線性最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共91頁。7.1 線性二次型問題線性二次型問題(wnt)設(shè)線性時變系統(tǒng)的動態(tài)設(shè)線性時變系統(tǒng)的動態(tài)(dngti)方程方程為為)()()()(),()()()()(00txtCtyxtxtutBtxtAtx（7-1）式中式中 為為 維狀態(tài)向量，維狀態(tài)向量， 為為 維控制向量，維控制向量， 為為 維輸出向量；維輸出向量； 為維數(shù)適當(dāng)?shù)臅r變?yōu)榫S數(shù)適當(dāng)?shù)臅r變矩陣，其各元分段連續(xù)且有界，在特殊情況下可以矩陣，其各元分段連續(xù)且有界，在特殊情況下可以是常陣是常陣 。假定。假定 ，且，且 不受不受約束。約束。)(txn)(tulm)(ty)(),(),(tCtBtACBA,nml0)(tu第1頁

2、/共90頁第二頁，共91頁。若令若令 表示表示 維希望輸出維希望輸出(shch)向量，則向量，則l)(tyl)()()(tytytel（7-2）稱為稱為(chn wi)誤差向量。要求確定最優(yōu)控制誤差向量。要求確定最優(yōu)控制 ，是下列二次型性能指標(biāo)極?。菏窍铝卸涡托阅苤笜?biāo)極?。?(*tu（7-3）dttutRtutetQtetFeteJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21式中式中 為為 維對稱非負(fù)定常陣，維對稱非負(fù)定常陣， 為為 維對稱維對稱非負(fù)定時變矩陣，非負(fù)定時變矩陣， 為為 維對稱正定時變矩陣，維對稱正定時變矩陣，初始時刻初始時刻 和末端時刻和末端時刻 固定。固定。F

3、ll)(tQ)(tRmmll0tft第2頁/共90頁第三頁，共91頁。 在二次型性能指標(biāo)（在二次型性能指標(biāo)（7-3）中，其各項都有明確的物）中，其各項都有明確的物理理(wl)含義。含義。（1）末值項）末值項)()(21)(ffTftFetete（7-4） 不失不失(b sh)一般性，取一般性，取 ，表示對末態(tài)誤差要求的，表示對末態(tài)誤差要求的各元等加權(quán)，則有各元等加權(quán)，則有IF fttlfffTeeetetete 2222212|)(|)()( 此時，末值項表示此時，末值項表示 時刻時刻(shk)的跟蹤誤差，即的跟蹤誤差，即末態(tài)誤差向量末態(tài)誤差向量 與希望的零向量之間的距離平方和。與希望的零向量

4、之間的距離平方和。ft)(fte第3頁/共90頁第四頁，共91頁。當(dāng)當(dāng) 時，表示對末態(tài)跟蹤誤差的各元有不同時，表示對末態(tài)跟蹤誤差的各元有不同(b tn)的要求。的要求。0F若取若取0,21 lfffdiagF則式（則式（7-4）可以）可以(ky)表示為表示為)(21)(12fliiiftefte 此時，末值項表示此時，末值項表示(biosh)末態(tài)跟蹤誤差向量末態(tài)跟蹤誤差向量 與希望與希望的零向量之間的距離加權(quán)平方和。的零向量之間的距離加權(quán)平方和。)(fte 如果對末態(tài)跟蹤誤差不必限制，則可取如果對末態(tài)跟蹤誤差不必限制，則可取 。此。此時性能指標(biāo)時性能指標(biāo) 變?yōu)榉e分型。變?yōu)榉e分型。0FJ第4頁/

5、共90頁第五頁，共91頁。（2）第一）第一(dy)過過程項程項ffttTttedttetQtedtL00)()()(21（7-5）若取若取0)(,),(),()(21 tqtqtqdiagtQl則有則有0)()(21)()()(2112liiiTetetqtetQteL于是于是(ysh)，式（，式（7-5）可以表示為）可以表示為dttetqdtLffttliiitte 0012)()(21 上式表明，第一過程項表示在系統(tǒng)控制過程中，對動態(tài)跟蹤上式表明，第一過程項表示在系統(tǒng)控制過程中，對動態(tài)跟蹤誤差加權(quán)平均誤差加權(quán)平均(pngjn)和的積分要求，是系統(tǒng)在運動過程中動態(tài)和的積分要求，是系統(tǒng)在運動過

6、程中動態(tài)跟蹤誤差的總度量。跟蹤誤差的總度量。第5頁/共90頁第六頁，共91頁。（3）第二）第二(d r)過程項過程項ffttTttudttutRtudtL00)()()(21（7-6）若取若取0)(,),(),()(21 trtrtrdiagtRm于是，式（于是，式（7-6）可以）可以(ky)表示為表示為dttutrdtLffttmiiittu 0012)()(21則有則有0)()(21)()()(2112miiiTututrtutRtuL 上式表明，第二上式表明，第二(d r)過程項表示在系統(tǒng)控制過程中，對加過程項表示在系統(tǒng)控制過程中，對加權(quán)后的控制能量消耗的總度量。權(quán)后的控制能量消耗的總度

7、量。第6頁/共90頁第七頁，共91頁。 因此，二次型性能指標(biāo)（因此，二次型性能指標(biāo)（7-3）的物理意義是：是系統(tǒng)）的物理意義是：是系統(tǒng)在控制過程中的動態(tài)誤差與能力消耗，以及在控制過程中的動態(tài)誤差與能力消耗，以及(yj)控制結(jié)束控制結(jié)束時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu)。時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu)。二次型性能指標(biāo)有如下二次型性能指標(biāo)有如下(rxi)幾種重要的特殊情形。幾種重要的特殊情形。（1）狀態(tài)）狀態(tài)(zhungti)調(diào)調(diào)節(jié)器的問題節(jié)器的問題在系統(tǒng)方程（在系統(tǒng)方程（7-1）和誤差向量（）和誤差向量（7-2）中，如果）中，如果0)(,)(tyItCl則有則有)()()(txtyte從而，性能指標(biāo)（從而，性能

