彈塑性力學論文

1、彈塑性力學 彈塑性力學緒論：彈性力學也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產生的應力、應變和位移，從而解決結構或機械設計中所提出的強度和剛度問題。在研究對象上，彈性力學同材料力學和結構力學之間有一定的分工。材料力學基本上只研究桿狀構件；結構力學主要是在材料力學的基礎上研究桿狀構件所組成的結構，即所謂桿件系統(tǒng)；而彈性力學研究包括桿狀構件在內的各種形狀的彈性體。 彈塑性力學是固體力學的一個重要分支，是研究彈性和塑形物體變形規(guī)律的一門學科。它推理嚴謹，計算結果準確，是分析和解決許多工程技術問題的基礎和依據(jù)。在彈塑性力學中，我們可以看到很多學習材料力學、結構力學等學科

2、所熟知的參數(shù)和變量，一些解題的思路也很類似，但是我們不能等同的將彈塑性力學看成材料力學或者是結構力學來學習。材料力學和結構力學的研究對象及問題，往往也是彈塑性力學所研究的對象及問題。但是，在材料力學和結構力學中主要采用簡化的初等理論可以描述的數(shù)學模型；在彈塑性力學中，則將采用較精確的數(shù)學模型。有些工程問題（例如非圓形斷面柱體的扭轉、孔邊應力集中、深梁應力分析等問題）用材料力學和結構力學的方法求解，而在彈塑性力學中是可以解決的；有些問題雖然用材料力學和結構力學的方法可以求解，但無法給出精確可靠的理論，而彈塑性力學則可以給出用初等理論所得結果可靠性與精確度的評價。在彈塑性力學分析中，常采用如下簡化

3、假設：連續(xù)性假設、均勻各向同性、小變形假設、無初應力假設等假設。彈塑性力學基本方程的建立需要從幾何學、運動學和物理學三方面來研究。在運動學方面，主要是建立物體的平衡條件，不僅物體整體要保持平衡，而且物體內的任何局部都要處于平衡狀態(tài)。反映這一規(guī)律的數(shù)學方程有兩類，即運動微分方程和載荷的邊界條件。以上兩類方程都與材料的力學性質無關，屬于普適方程。在物理學方面，則要建立應力與應變或應力與應變增量之間的關系，這種關系常稱為本構關系，它描述材料在不同環(huán)境下的力學性質。在彈塑性力學中，本構關系的研究是非常重要的。由于自然界中物質的性質是各種各樣的，而且它們所處的工作環(huán)境又是不同的，因而研究物質的本構關系是

4、一件復雜但卻具有根本意義的工作。由于物體是連續(xù)的，因而在變形時各相鄰小單元都是相互聯(lián)系的，通過研究位移與應變之間的關系，可以得到變形的協(xié)調條件。反映變形連續(xù)規(guī)律的數(shù)學表達方式有兩類，即幾何方程和位移邊界條件。在求解一個彈塑性力學問題時，需要給出物體的形狀和物體各部分材料的本構關系和物理常數(shù)，說明物體所受的荷載以及和其他物體的連接情況，即邊界條件。對于動力學問題，還要給出初始條件。求解彈塑性力學問題的數(shù)學方法，就是根據(jù)幾何方程、物理方程和運動方程以及力和位移的邊界條件和初始條件，解除位移、應變和應力等函數(shù)。用這種方法求解一些較為簡單的問題是十分有效的。在這一領域中，有兩類方法：精確解法（能滿足彈

5、塑性力學中全部方程的解）和近似解法（根據(jù)問題的性質，采用合理的簡化假設從而獲得近似結果）。隨著計算機的發(fā)展而不斷開拓的有限元數(shù)值分析方法對彈塑性力學的發(fā)展提供了極為有利的條件。它一般不受物體或構件幾何形狀的限制，對于各種復雜物理關系都能算出正確的結果。塑性力學是一門很廣泛的學科，理論研究很有必要，與我們現(xiàn)實生活息息相關。不管你走在城市中還是鄉(xiāng)村街道，不管你走路還是開車，不管你使用電腦還是手機等等，幾乎各個方面都要涉及到材料的強度、剛度和穩(wěn)定性，而研究這些問題就需要使用力學知識來解決，我們就需要用到彈塑性力學的知識。它不但涉及面很廣，而且內容也很豐富。你要描述一片森林，你不可能把每棵樹木都涉及到

6、，你寫一條河流，不可能把每一滴水都寫上，你描述一座山，不可能把每一個石頭都畫上，你只能挑一個方面，一個角度來描述。彈塑性力學也是這樣，它是一片森林，一條河流，一座山峰，要想把它全部涉及到，你不可能把它的方方面面都涉及到，你只能挑一個角度來描寫。利用塑性力學的基本理論，可以求解塑性力學問題。由于塑性力學基本方程的復雜性，一般的彈塑性力學邊值問題的求解是相當困難的，但對于某些簡單彈塑性問題，即未知量較少和邊界條件較簡單的彈塑性問題，有可能克服數(shù)學上的困難而獲得解析解。下面我們只是通過一個矩形梁的例子來說明塑性力學所涉及到的一個方面。§101 梁的彈塑性彎曲1.假設和屈服條件這里研究的梁其

