2019高考數(shù)學二輪復習專題二數(shù)列第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列練習

1、第 1 講等差數(shù)列與等比數(shù)列高考定位1.等差、等比數(shù)列基本運算和性質的考查是高考熱點，經常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.數(shù)列的通項也是高考熱點，常在解答題中的第（1）問出現(xiàn)，難度中檔以下真題感悟1.（2017 全國川卷）等差數(shù)列an的首項為 1,公差不為 0.若 電a3,a6成等比數(shù)列，則an J前 6 項的和為（）D.8A. - 24B. - 3C.3解析根據題意得a3=a2a6,即（+ 2d）2= G+d）（a1+ 5d），由a1= 1 及 dK 解得d=-2,所以 S= 6a1+65d= 1X6+6|5x( - 2) =- 24.答案 A2.（2018 北京卷）“十二平均律”是通用的音

2、律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等均律將一個純八度音程分成十二份，依12于2 若第個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為（）3B. 22f12D. 27f,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12,2,第一個單音的頻率為f.由等比數(shù)列的定義知，這十三個單音的頻率構成一個首項為12f,公比為,212 12的等比數(shù)列，記為an.則第八個單音頻率為a8=f（ 2）8-1= 27f.答案 D3.（2018 全國I卷）記S為數(shù)列an的前n項和.若 S= 2 勿+ 1,貝

3、U$=_.解析 因為 S= 2an+ 1，所以當n= 1 時，a1=2a+ 1,解得a1=- 1,當n2時，an=S S-1= 2an+1 （2an-1+ 1），所以an= 2an-1，所以數(shù)列an是以一 1 為首n-1-1X（1-26）項，2 為公比的等比數(shù)列，所以an=- 2 ，所以Sa=- 63.A.C.解析從第3答案 -63a1(1qn)a1anqq=1, S=na；qz1, S=百一=F孑；性質: 若mn,p,q N，且m+ n=p+q,貝Uam-an=apQ；n man=am- q； Sm,S2mSm,S3m Sm,（Sm 0）成等比數(shù)列.溫馨提醒應用公式an=SnSn-1時一定注

4、意條件門2,門 N.4.（2018 全國川卷）等比數(shù)列亦中,ai= 1,a5= 4a3.（1）求an的通項公式;記S為an的前n項和若Sm= 63,解（1）設an的公比為q,由題設得n1an=q由已知得q4= 4q2,解得q= 0（舍去），q= 2 或q= 2.故an= ( 2)n1或an= 2n1若 an= ( 2) n1,則 S= 12)由Sm= 63 得（2）m= 188，此方程沒有正整數(shù)解.若an= 2n1,貝ySn= 2n 1.由Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.綜上，m= 6.1.等差數(shù)列（1）通項公式:an=a1+ (n 1)d;求和公式:小n(a1+an)Si=n

5、a1+2性質:q N，且m+ n=p+q,貝Uam+an=ap+Q；2an=am+ (nm)d；3Sm,Sem Sn,若m n, p,S3mS2m,，成等差數(shù)列.2.等比數(shù)列（1）通項公式:n 1,只、an=aq(qz0)；求和公式:考點整合”1）d；4烈點聚焦 I 好類突確 I研熱點析考法熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算【例 1】（1）（2018 濰坊三模）已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bi= 2,b2= 5，且an（bn+1-bn) =an+1,則數(shù)列bn的前n項和為()A.3n+ 1解析 由b1= 2 ,b2= 5，且an(bn+ 1bn) =an+ 1.an的公比q=a=b2b1= 3

6、.從而bn + 1bn= 3,則數(shù)列bn是首項為 2,公差為 3 的等差數(shù)列廠,厶一n(n 1)12因此bn的刖n項和Tn= 2n+x3= -(3n+n).答案 C（2018 全國n卷）記 S 為等差數(shù)列an的前 n 項和，已知 a = 7,S=15.1求an的通項公式；2求 S1，并求 S 的最小值.解 設an的公差為d,由題意得 3a1+ 3d= 15.由a1= 7 得d= 2.所以an的通項公式為an= 2n 9.2 2由得 S=n8n=（n 4） 16.所以當n= 4 時，S 取得最小值，最小值為16.探究提高 1.等差（比）數(shù)列基本運算的解題途徑：（1）設基本量a1和公差d（公比q）