8、指標(biāo)（7-3）演變?yōu)椋┭葑優(yōu)閐ttutRtutxtQtxtFxtxJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21（7-7）第7頁/共90頁第八頁，共91頁。dttutRtutxtQtxtFxtxJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21（7-7） 這時，線性二次型問題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)這時，線性二次型問題歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)(xtng)受擾偏離原平衡零狀態(tài)時，要求系統(tǒng)受擾偏離原平衡零狀態(tài)時，要求系統(tǒng)(xtng)產(chǎn)生一控產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（制向量，使性能指標(biāo)（7-7）極小，即使得系統(tǒng)）極小，即使得系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)狀態(tài) 始終保持在零平衡狀態(tài)附近。始終保持在零平衡狀

9、態(tài)附近。)(tx（7-8）（2）輸出）輸出(shch)調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)器的問題的問題 在誤差在誤差(wch)向量（向量（7-2）中，）中，如果如果0)(tyl則有則有)()(tyte從而，性能指標(biāo)（從而，性能指標(biāo)（7-3）演變?yōu)椋┭葑優(yōu)閐ttutRtutytQtytFytyJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21第8頁/共90頁第九頁，共91頁。（7-8）dttutRtutytQtytFytyJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21 這時，線性二次型問題這時，線性二次型問題(wnt)歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離歸結(jié)為：當(dāng)系統(tǒng)受擾偏離原平衡狀態(tài)時，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向

10、量，使性能指標(biāo)（原平衡狀態(tài)時，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（7-8）極小，即使得系統(tǒng)輸出極小，即使得系統(tǒng)輸出 始終保持在零平衡狀態(tài)附近。始終保持在零平衡狀態(tài)附近。)(ty（3）跟蹤系統(tǒng)）跟蹤系統(tǒng)(xtng)問題問題 如果如果 ， 式（式（7-2）成立，性能指標(biāo)保）成立，性能指標(biāo)保持式（持式（7-3）的形式不變，則線性二次型問題歸結(jié)為：）的形式不變，則線性二次型問題歸結(jié)為：當(dāng)希望輸出量當(dāng)希望輸出量 作用于系統(tǒng)時，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一作用于系統(tǒng)時，要求系統(tǒng)產(chǎn)生一控制向量，使性能指標(biāo)（控制向量，使性能指標(biāo)（7-3）極小，即使得系統(tǒng)的）極小，即使得系統(tǒng)的實際輸出實際輸出 始終跟隨始終跟隨 的變化。的變

11、化。0)(tyl)(tyl)(tyl)(ty第9頁/共90頁第十頁，共91頁。7.2 狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)調(diào)節(jié)器調(diào)節(jié)器 所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持(boch)在平衡狀態(tài)附近。在平衡狀態(tài)附近。7.2.1 有限有限(yuxin)時間狀態(tài)調(diào)時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器節(jié)器問題問題 7.1 設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為00)(),()()()()(xtxtutBtxtAtx（7-9）)(tA 式中式中 無約束；矩陣無約束；矩陣 與與 維數(shù)適當(dāng)，其各元連續(xù)且有界。要求確定最優(yōu)維數(shù)適當(dāng)，其各元連續(xù)且有界。要求確定最優(yōu)控制控制 ，使下列性

12、能指標(biāo)極?。?，使下列性能指標(biāo)極?。?)(;)(;)()(tuRtuRtxtxmn)(tB)(*tudttutRtutxtQtxtFxtxJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21（7-10） 式中權(quán)矩陣式中權(quán)矩陣 其各其各元均連續(xù)有界；末端時刻元均連續(xù)有界；末端時刻 固定且為有限值。固定且為有限值。0)()(, 0)()(, 0tRtRtQtQFFTTTft第10頁/共90頁第十一頁，共91頁。（1） 最優(yōu)解的充分最優(yōu)解的充分(chngfn)必要條件必要條件 定理定理7-1 對于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題對于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題(wnt)7-1，最優(yōu)控制，最優(yōu)控制的充分必要條件的充分必要條件)

13、()()()()(1*txtPtBtRtuT（7-11）最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)(zhbio)為為)()()(21000*txtPtxJT（7-12） 式中式中 維對稱非負(fù)矩陣維對稱非負(fù)矩陣 滿足黎卡提矩滿足黎卡提矩陣微分方程陣微分方程nn)(tP)()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT（7-13）其邊界條件為其邊界條件為FtPf)(而最優(yōu)軌線而最優(yōu)軌線 ，則是下列線性向量微分方程的解：，則是下列線性向量微分方程的解：)(*tx（7-14）001)(),()()()()()()(xtxtxtPtBtRtBtAtxT（7-15）第11頁/共9

14、0頁第十二頁，共91頁。證明證明(zhngmng)：必要性：證必要性：證(5-14)表示表示(biosh)的的u*確為最優(yōu)，取確為最優(yōu)，取H函數(shù)為：函數(shù)為：1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2TTTTHxt Q t x tut R t u tt A t x tt B t u t根據(jù)根據(jù)(gnj)最優(yōu)控制的控制方程：最優(yōu)控制的控制方程：( ) ( )( ) ( )0THR t u tBttu可得：可得：1*( )( )( ) ( )TutRt Btt 因為：因為：22( )0HR tu故故u*為使哈密頓函數(shù)取極小控制。為使哈密頓函數(shù)取極小控

15、制。因末態(tài)自由，橫截條件為：因末態(tài)自由，橫截條件為：1()()()()() 2TffffftxtFx tFx tx t（見（見P50定理定理3-1）由正則方程，得：由正則方程，得：1( )( ) ( )( )( )( ) ( )THx tA t x tB t Rt Btt( )( ) ( )( ) ( )THtQ t x tAttx （7-19）第12頁/共90頁第十三頁，共91頁。設(shè)協(xié)態(tài)方程設(shè)協(xié)態(tài)方程(fngchng)的解為的解為0( )( ) ( ),ftP t x ttt t 則狀態(tài)方程為則狀態(tài)方程為11( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )TT