7、橫截面具有兩個對稱軸，載荷作用于縱向對稱平面內。仍采用材料力學中梁彎曲理論的一般假設：變形前垂直于梁軸的平面，在變形后仍保持為垂直于彎曲梁軸的平面，即平截面假設；不計各層間的相互擠壓；小變形，即撓度比橫截面的尺寸小得多。梁長比橫向尺寸大得多。根據(jù)上述假設，只考慮梁橫截面上正應力x對材料屈服的影響。因此，Tresca和Mises屈服條件均為x=s（10-1）2梁的純彎曲如圖101 所示，研究橫截面具有兩個對稱軸的等截面梁，設y、z為橫截面的對稱軸，x為梁的縱軸，xoy為彎曲平面。圖10-1 梁的純彎曲（1）理想彈塑性材料純彎曲時，隨著彎矩M的增加，塑性變形由梁截面邊緣對稱地向內部發(fā)展，在梁的任一

8、橫截面上彈性區(qū)和塑性區(qū)是共存的。在彈性區(qū)應力按線性分布，在塑性區(qū)按x=()分布，而在兩者的交界處，正應力應等于屈服應力s。對于理想彈塑性材料，在塑性區(qū)=()= s，則沿梁橫截面高度，應力分布為（10-2）式中ys為橫截面的中性層到彈、塑性分界面的距離。應力分布情況如圖102所示。圖10-2 理想彈彈性彎曲應力分布純彎曲時橫截面上正應力應滿足軸力為零的條件，即（10-3）由于z軸為橫截面的一對稱軸，則式（103）自動滿足。否則，將由這個條件確定中性軸的位置。橫截面上正應力還應滿足條件：（10-4）即可以簡寫成（10-5）式中為彈性區(qū)對中性軸的慣性矩，為塑性區(qū)對中性軸的靜矩。因此，式（105）確定

9、了彎矩M和彈性區(qū)高度ys的關系M=M(ys)或者ys=ys(M)。關于梁的撓度，對彈性區(qū)而言，有在彈性區(qū)的邊界上y=ys處，=s，代入上式得梁軸曲率半徑為（10-6a）考慮到梁的曲率與梁撓度v的關系，有則得梁軸的撓曲線方程為（10-6b）現(xiàn)取梁的橫截面是高為h,寬為b的矩形，則有，將它們代入（105）式，則得出（a）在上式中令，即得梁剛開始產生塑性變形時的彈性極限彎矩為（b）如果令,即表示梁截面全部進入塑性狀態(tài)，此時的彎矩稱為塑性極限彎矩：（c）而有（d）說明梁截面由開始屈服到全部屈服，還可以繼續(xù)增加50%的承載能力，由此也可以看出按塑性設計可以充分發(fā)揮材料的作用。利用式（b），可以將式（a）

10、改寫為（e）設與Me相應的梁的曲率半徑為e，此時ys=，由式（106a）得（f）將式（f）代入式（e）即得（g）這就是純彎梁屈服以后曲率半徑與彎矩M之間的關系。而在屈服前，它們服從線性的彈性關系，即（h）由式（h）和（g）可以繪出彎矩與曲率的變化曲線，如圖103 所示。如果梁在達到塑性極限彎矩以后全部卸載，則在梁內存在殘余應力。應用卸載圖10-3 曲率與彎矩的關系定律，可以計算此殘余應力。卸載過程中彎矩改變值為，利用此值按彈性計算即得應力改變量為卸載前的應力=±s則殘余應力為*=-=±s-3sy/hs前正負號：y>0時取正，y<0時取負。殘余應力沿截面高度分布情

11、況如圖10-4所示。圖10-4 殘余應力分布（2）線性強化彈塑性材料圖10-5 線性強化彈塑性材料若梁為圖10-5（a）所示的線性強化彈塑性材料，強化階段則有（|s）根據(jù)平截面假設應有將此式代入前式,則梁內應力分布為（10-7）如圖10-5（b）所示。將（10-7）式代入（10-4）式，則得ys與M的關系式（10-8）式中：彈性區(qū)對中性軸慣矩； 整個塑性區(qū)對中性軸靜矩； 整個塑性區(qū)對中性軸慣矩。如果梁橫截面為b×h的矩形，則有將它們代入（10-8）式，則有(10-9)即為矩形截面線性強化彈塑性梁M與ys的關系式。3. 梁的橫力彎曲梁在橫向載荷作用下的彎曲較純彎曲復雜。采用上述的假設和