7、.列、解方程組：把條件轉化為關于a1和d（q）的方程（組），然后求解，注意整體計算，以減少運算量.2.第（2）題求出基本量a1與公差 d,進而由等差數(shù)列前n項和公式將結論表示成“n”的函數(shù),求出最小值.【訓練 1】（1）（2018 鄭州調研）已知等差數(shù)列an的公差為 2,a2,as,a6成等比數(shù)列，則B.3n-1C.3n2+n2D.3n2-n25an的前n項和 S=（）A.n(n 2)B.n(n 1)6C.n(n+ 1)D.n(n+ 2)、.22解析 依題意a3=a2a6,得(ai+ 4) = (ai+ 2)(ai+10).解得ai= 1.fn（n 1）2因此Si=na1+x2=n 2n.答案

8、 A（2017 全國n卷）已知等差數(shù)列的前n項和為等比數(shù)列bn的前n項和為Tn,a1=1，b1= 1，a2+b2= 2.若a3+b3= 5，求bn的通項公式;若 T3= 21,求 S.當d= 1 時，S3= 6;當d= 8 時，S= 21.解 設an公差為d, bn公比為q,由題設得1 +d+q= 2,1 + 2d+q2= 5解得d= 1,q=2d= 3,或U0(舍去),故bn的通項公式為bn= 2n1.由已知得1 +d+q= 2,1 +q+q2= 21,執(zhí)占一八、等差（比）數(shù)列的性質q= 5,d= 8.7（1）（2018 石家莊調研）在等比數(shù)列an中，a6,a10是方程x2+ 6x+ 2 =

9、 0 的兩個實【例2】數(shù)根，則a8的值為（）A.2C. 2B. 2 或 2D. 2(2018北京海淀區(qū)質檢）已知數(shù)列an的前n項和為S,且滿足 S= 2an 2,若數(shù)列bn滿足bn= 10 log2an,則使數(shù)列bn的前n項和取最大值時的n的值為_.解析(1)由題意a6a10= 2,且a6+ ao= 6，所以a60, ao0,又數(shù)列an為等比數(shù)列，所 以a80,S2=a2+1入$+1,其中入為常數(shù).(1)證明：S+1= 2S1 + 入;（2）是否存在實數(shù) 入,使得數(shù)列an為等比數(shù)列，若存在，求出入；若不存在，請說明理由(1)證明an+ 1=S+1Sn,Sn=Nn+ 1入S+1,Sn= (Sn+

10、1Sn)2一 入Sn+1,則Sn+1(Sn+1 2S入)=0.* an0，知 S+10,S+1 2Sn入=0, 故 Si+1= 2S+ 入.解 由（1）知，S+1= 2S+入，當n2時，S=2S1+入，兩式相減，an+1= 2an（n2,n N）,所以數(shù)列an從第二項起成等比數(shù)列，且公比q= 2.（又S2=2S+ 入，即a2+a1= 2a1+ 入,a2=a1+ 入=1 + 入 0,得入 1.rZ1,n= 1, 因此an= Wn 2 2（入 +1）2,n2.若數(shù)列an是等比數(shù)列，則a2= 1 +入=2a1= 2.入=1,經驗證得入=1 時，數(shù)列an是等比數(shù)列.【遷移探究】 若本例中條件“a1=

11、1”改為“a1= 2”其它條件不變，試求解第（2）問.解 由本例（2），得an+1= 2an（n2,n N*）.又S= 2S1+ 入，a2=a1+ 入=2+ 入 0.-an= (2 + 入)(n2).又 = 2,若an是等比數(shù)列， - a2=（2+入）2 2=2a1=4, 入=2.故存在入=2，此時an= 2n，數(shù)列an是等比數(shù)列.探究提高1.判定等差（比）數(shù)列的主要方法：（1）定義法：對于任意n1,n N*,驗證an+111an+ 12_ _2.=q和an=an-Q+i(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判定時還要看an各項是否為零【訓練 3】(2017 全國I卷)記S為等比數(shù)列