16、x tA t x tB t R Bt P t x tA tB t R Bt P tx t（7-23）解此方程，可得最優(yōu)軌線：解此方程，可得最優(yōu)軌線：00*( ),*( )xtxtx11( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )TTtP t x tP tA tB t R Bt P tx tP tP t A tP t B t R Bt P tx t( )( ) ( )( ) ( )tP t x tP t x t此外：此外：將將（7-23）代入：代入：與與（7-19）式）式( )( ) ( )( ) ( )THtQ t x tAt

17、tx ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )TTtQ t x tAt P t x tQ t x tAt P tx t 比較可得比較可得：)()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT第13頁/共90頁第十四頁，共91頁。)()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT該方程該方程(fngchng)稱為黎卡提（稱為黎卡提（Riccati )矩陣微分方程矩陣微分方程(fngchng)由由()() ()ffftP tx t和和1()()()()() 2Tffffftxt

18、Fx tFx tx t可知黎卡提微分方程的邊界條件為：可知黎卡提微分方程的邊界條件為：()fP tF因此，得最優(yōu)控制的必要條件為：因此，得最優(yōu)控制的必要條件為：1*( )( )( ) ( ) ( )TutRt Bt P t x t 必要性得證。必要性得證。充分性：若上式充分性：若上式 u* 中中P(t)為黎卡提方程滿足邊界條件的解，我為黎卡提方程滿足邊界條件的解，我們能證明它滿足哈密頓們能證明它滿足哈密頓-雅可比方程，則根據(jù)雅可比方程，則根據(jù)(gnj)連續(xù)系統(tǒng)動連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃，充分性成立。態(tài)規(guī)劃，充分性成立。第14頁/共90頁第十五頁，共91頁。1( , , )( ) ( ) ( )( )

19、( ) ( )2TTL x u txt Q t x tut R t u t令令( , , )( ) ( )( ) ( )f x u tA t x tB t u t*( , , )( , , )11*( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )22TTTTTJHL x u tf x u txJJxt Q t x tut R t u tA t x tB t u txx哈密頓哈密頓-雅可比方程為雅可比方程為( )*( , )11min( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22*( ) ( )( ) ( )0TTu tTTJx txt Q t x tut R t u

20、ttJJA t x tB t u txx由于由于 u(t) 無約束，令無約束，令*( , )( ) ( )( )0THJx tR t u tBtux第15頁/共90頁第十六頁，共91頁。解得：解得：1*( , )*( )( )( )TJx tutRt Btx 將該式與將該式與1*( )( )( ) ( ) ( )TutRt Bt P t x t 對照，可使對照，可使1*( , )( ) ( ) ( )2TJx txt P t x t*( , )( ) ( )Jx tP t x tx從而可得從而可得*( , )1( ) ( ) ( )2TJx txt P t x tt代入哈密頓代入哈密頓-雅可比

21、方程雅可比方程(fngchng)，得，得11( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )02TTTxtP tP t A tAt P tP t B t Rt Bt P tQ tx t( )*( , )11*min( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )022TTTTu tJx tJJxt Q t x tut R t u tA t x tB t u ttxx1111110222TTTTTTTTx Pxx QxR B PxRR B Pxx PAxx PBR B Px注意到注意到12TTTTTx PAxx A PxxPAA P

22、x可以得到可以得到第16頁/共90頁第十七頁，共91頁。11( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )02TTTxtP tP t A tAt P tP t B t Rt Bt P tQ tx t若若P(t)滿足黎卡提方程則滿足黎卡提方程則用用1*( )( )( ) ( ) ( )TutRt Bt P t x t 描述的控制描述的控制u*(t)對于任何對于任何x(t)均均滿足哈密頓滿足哈密頓-雅可比方程雅可比方程而如此(rc)表述的1*(),() () ()2TfffffJx ttxtP tx t 故當(dāng)上述(shngsh)黎卡提方程的邊界條件為：()f

23、P tF對照(duzho)性能指標(biāo)的終端項1(),()()2Tffffx ttxtFx t 則有1*(),()()2TffffJx ttxtFx t 充分性得證。充分性得證。1*( , )( ) ( ) ( )2TJx txt P t x t由由取取00, ( )( )tt x tx t可可得得0001*( ) ( ) ( )2TJxt P tx t第17頁/共90頁第十八頁，共91頁。（2）黎卡提方程解的若干）黎卡提方程解的若干(rugn)性質(zhì)性質(zhì) 由定理由定理7-1可知，問題可知，問題7-1的最優(yōu)控制是狀態(tài)的的最優(yōu)控制是狀態(tài)的 線性反饋形式線性反饋形式)()()(*txtKtu(7-16)

24、式中式中)()()()(1tPtBtRtKT(7-17)為反饋增益矩陣。由于式（為反饋增益矩陣。由于式（7-17）中矩陣）中矩陣 和和 是已知的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的性質(zhì)取決于黎卡提方程是已知的，因此閉環(huán)系統(tǒng)的性質(zhì)取決于黎卡提方程的解的解 。)(tR)(tB)(tP 是唯一的。是唯一的。)(tP 是對稱的。是對稱的。)(tP第18頁/共90頁第十九頁，共91頁。命題命題7-1 若矩陣若矩陣 是黎卡提方程（是黎卡提方程（7-13）及其邊）及其邊界條件（界條件（7-14）的唯一解，則必為對稱矩陣，即）的唯一解，則必為對稱矩陣，即)(tP)()(tPtPT(7-18)證明證明(zhngmng)：由黎卡提方