12、屈服條件，針對純彎曲導出的有關結果基本上仍然可用。但應注意的是橫力彎曲情況下，彎矩M不是常量，而是沿梁軸向變化的，即M=M（x）。這樣，應力不僅沿截面高度變化，還沿梁軸變化，即=（y,x）。彈性區(qū)高度ys，也沿梁軸變化，即ys=ys(x)。純彎曲中的公式（10-3）、（10-4）應改寫為（10-10）圖10-6 橫力彎曲（10-11） 下面以受均布載荷作用理想彈塑性材料的矩形截面為例，進行具體討論。如圖10-6所示，由于材料是理想彈塑性的，截面上的應力在彈性區(qū)成線性分布，在塑性區(qū)均等于s，即（i）它使式（10-10）恒得到滿足。將上式代入式（10-11）左側，則有（j）式（10-11）的右側即

13、為均布載荷q在x截面所產生的彎矩M（x）=（k）式（j）應與式（k）相等，即（l）經過整理，上式可以寫成（10-12）式中：而其中的qe為梁跨中截面開始屈服時的載荷，即梁的彈性極限載荷，可令（l）式中的x=0和ys=而得到，即（m）式（10-12）表明梁中的彈、塑性區(qū)交界線是一雙曲線，如圖10-6（a）所示。在梁跨中截面全部進入塑性狀態(tài)時，如圖10-6（b）所示，產生無限制的塑性流動，相當于在跨中安置了一個鉸，稱為塑性鉸。塑性鉸的出現(xiàn)，梁成為幾何可變的，使梁喪失了繼續(xù)承載的能力。此時對應的載荷稱為塑性極限載荷。在式（l）中令x=0及ys=0，即得簡支梁受均布載荷時的塑性極限載荷為（n）與（m）

14、式比較，顯然有塑性鉸與結構鉸還存在一定的區(qū)別：塑性鉸的出現(xiàn)是因截面上的彎矩達到了塑性極限彎矩Ms，并由此而產生轉動，即塑性鉸與彎矩大小有關，而在結構鉸處總有M=0，不能傳遞彎矩；結構鉸為雙向鉸，即可以在兩個方向上產生相對轉動，而塑性鉸處的轉動方向必須與塑性極限彎矩的方向一致，所以塑性鉸為單向鉸；卸載后塑性鉸消失，由于存在殘余變形，結構不能恢復原狀。圖10-7 梁的彈塑性撓度4. 梁的彈塑性撓度由前面的分析可知，按塑性極限狀態(tài)設計梁可以充分發(fā)揮材料的潛力。但梁是否會因變形過大而不能使用，這就需要研究梁在彈塑性階段的變形。這時整個梁的變形受到彈性區(qū)的限制，因此塑性區(qū)的變形是處于約束變形階段。以理想

15、彈塑性材料矩形截面（b×h）梁為例，橫力彎曲時仍僅考慮彎矩引起的變形。將純彎曲時的式（e）和（10-6b）用于橫力彎曲，則有將后式代入前式，可以得出（10-13）現(xiàn)在以圖10-7所示懸臂梁為例，設梁處于塑性極限狀態(tài)，固定端彎矩為Ms；x=a截面彎矩為Me。從而有 （1）彈塑性段撓度在彈塑性段（axl）撓曲線方程為（10-13）式，將代入，則有（o）將上式積分。在梁剛開始進入塑性極限狀態(tài)瞬時，仍采用固定端處撓度和轉角為零的邊界條件，得（p）（2）彈性段撓度在彈性段（0xa），撓曲線方程為將上式積分，利用梁撓曲線的連續(xù)性條件，即當x=a=時的撓度和轉角分別與彈塑性段x=處的撓度和轉角相等

16、。再考慮到和I=可以得出將x=0代入上式，即得梁處于塑性極限狀態(tài)時自由端的撓度（r）當梁處于彈性極限狀態(tài)，即固定端彎矩為Mmax=Pl=Me=時，其自由端處的撓度為（s）將式（r）與（s）比較，可得（t）從這個例題可以看出，按塑性力學得到的極限撓度為彈性極限撓度的2.22倍。彈性力學的柱體扭轉和彎曲問題屬于僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認為離端面足夠遠處的應力僅與端面上外力的合力及合力矩有關。這種放松了邊界條件的問題稱為圣維南問題。根據(jù)實驗，圣維南假設，柱體縱向纖維之間的作用力為零。圣維南問題的解是唯一的

17、，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應力分量或位移分量中假設一部分未知函數(shù)的形式，然后將所假設的未知函數(shù)代入基本方程，由此求得另外一部分未知函數(shù)，并使全部的未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉和彎曲問題中的未知量。用彈性力學方法得到的結果，其精度高于材料力學中以平截面假設為基礎的結果。等價命題就是兩個命題的條件本質上是相同的，結論在本質上也是相同的，等價的命題只有形式上的不同。等價命題就是說兩個命題可以相互證明。即如果A，B兩個命題等價那么，把A命題作為條件，可以證明B命題;同時，把B命題作為條件，也可以證得A命題。變分法概念與尋常分析中的微分概念很為類似，但所聯(lián)系的不是x的變化，而是函數(shù)y（x）的變化。如果函數(shù)y（x）使U（y）達其極值，則U的變分U變?yōu)?。幾乎所有的物理和力學的基本規(guī)律都陳述為規(guī)定某一泛函的變分應該是0的“變分法原理”，由于這個原故