考慮一級(jí)交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)041019200448

1、§6.6考慮一級(jí)交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)前面介紹了不考慮交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，現(xiàn)在來(lái)看一下考虔交互作用的情形。2個(gè)因子之間的交互作用，如/xB_4xC,0xC,，稱為一級(jí)交互作用，3個(gè)因 子之間的交互作用，如-4x£xC,3xCxZX，稱為二級(jí)交互作用，一般地，k 個(gè)因子之間的交互作用，稱為k-1級(jí)交互作用?？济?級(jí)交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理，可按下列步驟進(jìn)行：(1) 選正交表Z(rw) o選擇的原則是：/要等于因子的水平數(shù)：m要人于或等于因子的個(gè)數(shù)加上r-1 與一級(jí)交互作用個(gè)數(shù)的乘枳：n是試驗(yàn)次數(shù)，要盡可能小。例如，問(wèn)題中有3個(gè)因子：d,5C,每個(gè)因子都是3個(gè)水平。

2、要求考慮一級(jí)交互作 K AxB.AxC.BxC.選正交表時(shí)，首先要選r=3的表。這樣的正交衷有 Z9(34), Z27(3b),-。因子的個(gè)數(shù)3加上r-1與一級(jí)交互作用個(gè)數(shù)3的乘積等于 3 + (3 l)x3 = 9。在 厶(34)中，m = 4 ,小于9 ,所以不符合要求。在Z27(3B) 中，w=13，大于9 ,符合要求。而且在符合要求的正交表中，Z27(3b)的試驗(yàn)次數(shù) =27為最小，所以，我們最后選定正交表Z27(313) o(2) 設(shè)計(jì)表頭，將各個(gè)因子、各個(gè)一級(jí)交互作用安排在正交表的各列上方，每個(gè)因子占1列，每個(gè)一 級(jí)交互作用占r-1列。因子和交互作用不能任意安放，需要查交互作用表例

3、如，問(wèn)題中有3個(gè)因子：&5C,每個(gè)因子都是2個(gè)水平。要求考慮一級(jí)交互作 用AxB.AxC.BxC.因子的個(gè)數(shù)3加上7 -1與一級(jí)交互作用個(gè)數(shù)3的乘積等于 3 + (2-l)x3 = 6。在符合要求7 =2, 77/>6的正交表中，厶(2?)的ti =8為最小， 所以，我們選正交表Zs(27) o安排表頭，需要查交互作用表。書后附錄中有一個(gè)“2水平正交表的交互作用 表”。首先，安排因子/和因子8,它們可以任意安放，我們將/放在第1列，將3放 在第2列。接著，就要安排交互作用AxB ,在交互作用表中，列號(hào)1的橫行與列號(hào)2的 縱列的相交處，冇一個(gè)數(shù)字3 ,這表明AxB應(yīng)安排在第3列。然

4、后，安排因子C , 它必須放在冃前還是空白的列上，我們將C放在第4列。接下米，又要査交互作用表， 以便安排交互作用AxC和BxC。由于列號(hào)1與列號(hào)4的柑交處是數(shù)字5,所以AxC應(yīng)安排在第3列。由于列號(hào)2與列號(hào)4的相交處是數(shù)字6,所以BxC應(yīng)安排在第6列。 最后，剩下第7列作為空白列。表頭ABAxBCAxCBxC表頭列號(hào)1234567A1(1)325476B2(2)16745AxB3(3)7654C4(4)123Ax C5(5)32(3) 按照設(shè)計(jì)做試驗(yàn).取得試驗(yàn)觀測(cè)值，正交表的每一行代表一種水平組合，對(duì)每一種水平組合做一次試驗(yàn)。共得到H個(gè)試 驗(yàn)觀測(cè)值：X、XwX. o(4) 在正交表的毎一列中

5、，求出與各水平對(duì)應(yīng)的均值，以及這一列的平方和。在每一列中,先計(jì)算出分別與數(shù)字1, 2,對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值之和硏“矽"，網(wǎng)以及與各水平對(duì)應(yīng)的均值X-=三丄。再計(jì)算出這一列丿 nr - nrJ nr的平方和=-Y(XtJ-X)2。r 1-1列方差分析現(xiàn)作顯著性檢驗(yàn)來(lái)源平方和自由度均方F值分位數(shù)ASSa刀=11MS, = SSA/fAMS 4 戸=MS«F2EBSSbfB =廠-1MSb = SSB/fBF _臨 Fb MS.:-:Ax Bss ©/=(r-l)2MS" = SS 3 / fiBF 一叫 也MSt(f.iB' X)誤差ss©feMS

6、e=SSjfe總和SSTA = -1其中，-壬)'是總平方和。SSSSb、 分別是表頭為4 5 *-1的各列的平方和。SS坊是表頭為AxB的1-1列的平方和之和，SSqSSbc，也是類似這樣的平方和之利。SS.=SSt-SSa-SSbSS©- 是誤差平方和?？梢宰C明，SSt = ±SS）,即SS是各列的平方和之和，所以，SS.就是空白列的平方 J-1和之和。fT=n-是總自由度，兀=兀=1是各因子的自由度，Z = Ac= - = O-i）2是各交互作用的自由度，f. = fT-h-fB 幾一 是誤差自由度。MS. = SSA/fA , MSb = SSB/fB ,-