25、程及邊界條件：由黎卡提方程及邊界條件：)()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT()fP tF考慮到考慮到 F、R、Q 均為對稱均為對稱(duchn)陣，將上式轉(zhuǎn)陣，將上式轉(zhuǎn)置：置：1( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )TTTTTTTPtAt PtPt A tPt B t Rt Bt PtQ t()TfPtF可見上述兩個可見上述兩個(lin )矩陣微分方程和其邊界條件矩陣微分方程和其邊界條件完全相同。完全相同。由由 P(t) 解的惟一性，可知解的惟一性，可知( )( )TPtP t第19頁/共90頁第二十頁，

26、共91頁。 是非負(fù)的。是非負(fù)的。)(tP命題命題(mng t)7-2 對于性能指標(biāo)（對于性能指標(biāo)（7-10）0)(, 0)(, 0tRtQFdttutRtutxtQtxtFxtxJfttTTffT0)()()()()()(21)()(21如果對有所的如果對有所的 ，有，有fttt,00),(),(ttutxJ則對于任意的則對于任意的 和相應(yīng)的和相應(yīng)的 ，總有，總有)(tu)(tx命題命題7-3 若矩陣若矩陣 是黎卡提方程（是黎卡提方程（7-13）及其邊界）及其邊界條件（條件（7-14）的唯一）的唯一(wi y)解，則其在區(qū)間解，則其在區(qū)間 上上必為非負(fù)矩陣。必為非負(fù)矩陣。)(tP0 ,ft t

27、第20頁/共90頁第二十一頁，共91頁。（3）最優(yōu)控制解的存在）最優(yōu)控制解的存在(cnzi)性與唯一性性與唯一性 定理定理7-2 對于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題對于最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題7-1，若，若 有限，有限，則式（則式（7-11）給出的最優(yōu)控制）給出的最優(yōu)控制 存在且唯一。存在且唯一。ft)(*tuP170P172 的兩個例題的兩個例題(lt)給出了如何應(yīng)用給出了如何應(yīng)用黎卡提方程來解最優(yōu)控制的例子。黎卡提方程來解最優(yōu)控制的例子。 第21頁/共90頁第二十二頁，共91頁。7.2.2 無限時間無限時間(shjin)狀態(tài)調(diào)狀態(tài)調(diào)節(jié)器節(jié)器 對既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問題只能用無限對既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定

28、性要求的問題只能用無限時間調(diào)節(jié)器理論時間調(diào)節(jié)器理論(lln)去解決。去解決。（1）無限時間時變）無限時間時變(sh bin)狀狀態(tài)調(diào)節(jié)器態(tài)調(diào)節(jié)器問題問題 7-2 設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為00)(),()()()()(xtxtutBtxtAtx(7-19)dttutRtutxtQtxJfttTT0)()()()()()(21性能指標(biāo)性能指標(biāo)(7-20)式中向量式中向量 及矩陣及矩陣 的假定的假定同問題同問題7-1，控制，控制 不受約束。要求確定最優(yōu)控不受約束。要求確定最優(yōu)控制制 ，使性能指標(biāo)（，使性能指標(biāo)（5-20）極小。）極小。)(),(tutx)(),(),(),(t

29、RtQtBtA)(*tu)(tu第22頁/共90頁第二十三頁，共91頁。定理定理7-3 對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題7-2,若陣對若陣對 完全完全(wnqun)可控，則存在唯一的最優(yōu)控制可控，則存在唯一的最優(yōu)控制)()()()()(1*txtPtBtRtuT)(),(tBtA0)(ftP(7-21)最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)(zhbio)為為)()()(21000*txtPtxJT(7-22)式中式中)()(tPlimtPft(7-23)是對稱是對稱(duchn)、非負(fù)的，而、非負(fù)的，而 是如下黎卡提是如下黎卡提方程：方程：)(tP(7-24)及其邊界條件及其邊界

30、條件的唯一解。的唯一解。(7-25)()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT第23頁/共90頁第二十四頁，共91頁。 關(guān)于定理關(guān)于定理7-3,有如下有如下(rxi)幾點標(biāo)記幾點標(biāo)記. 1）對系統(tǒng)提出的完全可控性要求，是為了）對系統(tǒng)提出的完全可控性要求，是為了(wi le)保證最優(yōu)解的存在。保證最優(yōu)解的存在。例例 ： 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)(xtng)狀態(tài)方程及初始條件為狀態(tài)方程及初始條件為0)0(),()()(1)0(),()(2211xtutxtxxtxtx性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttutxtxJT02)()()(21試求最優(yōu)控制試求最優(yōu)控制 及最優(yōu)性能指

31、標(biāo)及最優(yōu)性能指標(biāo) 。)(*tu*J第24頁/共90頁第二十五頁，共91頁。解解狀態(tài)狀態(tài)(zhungti) 不可控。不可控。本例為線性定常系統(tǒng)本例為線性定常系統(tǒng)(xtng)，其可控性判據(jù)，其可控性判據(jù))(1tx00211rank bAbrank故系統(tǒng)故系統(tǒng)(xtng)不可控。不可控。不可控狀態(tài)不可控狀態(tài) 不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。)(1tx系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣1001A狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣1100tAtteeLsIAe故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為故系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為0)0()()(21tAtexetxtx顯然顯然tttelimtxlim)(1第25頁/共90頁第二十六頁，共91頁。 不穩(wěn)定不穩(wěn)定(wndng)且不

32、可控狀態(tài)且不可控狀態(tài) 包含于性能包含于性能指標(biāo)之中。無論指標(biāo)之中。無論 取何值取何值 時，性能指標(biāo)時，性能指標(biāo))(1tx( )u tdttxtxdttxtxJT022210)()(21)()(21因而本例不存在使因而本例不存在使 的最優(yōu)控制的最優(yōu)控制minJ )(*tu 實際上，本例為線性定常系統(tǒng)，性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣實際上，本例為線性定常系統(tǒng)，性能指標(biāo)中的權(quán)矩陣亦為常陣。因此，即使對于無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，亦為常陣。因此，即使對于無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，為了保證最優(yōu)解存在為了保證最優(yōu)解存在(cnzi)，也必須要求系統(tǒng)完全可控。，也必須要求系統(tǒng)完全可控。第26頁/共90頁第二十七頁，共

