《最短路徑問題》PPT

1、13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.體會(huì)圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想（重點(diǎn)）2.能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問題.（難點(diǎn)）1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短AB2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之的和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)？lAA 牧人飲馬問題 “兩點(diǎn)的所有連

2、線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題. 現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問題”.ABPlABCD講授新課如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？實(shí)際問題ABl抽象成ABl數(shù)學(xué)問題C作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題.問題1 現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.ACB根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”

3、，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.問題2 如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？BA想一想：對(duì)于問題2，如何將點(diǎn)B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)C，都保持CB 與CB的長(zhǎng)度相等？ 利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B.方法揭曉作法：（1）作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B；（2）連接AB，與直線l 相交于點(diǎn)C 則點(diǎn)C 即為所求 ABlB C問題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎？ 證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)C 不重合），連接AC，BC，BC由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC= AC+B

4、CABlB CC 在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（ ）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD典例精析例1 如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A7.5 B5 C4 D不能確定 解析：ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)

5、化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.B方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解.例2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A（0，3） B（0，2） C（0，1） D（0，0） 解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB，交y軸于點(diǎn)C，此時(shí)ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明BCO為等腰直角三角形即可ACBE方法總結(jié)：求三角形

6、周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A關(guān)于直線m對(duì)稱，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱，直線m與AB和n分別交于P、Q，下面的說法正確的是（）AP是m上到A、B距離之和最短的 點(diǎn)，Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn) BQ是m上到A、B距離之和最短的 點(diǎn)，P是m上到A、B距離相等的點(diǎn) CP、Q都是m上到A、B距離之和最 短的點(diǎn) DP、Q都是m上到A、B距離相等 的點(diǎn) A當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10在OA上有一點(diǎn)

7、Q，OB上有一點(diǎn)R若PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（） A10 B15 C20 D30 A3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是 米.ACBD河10004.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)PxyOBAP B拓展提升5.（1）如圖，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說明理由（2

8、）如圖，在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由（3）如圖，在AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說明理由ABC D P O A B N O A B M ABC D P C 圖P O A B P E F P 圖N O A B M M E F N 圖原理最短路徑問題牧馬人飲馬 問 題線段公理和垂線段最短解題方法軸對(duì)稱知識(shí)+線段公理課堂小結(jié)造橋選址問題造橋選址問題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋兩地

9、在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從橋造在何處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短（假定河的兩岸最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM知識(shí)模塊二知識(shí)模塊二 利用平移確定最短路徑選址利用平移確定最短路徑選址1.如圖假定任選位置造橋如圖假定任選位置造橋MN，連接連接AM和和BN，從，從A到到B的路的路徑是徑是AM+MN+BN，那么怎樣，那么怎樣確定什么情況下最短呢？確定什么情況下最短呢？BA2.利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思考分析思考分析我們能否在不改變AM+MN+BN的

10、前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BA思考分析思考分析各抒己見各抒己見1.把A平移到岸邊.BA()AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了2.把B平移到岸邊.BA（）AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了思考分析思考分析怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?BABAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由理由:另任作橋另任作橋M1N，連接，連接AM，BN，AN.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，AMAN，AAMNMN，A

11、MAN.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為.在在ANB中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B.因此因此 AM+MN+BN.問題解決問題解決證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BDCE, BD=CE,所以A，B兩地的距離：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，AB兩地的路程最短.ABMNECD解決最短路徑問題的方法解決最短路徑問題的方法