12、an的前n項和已知S2= 2,圧=-6.(1) 求an的通項公式；(2) 求 S,并判斷S+1, S, S+2是否成等差數(shù)列解(1)設an的公比為q,由題設可得a1( 1 +q)= 2,a1(1 +q+q)= 6,(2)中項公式法解得v=a1= 2.n無關的一常數(shù);12故an的通項公式為an= ( 2)nna1(1 q) 21 ( 2)由得s=C丿=(2)丿2n=3【(2) 1,2 2+ 1n + 2則 S+1= ( 2) 1 , S+2= ( 2) 1,所以 S1+ 1+ S1+2n+1-1 + 3( - 2)n +22n4n1 = 3【2( 2) 2=亍(2) 1 = 2SS+1, S,

13、S+ 2成等差數(shù)列熱點四等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題【例 4】(2018 天津卷)設an是等差數(shù)列，其前n項和為$(n N*) ； bn是等比數(shù)列, 比大于 0，其前n項和為Tn(n N*).已知b= 1,bs=b?+ 2,b4=as+a5,b5=a4+ 2a6.(1) 求 S 和 Tn；(2) 若 S+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn，求正整數(shù)n的值.解(1)設等比數(shù)列因為q0,可得q= 2,故bn= 2n1所以,n1 2nTn= 2 1.1 2設等差數(shù)列an的公差為d.由b4=a3+a5，可得a1+ 3d= 4.13由b5=a4+ 2a6，可得 3a+ 13d= 16，從而ai=

14、1,d= 1, 故an=n.(2)由(1)，有12nT1+T2+-+Tn= (2 + 2 + 2) n由Sn+ (T1+T2+Tn) =an+ 4bn整理得n23n 4 = 0，解得n= 1(舍)，或n= 4.所以，n的值為 4.探究提高1.等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便.2.數(shù)列的通項或前n項和可以看作關于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質求解數(shù)列問題.【訓練 4】(2018 武漢質檢)在公比為q的等比數(shù)列時中，已知a1= 16,且 a,a2+ 2,Ia3成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若q10 的最小正整數(shù)n的值.解(1)

15、依題意，2(a2+ 2) =a1+a3,且 a= 16.2 2(16q+ 2) = 16+ 16q,2即 4q 8q+ 3= 0.1、3因此q=2或q=2.n 1當q= 2 時，an= 16 1= 25n；n 1當q= 2 時,an= 16 3由(1)知，當q2,正整數(shù)n的最小值為 3.曲躺總結思維升華1. 在等差(比)數(shù)列中，ai,d(q),n,an,S五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個.解這類問題時，一般是轉化為首項ai和公差d(公比q)這兩個基本量的有關運算.2. 等差、等比數(shù)列的性質是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用但在

16、應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形IS,n=1,3. 應用關系式an=時，一定要注意分n= 1,n2兩種情況，在求出結果后，|SnSn- 1,n2看看這兩種情況能否整合在一起專題圳練對接高考|求落交迎高淆一、選擇題1. (2018 全國I卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若 3S3=S2+S,a= 2，則a5=()A. 12B. 10C.10D.12解析 設數(shù)列an的公差為d,T3S= $+S4,(3X2、4x33 3|3a1+d= 2a1+d+4a+d,解得d= ;ai.v.2 丿22a1=2, d=3,a5=a1+4d=2+4x(3)=10.答案 B1.”I on2. 等