33、91頁。3） 對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，由于黎卡提方對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，由于黎卡提方程（程（7-24）在邊界調(diào)節(jié)（）在邊界調(diào)節(jié)（7-25）下的穩(wěn)態(tài)解）下的穩(wěn)態(tài)解 仍為時變矩陣，因而最優(yōu)控制律是時變的，不便仍為時變矩陣，因而最優(yōu)控制律是時變的，不便于工程應(yīng)用。于工程應(yīng)用。)(tP2） 對于無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，通常在性能指標(biāo)中不對于無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，通常在性能指標(biāo)中不考慮終點指標(biāo)，取權(quán)陣考慮終點指標(biāo)，取權(quán)陣 。其原因有二：一是希。其原因有二：一是希望望 ，即要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，因而性，即要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，因而性能指標(biāo)中不必加入體現(xiàn)終點指標(biāo)的末值項；二是工能指標(biāo)中不必加入體現(xiàn)終點指標(biāo)的末值

34、項；二是工程上僅考慮在有限時間內(nèi)系統(tǒng)的響應(yīng)，因而程上僅考慮在有限時間內(nèi)系統(tǒng)的響應(yīng)，因而 時的終點指標(biāo)將失去工程意義。時的終點指標(biāo)將失去工程意義。0F0)(ftxt，t第27頁/共90頁第二十八頁，共91頁。（2）無限）無限(wxin)時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題問題 7-3 設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為0)0(),()()()()(xxtutBtxtAtx(7-26)性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttRututQxtxJTT0)()()()(21(7-27) 式中式中 無約束；矩陣無約束；矩陣 和和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且， 和和 分別為分別

35、為非負(fù)定和正定對稱矩陣。要求確定最優(yōu)控制非負(fù)定和正定對稱矩陣。要求確定最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo)（使性能指標(biāo)（7-27）極小。）極小。)(;)(;)()(tuRtuRtxtxmn)(*tuRQBA,QR第28頁/共90頁第二十九頁，共91頁。 定理定理 7-4 對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（7-26）和性能指標(biāo)（）和性能指標(biāo)（7-27），），若對于任意矩陣若對于任意矩陣(j zhn) ，有，有 ，且，且 是是如下黎卡提矩陣如下黎卡提矩陣(j zhn)代數(shù)方程：代數(shù)方程：DQDDTP01QPBBRPPAAPTT7-28的解，則陣對的解，則陣對 完全可觀的充分必要條件是完全可觀的充分必要條件是 為對稱正定矩陣為

36、對稱正定矩陣DA,P第29頁/共90頁第三十頁，共91頁。 定理定理 7-5 對于無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題對于無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題(wnt)7-3,若陣對若陣對 完全可控，陣對完全可控，陣對 完全可觀，完全可觀，其中其中 ，且，且 任意，則存在唯一的最優(yōu)控制任意，則存在唯一的最優(yōu)控制DA,QDDTD)()(1*txPBRtuT(7-29)最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)(zhbio)為為BA,00*21xPxJT(7-30)01QPBBRPPAAPTT 式中式中 為對稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代為對稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一解數(shù)方程的唯一解P(7-31)第30頁/共90頁第三

37、十一頁，共91頁。7.2.3 最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)(xtng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性的漸進(jìn)穩(wěn)定性 按定常調(diào)節(jié)器問題進(jìn)行綜合按定常調(diào)節(jié)器問題進(jìn)行綜合(zngh)，可得最優(yōu)調(diào)節(jié)系，可得最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)方程為統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)方程為(7-32)01)0(),()(xxtxPBBRAtxT研究該最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定研究該最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定(wndng)的必要條件。的必要條件。定理定理 7-6 設(shè)線性定常系統(tǒng)設(shè)線性定常系統(tǒng)0)0(),()()(xxtButAxtx(7-33)性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttRututQxtxJTT0)()()()(21(7-34)第31頁/共90頁第三十二頁，共91頁。01)0(

38、),()(xxtxPBBRAtxT7-35為漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，為漸進(jìn)穩(wěn)定的最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)， 為一個李雅普為一個李雅普諾夫函數(shù)。其中，諾夫函數(shù)。其中， 為對稱正定常陣，是黎卡提矩陣為對稱正定常陣，是黎卡提矩陣代數(shù)方程代數(shù)方程7-31的唯一解。的唯一解。)()(txPtxTP 式中式中 無約束；矩陣無約束；矩陣 和和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且， 和和 分別為分別為非負(fù)定和正定對稱矩陣。若陣對非負(fù)定和正定對稱矩陣。若陣對 完全可控，完全可控，陣對陣對 完全可觀，其中完全可觀，其中 ，而，而 任意，任意，則閉環(huán)系統(tǒng)則閉環(huán)系統(tǒng))(;)(;)()(tuRtuRtxtxmn

39、QDDTRQBA,QBA,DA,DR第32頁/共90頁第三十三頁，共91頁。命題命題(mng t) 7-4 對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（7-33）和性能指標(biāo)（）和性能指標(biāo)（7-34）,已知陣對已知陣對 可控，且系統(tǒng)（可控，且系統(tǒng)（7-33）的可控標(biāo)準(zhǔn)形為）的可控標(biāo)準(zhǔn)形為BA,11121022( )( )( ),(0)00AABx tx tu txxA式中式中 為可控對。為可控對。假定假定 不可觀不可觀(kgun)，其，其中中 。 111,BADA,22,0,TTTDDQ DD如如果果22A的特征值均具有負(fù)實部，則最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是的特征值均具有負(fù)實部，則最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。漸進(jìn)穩(wěn)定的。第33頁/共9