7、是各因子的均方，AfSiB = SS jf a ,-是各交互作用的均方，MSe=SSjfe是誤差均方。可以證明，若因子/的作用不顯著，則/=些尸（幾，刀）：若因子J的作用MS,顯著，則耳的值會(huì)偏人，統(tǒng)計(jì)最耳的分布，相對(duì)于F（力，刀）分布來(lái)說(shuō)，峰值的位置會(huì)有 一個(gè)向右的偏移。若交互作用AxB不顯著，則；若交互作用AxB顯著,MS.則尸坊的值會(huì)偏人，統(tǒng)計(jì)量£坊的分布，相對(duì)于F（J門,f）分布來(lái)說(shuō)，峰值的位置會(huì)有一 個(gè)向右的偏移。所以，只要給定顯著水平a ,就可以用F分布檢驗(yàn)因子.4, 5 以及交互作用 AxB9 JxC, 是否顯著。（6）尋找量?jī)?yōu)水平組合，對(duì)每個(gè)因子，比較各水平的均值的大

8、小，可以確定哪一個(gè)水平最優(yōu)。對(duì)每個(gè)一級(jí)交互作用，比較各種雙因子水平組合的均值的人小，町以確定哪一種雙因 子水平組合最優(yōu)。綜介考慮以上兩方而得到的結(jié)果，求出包括全部因子的最優(yōu)水平組介。下面看一個(gè)實(shí)際例子。例1為提高水稻的畝產(chǎn)量（單位：kg），進(jìn)行3因子2水平正交試驗(yàn)。所取的因子 利水平分別為：因子A是水稻品種，熱是鐵大，-£是雙廣：因子B是插植距離，B是15 cmX 12 cm , B、是15cmX15cm :因子C是化肥用量，C是10kg/畝，C2是12.5 kg/畝。在進(jìn)行正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，考慮交互作用AxB.AxC.BxC.要求檢臉因子 A,B,C以及交互作用 »BJxC

9、,BxC是否顯著（顯著水平a = 0.05 ）,并J1找出 最優(yōu)水平組合。解（1）選正交表。按照r = 2, m > 6, 11盡可能小的原則，選用 厶Q7）。（2）設(shè)計(jì)表頭。如同前面已舉例說(shuō)明過(guò)的那樣，可將因子A,B、C安排在第1, 2,4列，交互作用AxB、AxC,BxC安排在第3, 5, 6列。（3）按照設(shè)計(jì)做試驗(yàn)，取得試驗(yàn)觀測(cè)值。試驗(yàn)得到的觀測(cè)值見下表。（4）求齊列與各水平對(duì)應(yīng)的均值和齊列的平方和。計(jì)算結(jié)果見下表。表頭ABAx BcJxCBxC觀測(cè)值（田產(chǎn)量）A、列號(hào) 試、 驗(yàn)號(hào)123456711111111805211122227503122112288541222211850

10、52121212965621221218707221122181182212112730822.5844.0847.5819.0774.0892.5866.5800.0822.5844.0837.5829.0834.0832.5X = 833.25SS.924.51624.528084.58844.5924.5144.54.5ST =40551 5（5）列方差分析表，作顯著性檢驗(yàn)。來(lái)源平方和自由度均方F ;IL分位數(shù)ASSA = 924.5r-l = l924.5Fa =205.44厲 95 (I，】)=0BSSB = 1624.5r-l = l1624.5Fb =361.00耳 95 (1，

11、1) = 161CSSC = 8844.5r-l = l8844.5Fc =1965.44厲95(1'1)= “1AxBSS 屈=28084.5(-l)'l28084.5F© =6241.0厲 95 (I'D = “1AxCSS.C =924 5o-i)2 = i924.5FiC =205.44坨 95 (1,1) = 161BxCSSBC = 144.50-l)2=l144.5屜=32.11坨 95(1'D = 161誤差SS. =4.57-l-l-l-l-l-l=l4.5總和SST =40551.5n -1 = 7因?yàn)镕a = 205.44 >

12、; 161 = F_a（fA, ft）,所以因子A作用顯著。因?yàn)?巧=361.00 >161 =鼻。（兀，刀），所以因子B作用顯著。因?yàn)?耳=1965.44 >161 = FifC/c，/；），所以因子C作用顯著。因?yàn)镕a =6241.0 >161 = F-（/“，£）,所以交互作用Ax B顯著。因?yàn)?FiC = 205.44 > 161 = _a（/4C, fg），所以交互作用 AxC 顯著。 但因?yàn)镕BC = 32A<6 = FafBCy fg）,所以交互作用BxC不顯瓠（6）尋找繪優(yōu)水平組合。對(duì)于因子A ,因?yàn)锳】的均值Xn=822.5 ,a2的均

13、值壬2】=844.0 ,其中壬H = 844.0最大,所以A2是最優(yōu)水平。對(duì)于因子B ,因?yàn)锽的均值xn=847.5 ,b2的均值= 819.0 ,其中岳2 = 847.5最人，所以Bx是最優(yōu)水平。對(duì)于因子C ,囚為q的均值無(wú)口=866.5 ,C,的均值=800.0 ,其中X1A = 866.5繪人，所以是最優(yōu)水平。如果不考慮交互作用，把3個(gè)因子的最優(yōu)水平簡(jiǎn)單地組介起來(lái)，可以得到最優(yōu)水平組合（比，£,6） o下面考慮交互作用。對(duì)于交互作用AxB ,各種雙因子水平組合的均值為:組合均值組合均值3,3)仆兀=805 + 750 = 777.52 2（舟雖）兀 +俎=885 + 850 = 867 5 C2'兀+兀= 965 + 870 = 917.52 2C2，811+730=770.52 2其中，91