)暗示了 BC 就是我們要尋求的“第一垂線”略解 2 AiA 與底面 AB 成

3、的角為 60 °，所以 AiAC = 60 °，又 M 是 AC 中 點，所以 AAiC是正三角形，作CNJAi于N,點N為A4的中點，連 結(jié)BN , 由BC丄平面 AACCi, BNlAAi，貝JZBNC 為二面角 B 一 AAi 一 C的平面角. 設(shè)AC = BC= a，正 AAiC的邊長為a,所以CN 3 a，在Rt2BNC 中, tan ZBNC 二竺二 a 二蘭，即 ZBNCNC aV3 33"2-例 2 如圖 3, 在底面是直角梯形的四棱錐 SABCD 中，小 BC = 90 ° ,SA 丄面 ABCD , SA=AB = BC = 1 ,

4、AD =-2(1) 求四棱錐 SABCD 的體積；(2) 求面 SCD 與面 SBA 所成的二面角的正切值 .剖析：由 SA 丄面 ABCD 及 SBC=90 °，不難發(fā)現(xiàn)， BC 即為“第一垂線”但是，本題要作二面角的平面角，還需首先作出二面角的棱 .略解2延長BA、CD相交于點E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱，因為 AD ZBC,BC =2AD,所以 EA =AB =SA，所以 SE JSB，因為 SA 丄面 ABCD， 得面SEB丄面EBC，EB是交線，又BC1EB，所以BC丄面SEB，故SB是CS 在面 SEB 上的射影，所以 CS JSE ，所以 ZBSC 是所求二面角

5、的平面角， 因為 SB = SA2 AB2 = ? 2， BC=1， BC _LSB,因為 tan ZBSC = = C -，即所SB 2 求二面角的正切值為 .2fl2 借助第三個平面，作“第一垂線”例3如圖4,正三棱柱ABC AiBiCi的底邊長為a,側(cè)棱長為'a,2若經(jīng)過對角線ABi且與對角線BCi平行的平面交上底面一邊 AiCi于點D.(1) 確定點D的位置，并證明你的結(jié)論；(2) 求二面角Ai ABi D的大小.剖析：由線面平行的性質(zhì)定理及三角形中位線性質(zhì)，易知D是ACi中點.二面角Ai ABi 一 D的放置屬于非常規(guī)位置的圖形，但是，容易發(fā)現(xiàn)，平面AiBiCi過點D且與平面

6、AiABi垂直，這樣的平面相對于二面角的兩個平面而言，我們稱為第三個平面.過D作DF山iBi，由面面垂直的性質(zhì)知，DF丄面AiABi，即DF為我們要作的“第一垂線”略解2在平面AiBiCi內(nèi)，作CF山iBi于F,連DC,由三垂線定理可 證ABi JDG,ZDGF就是二面角 AiABi 一 D的平面角，在正 AiBCi中，因為 D 是 AiCi 中點，AiBi = a,所以 BiF =3a , DF 二三 a，在 Rt DFG，可44求得 ZDCF =45 ° .3.利用特殊圖形的定義、性質(zhì)作“第一垂線 例4已知：Rt KBC的斜邊BC在平面內(nèi)，AB、AC分別與平面。成30 °

7、; 和 45。角，求平面與 AABC 所在平面所成二面角的大小 . 剖析：本題中沒有相對于二面角的兩個平面的第三個平面可以借助，但是，我們注意到AB、AC與平面所成的角均已給出，只要過 A作AO上于0, 就可以同時找到 AB、 AC 在平面內(nèi)的射影，無疑這樣得到的“第一垂線 "A0 有著非常特殊的位置，有利于二面角大小的計算 .解：作 A0 上 于 0, 0DJBC 于 D, 連 OB, AD, 0C , 由三垂線定理得：AD1BC , 所以 ZAD0 是二面角 A BC0 的平面角，令 A0 = x, 在 RtM0B 中， zAB0 = 30 ° 所以 AB = 2x, 在 RtMOC 中， JAC0 = 45 ° 所以 AC2x , 因為 ZBAC=90。，所以 BC、6x，所以 AD=2x2x=Ax。J6x 3在 RtA0D 中， sin D0 二必 3，所