40、0頁第三十四頁，共91頁。7.3 具有給定具有給定(i dn)穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器穩(wěn)定度的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題問題(wnt)7-4 設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程0)0()(),()(xxtButAxtx(7-36)性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttRututQxtxeJTTat02)()()()(21(7-37) 式中式中 無約束；矩陣無約束；矩陣 和和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且，是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。并且， 和和 分別為分別為非負(fù)定和正定對稱矩陣。非負(fù)定和正定對稱矩陣。 ，為已知值。要求，為已知值。要求確定最優(yōu)控制確定最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo)，使性能指標(biāo)7-37極小，并使極小，并使最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)漸

41、進(jìn)穩(wěn)定，其特征值實部小于最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，其特征值實部小于)(;)(;)()(tuRtuRtxtxmnQBA,Q)(*tuR0R第34頁/共90頁第三十五頁，共91頁。7.3.1 修正修正(xizhng)調(diào)節(jié)器問題的調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)解最優(yōu)解設(shè)在問題設(shè)在問題7-4 完全可控，完全可控， 完全可觀，其完全可觀，其中為任一使中為任一使 的矩陣?？煽丶翱捎^的要求，對的矩陣。可控及可觀的要求，對確保無限時間問題有解以及確定對閉環(huán)系統(tǒng)確保無限時間問題有解以及確定對閉環(huán)系統(tǒng)(xtng)的穩(wěn)定度約束使必需的。的穩(wěn)定度約束使必需的。BA,DA,QDDT通過變換方法通過變換方法(fngf)，可將問題，可將問題

42、7-4 化為無限問化為無限問題定常調(diào)節(jié)器問題，定義題定常調(diào)節(jié)器問題，定義)()( )()( tuetutxetxatat(7-38)(7-39)考查考查)()()( )()()( tBuetAxetxatxetxaetxatatatat(7-40)第35頁/共90頁第三十六頁，共91頁。)0()( ),( )( )()()( xtxtuBtxaIAtxetxaetxatat(7-41) 將式（將式（7-38）和式（）和式（7-39）代入上式，得修正）代入上式，得修正(xizhng)調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)調(diào)節(jié)器性能指標(biāo)dttuRtutxQtxJTT0)( )()( )(21(7-42)式中式中 與與 仍

43、然分別為非負(fù)和正定對稱矩陣。仍然分別為非負(fù)和正定對稱矩陣。RQ對于系統(tǒng)（對于系統(tǒng)（7-41）和性能指標(biāo)（）和性能指標(biāo)（7-42），如果沒有），如果沒有(mi yu)可控性和穩(wěn)定性的附加約束，則這一最小化問題可能無解。可控性和穩(wěn)定性的附加約束，則這一最小化問題可能無解。)()()( )()()( tBuetAxetxatxetxaetxatatatat( )( )atu te u t( )( )atx te x t第36頁/共90頁第三十七頁，共91頁。根據(jù)線性系統(tǒng)理論，如下根據(jù)線性系統(tǒng)理論，如下(rxi)四種提法完全等四種提法完全等價價是完全可控的。是完全可控的。BA,是完全可控的。是完全可控

44、的。BaIA,對于定常向量對于定常向量 和所有的和所有的 意味著意味著 。 w0,ewtT0w對于定常向量對于定常向量 和所有的和所有的 意味著意味著 。 w0,)(BewBeewtaIATatT0w 由于已設(shè)由于已設(shè) 完全可控，因此完全可控，因此 完全可完全可控，根據(jù)對偶性原理，控，根據(jù)對偶性原理， 完全可觀等價于完全可觀等價于BA,DaIA,DA,BaIA,完全可觀。完全可觀。第37頁/共90頁第三十八頁，共91頁。根據(jù)定理根據(jù)定理7-5 ，修正調(diào)節(jié)器問題存在，修正調(diào)節(jié)器問題存在(cnzi)唯一的唯一的最優(yōu)控制最優(yōu)控制)( )( )(1*txKtxPBRtuT(7-43)最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性

45、能指標(biāo)(zhbio)0( )0(21xPxJT(7-46)式中式中 為正定對稱常陣，滿足下列黎卡提矩陣代為正定對稱常陣，滿足下列黎卡提矩陣代數(shù)方程數(shù)方程P01QPBBRPPaIAaIAPTT(7-45)根據(jù)定理根據(jù)定理(dngl)7-5,最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng))0()0( ),( 1xxtxPBBRaIAxT是漸進(jìn)穩(wěn)定的。是漸進(jìn)穩(wěn)定的。(7-44)第38頁/共90頁第三十九頁，共91頁。7.3.2 具有給定具有給定(i dn)穩(wěn)定度的調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)穩(wěn)定度的調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)解解將式（將式（7-38）和式（）和式（7-39）分別）分別(fnbi)代入式（代入式（7-43）、）、式（式（7-44

46、）、式（）、式（7-46），可得最優(yōu)控制），可得最優(yōu)控制)()()( 1*2txPBRtuetuTat（7-47）最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)(zhbio)0()0(21)()(21002*0 xPxtxPtxeJTTat（7-48）最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)01)0(),()(xxtxPBBRAtxT漸進(jìn)穩(wěn)定。其中漸進(jìn)穩(wěn)定。其中 滿足式（滿足式（7-45）。）。P（7-49）第39頁/共90頁第四十頁，共91頁。為了證明關(guān)于穩(wěn)定度的規(guī)定，由漸進(jìn)為了證明關(guān)于穩(wěn)定度的規(guī)定，由漸進(jìn)(jinjn)穩(wěn)定得式穩(wěn)定得式（7-46），有），有0)( txlimt0)(txelimatt（7-50）將式（將式（7-

47、38）代入式（）代入式（7-50），可得），可得（7-51）當(dāng)當(dāng) 時，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)（時，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)（7-49）的狀態(tài)）的狀態(tài) 至少以至少以 的速度趨于零，完全滿足給定穩(wěn)定度的速度趨于零，完全滿足給定穩(wěn)定度 的要求。的要求。 越大，越大， 收于零的速度越快。通常將收于零的速度越快。通常將 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的最小穩(wěn)定度。稱為閉環(huán)系統(tǒng)的最小穩(wěn)定度。t)(txateaa)(txa第40頁/共90頁第四十一頁，共91頁。定理定理(dngl)7-7 設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程程0)0()(),()(xxtButAxtx(7-52)性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttRututQxtxeJTTat02)()

