高中數(shù)學(xué)之函數(shù)《函數(shù)的單調(diào)性與極值》專題

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值教學(xué)目標(biāo)：正確理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的原理；掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法；教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性教學(xué)過程：一 引入：以前，我們用定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)x1<x2的前提下，比較f(x1)<f(x2)與的大小，在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡單.二 新課講授 1 函數(shù)單調(diào)性 我們已經(jīng)知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù).從函數(shù)的圖像可以看到：在區(qū)間（2，）內(nèi)，切線的斜率為正，函數(shù)y=f(x)的值隨著

2、x的增大而增大，即>0時(shí)，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（2，）內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間（，2）內(nèi)，切線的斜率為負(fù)，函數(shù)y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時(shí)，函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間（，2）內(nèi)為減函數(shù).定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)。例1 確定函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。y例2 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x02 2 極大值與極小值觀察例2的圖可以看出，函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f(0

3、)是函數(shù)的一個(gè)極大值；函數(shù)在X=2的函數(shù)值比它附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f(0)是函數(shù)的一個(gè)極小值。一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在及其附近有定義，如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極大值；如果的值比附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小，我們說f()是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱極值。在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請注意以下幾點(diǎn)：（）極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小。并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。（）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)

4、間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)。oaX1X2X3X4baxy（）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，而>。（）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有。但反過來不一定。如函數(shù)，在處，曲線的切線是水平的，但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大，也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小。假設(shè)使，那么在什么情況下是的極值點(diǎn)呢？oaX0baxyoaX0baxy 如上左

5、圖所示，若是的極大值點(diǎn)，則兩側(cè)附近點(diǎn)的函數(shù)值必須小于。因此，的左側(cè)附近只能是增函數(shù)，即。的右側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，同理，如上右圖所示，若是極小值點(diǎn)，則在的左側(cè)附近只能是減函數(shù)，即，在的右側(cè)附近只能是增函數(shù)，即，從而我們得出結(jié)論：若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值。xoy例3 求函數(shù)的極值。三 小結(jié)1求極值常按如下步驟： 確定函數(shù)的定義域； 求導(dǎo)數(shù)； 求方程=0的根，這些根也稱為可能極值點(diǎn)； 檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定極值點(diǎn)。(最好通過列表法)四 鞏固練習(xí) 1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） （2） 2 求下列函數(shù)的極值（1