17、差數(shù)列an中的a1,a4 033是函數(shù)f(x) =TX 4x+ 6x 1 的極值點，則 log2a2。仃=()3A.2B.3C.4D.5解析因為f(x) =x2 8x+ 6,探規(guī)律防失誤152依題意，a1,a4 033是方程f(x) =x 8x+ 6= 0 的兩根，- a1+a4 033= 8,貝Va2 017= 4,故 log2a2 017= log24 = 2.16bnbn-1, 設bn中最大的項為bn，則*bnbn+ 1.答案 A3. 一個等比數(shù)列的前三項的積為2,最后三項的積為 4,且所有項的積為 64,則該數(shù)列的項數(shù)是()A.13B.12C.11D.10解析設等比數(shù)列為an，其前n項

18、積為Tn，由已知得 aa2a3= 2,anan心2= 4,可得(ao)3=2x4,aian=2,Tn=aia2an,.T= (aia2an)2=(aian)(a2an 1)(anai) = (aian)n=2 = 64 = 22,.n= 12. 答案 B4中國古代數(shù)學著作 算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難， 次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”其意思為：“有一個人走 378 里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6 天才到達目的地.”則此人第 4 天和第 5 天共走的路程為()A.60 里B.48 里C.36

19、里D.24 里解析由題意，每天走的路程構成公比為11 的等比數(shù)列設等比數(shù)列的首項為ai,則2ai 1-261- 211=378，解得ai= 192，貝Ua4= 192X-=24,a5= 24X；= 12,a4+a5= 24 + 12 = 36.所以此人82第 4 天和第 5 天共走了 36 里.答案 C5.(20i8 北京燕博園能力測試 )數(shù)列an的前n項和為S，且 3an+S=4(n N)，設bn=nan,3C.2D.23解析由條件可知：3an+S= 4, 3an-1+Sn-1= 4（n2）.相減，得an=an-i.又 3ai+S= 4ai則數(shù)列81A.6427B.164答案 3 或 417

20、答案 B、填空題6._ （2018 北京卷）設an是等差數(shù)列，且ai= 3,a2+a5= 36，則an的通項公式為 _ .解析 設等差數(shù)列的公差為d,：ai= 3,且a?+a5= 2ai+ 5d= 36,.d= 6,.an= 3+ （n1) 6= 6n 3.答案an= 6n 3ani7. （2018 福州質檢）數(shù)列an滿足an+1= ,a3=-,貝Uai=_ .2an十 i5an解析 易知anM0,且an + 1= 2a+ 1 .11r111 -=2,則是公差為 2 的等差數(shù)列，又a3=2，知一=5, + 2X2= 5,貝yai=an+1ann“5a3ai1.答案 18. （2018石家莊質檢

21、）等差數(shù)列an的公差dM0,且a3,a5,ai5成等比數(shù)列，若a5= 5,S為數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列彳警|的前n項和取最小值時的n為_ .（ai+ 2d）（ai+ i4d）= 25,解析由題意知*ai+ 4d= 5,n4,且=0,bn的項的最大值為27b3=b4=話由dM0,解得ai= 3,d= 2,Snnnai+)dn4.解之得 3wnw4.4答案 3 或 418數(shù)列n項和取最小值時的n的值為 3 或 4.19三、解答題9.(2018 北京卷)設an是等差數(shù)列，且ai= ln 2 ,a?+a3= 5ln 2.(1)求an的通項公式；求 eai+ ea+ ean.解設an的公差為d.因為a

22、2+a3= 5ln 2 ,所以 2ai+ 3d= 5ln 2.又ai= In 2，所以d= In 2.所以an=ai+ (n 1)d= In 2 + (n 1)ln 2 =nln 2.ean因為 eai= eln 2= 2, 沖=eanan-1= eln 2= 2,所以ean是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列.i 2所以幾養(yǎng)+十/= 口 = 22n+ 1i0.已知數(shù)列an的前n項和為S,且 i,an,S成等差數(shù)列.(i)求數(shù)列an的通項公式;若數(shù)列bn滿足anbn= i + 2nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(i)由已知 i,an,S成等差數(shù)列得 2an= i+S,當n= i 時，2ai= i +S= i +ai, ai= i,當n2時，2an-1= i +S-1，一得 2an 2an i=an,an= 2ani(n2)，且a= i.數(shù)列an是以 i