48、()()(21(7-53) 式中式中 無約束；矩陣無約束；矩陣 和和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?。并且，是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?。并且?和和 分別為非負(fù)分別為非負(fù)定和正定對稱矩陣。定和正定對稱矩陣。 為給定的正常數(shù)。為給定的正常數(shù)。)(;)(;)()(tuRtuRtxtxmnQBA,QRR若陣對若陣對 完全可控，陣對完全可控，陣對 完全可觀，其中完全可觀，其中 為任一為任一使使 的矩陣，則存在的矩陣，則存在(cnzi)唯一最優(yōu)控制唯一最優(yōu)控制BA,DA,DQDDT)()(1*txPBRtuT(7-54)第41頁/共90頁第四十二頁，共91頁。)()(21002*0txPtxeJTt最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)性能指標(biāo)(z

49、hbio)7-5501QPBBRPPaIAaIAPTT 式中式中 為對稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)為對稱正定常陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程：方程：P7-56的唯一的唯一(wi y)解。最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)解。最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)001)(),()(xtxtxPBBRAtxT7-57是漸進(jìn)穩(wěn)定是漸進(jìn)穩(wěn)定(wndng)的，且穩(wěn)定的，且穩(wěn)定(wndng)度至少為度至少為 。第42頁/共90頁第四十三頁，共91頁。 7.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題，是指已知某個具有未知定常擾動逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題，是指已知某個具有未知定常擾動的線性定常系統(tǒng)，在規(guī)定的線性定常系統(tǒng)，在規(guī)定(gudng)穩(wěn)定度要求下，尋

50、求某穩(wěn)定度要求下，尋求某個二次型性能指標(biāo)，使得由規(guī)定個二次型性能指標(biāo)，使得由規(guī)定(gudng)穩(wěn)定要求確定的穩(wěn)定要求確定的線性狀態(tài)反饋控制律線性狀態(tài)反饋控制律 ，對所構(gòu)造的性能指標(biāo)，對所構(gòu)造的性能指標(biāo)來說是最優(yōu)的。來說是最優(yōu)的。 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的實質(zhì)：最優(yōu)調(diào)節(jié)器的極值點配置問題。逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的實質(zhì)：最優(yōu)調(diào)節(jié)器的極值點配置問題。)()(tKxtu第43頁/共90頁第四十四頁，共91頁。7.4.1 逆調(diào)節(jié)器問題逆調(diào)節(jié)器問題(wnt)設(shè)完全設(shè)完全(wnqun)可控系統(tǒng)狀態(tài)方可控系統(tǒng)狀態(tài)方程程EwtuBtxAtx)( )( )( (7-58)式中式中 為為 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； 為為 維控制向量，維

51、控制向量，且無約束；且無約束； 為為 維常值未知擾動向量；維常值未知擾動向量； ； 和和 為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。為維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣。)( txn)( tumwmnm BA,E假設(shè)假設(shè)(jish)：矩陣矩陣 列滿秩列滿秩B值域空間值域空間 。)()(BE規(guī)定穩(wěn)定度要求規(guī)定穩(wěn)定度要求 。10 , 0arcsin0ImRe第44頁/共90頁第四十五頁，共91頁。若令若令wMwwtutz1)( )(7-59)(7-60)則逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題則逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題(wnt)為：尋求二次型為：尋求二次型性能指標(biāo)性能指標(biāo)dttuStutzRtztxQtxeJTTTat02)( )()()()( )(21(7-6

52、1) 使得由使得由 和和 確定的控制律確定的控制律 ，對性能指標(biāo)，對性能指標(biāo)（7-61）是最優(yōu)的。其中，）是最優(yōu)的。其中， 為非負(fù)對稱常陣，為非負(fù)對稱常陣， 和和 為正定對稱常陣。為正定對稱常陣。)( tuQRS第45頁/共90頁第四十六頁，共91頁。由假設(shè)由假設(shè) ，能夠選取一個，能夠選取一個(y )矩陣矩陣 ，使得，使得1M1MBE 將式（將式（7-62）代入狀態(tài)方程（）代入狀態(tài)方程（7-58），并考慮），并考慮(kol)式（式（7-59）和式（）和式（7-60），可得），可得(7-62)()( )( tzBtxAtx(7-63)定義定義(dngy)()( )(tztutu)()( )(tz

53、txtx(7-64)(7-65)第46頁/共90頁第四十七頁，共91頁。則系統(tǒng)則系統(tǒng)(xtng)方程（方程（7-63）和（）和（7-64），以及性能指標(biāo)（），以及性能指標(biāo)（7-61）可以寫為）可以寫為)()()(tButAxtxdttRututQxtxeJTTt02)()()()(21(7-66)(7-67)式中式中SRRQQIBBAA,00,0,00和和 是維數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ囀蔷S數(shù)適當(dāng)?shù)某ｊ?且且 和和 分別為非負(fù)分別為非負(fù)QBA,R和正定對稱矩陣和正定對稱矩陣QR第47頁/共90頁第四十八頁，共91頁。經(jīng)上述矩陣經(jīng)上述矩陣(j zhn)增廣后，逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題轉(zhuǎn)化為：增廣后，逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題轉(zhuǎn)

54、化為：對于給定的線性定常系統(tǒng)（對于給定的線性定常系統(tǒng)（7-66）和給定穩(wěn)定度約）和給定穩(wěn)定度約束束 和和 ，尋求狀態(tài)反饋陣，尋求狀態(tài)反饋陣 和權(quán)陣和權(quán)陣 與與 ，使，使得得 滿足滿足 和和 約束成為最優(yōu)控制，約束成為最優(yōu)控制，并使性能指（并使性能指（7-67）極小。）極小。KQR)()(tKxtu7.4.2 狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)反饋陣的表反饋陣的表達(dá)式達(dá)式 一個完全可控的一個完全可控的 階連續(xù)系統(tǒng)，對其給定穩(wěn)階連續(xù)系統(tǒng)，對其給定穩(wěn)定度的一種評價規(guī)則是所有閉環(huán)極點的實部和幅角定度的一種評價規(guī)則是所有閉環(huán)極點的實部和幅角有要求的上限。若用有要求的上限。若用 表示期望極點區(qū)域，易見表示期望極點

55、區(qū)域，易見 為圖為圖7-1中的陰影區(qū)。中的陰影區(qū)。nrSrS第48頁/共90頁第四十九頁，共91頁。11lmRCarcSinrS圖圖 7-1 期望極點區(qū)域期望極點區(qū)域引理引理7-1 定常齊次動態(tài)定常齊次動態(tài)(dngti)方程方程)()(tAxtx其零解漸進(jìn)穩(wěn)定的充要其零解漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是：對給定的任一條件是：對給定的任一正定對稱陣正定對稱陣 ，都存，都存在唯一的正定對稱在唯一的正定對稱陣陣 ，使得，使得MNNMAMAT第49頁/共90頁第五十頁，共91頁。引理引理7-2 對于完全對于完全(wnqun)可控的可控的 階連續(xù)系統(tǒng)階連續(xù)系統(tǒng)n)()()(tButAxtx如果如果(rgu)111A

56、Ii必有必有 即即, 2 , 1,)(niSAri 1)(AReiniAi, 2 , 1,1)( 式中式中 表示特征值，表示特征值， 表示實部。表示實部。 )()(Re第50頁/共90頁第五十一頁，共91頁。引理引理7-3 對于任意給定的對于任意給定的 正定對稱矩陣正定對稱矩陣 ，以及任意正數(shù)以及任意正數(shù) 和和 ，矩陣方程，矩陣方程nnN) 10(NIAMMIAT1111(7-68)有正定有正定(zhn dn)對稱解的充分必要條對稱解的充分必要條件是件是niIAi, 2 , 1, 111 第51頁/共90頁第五十二頁，共91頁。定理定理7-8 設(shè)系統(tǒng)（設(shè)系統(tǒng)（7-66）完全可控，給定正定對稱矩

57、）完全可控，給定正定對稱矩陣陣 。若。若 為正定對稱矩陣，則必存在為正定對稱矩陣，則必存在(cnzi)滿滿足下式的狀態(tài)反饋陣足下式的狀態(tài)反饋陣 ：NKMIAMMIANMBKMBKTT11(7-69)使得使得(sh de)閉環(huán)系統(tǒng)特征閉環(huán)系統(tǒng)特征值值 。riSBKA)(第52頁/共90頁第五十三頁，共91頁。7.4.3 狀態(tài)狀態(tài)(zhungti)反饋陣與性能指標(biāo)的反饋陣與性能指標(biāo)的關(guān)系關(guān)系YKKBRKPT1(7-70)的一般解。式中的一般解。式中 ，滿足，滿足TYY 0BY若若 非奇異，則有非奇異，則有KBYRKRKBRKPT(7-71)引理引理7-4 對于完全可控系統(tǒng)（對于完全可控系統(tǒng)（7-6

58、6），若），若 列滿列滿秩，秩， 對稱非負(fù)，對稱非負(fù)， 漸進(jìn)穩(wěn)定，則存在對漸進(jìn)穩(wěn)定，則存在對稱正定矩陣稱正定矩陣 和狀態(tài)反饋陣和狀態(tài)反饋陣 ，其中，其中 為對稱非負(fù)矩陣，是如下方程為對稱非負(fù)矩陣，是如下方程BRPBRKT1KBAPKB第53頁/共90頁第五十四頁，共91頁。定理定理(dngl)7-9 考慮完全可控（考慮完全可控（7-66），）， 列滿秩，列滿秩，若若B。niSBKAri, 2 , 1,)( KB為對稱非負(fù)矩陣。為對稱非負(fù)矩陣。IAYRKRKBRKT1YRKRKBRKIAT1對稱非負(fù)，其對稱非負(fù)，其中中0,YBYYTT第54頁/共90頁第五十五頁，共91頁。則當(dāng)則當(dāng) 正定對稱時，

59、必存在非負(fù)對稱的正定對稱時，必存在非負(fù)對稱的 和和 ，滿足滿足RPQYRKBRKPTRKKPIAIAPQTT1111(7-72)(7-73)式中式中。10 , 0第55頁/共90頁第五十六頁，共91頁。推論推論 在定理在定理7-9中，若取中，若取 為單位陣，則必存在為單位陣，則必存在(cnzi)非負(fù)對稱得非負(fù)對稱得 和和 ，滿足，滿足PQRYKKBKPTKKPIAIAPQTT1111(7-74)(7-75)第56頁/共90頁第五十七頁，共91頁。7.4.4 逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計(shj)步驟步驟逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計，可按如下逆最優(yōu)調(diào)節(jié)器的設(shè)計，可按如下(rxi)步驟進(jìn)步驟進(jìn)行：行

60、：給定正定給定正定(zhn dn)對稱矩陣對稱矩陣 ，一般可取一般可取N。IN 由式（由式（7-69）求出使）求出使 為對稱正定矩陣為對稱正定矩陣 的的取值范圍取值范圍KM由定理由定理7-9 檢驗所取檢驗所取 陣是否滿足條件陣是否滿足條件 和和 ，不滿足則返回至，不滿足則返回至 ，重取，重取 陣，直至條件滿足。陣，直至條件滿足。KK第57頁/共90頁第五十八頁，共91頁。取取 ，按式（，按式（7-72）和式）和式 （7-73）分別）分別計算計算 和和 。IR PQ取取 為對角塊陣，可得使為對角塊陣，可得使 成為最優(yōu)反成為最優(yōu)反饋增益陣的性能指標(biāo)（饋增益陣的性能指標(biāo)（7-67）。）。QK由由 和