高中數(shù)學第一講不等式和絕對值不等式一1不等式的基本性質同步配套教學案新人教A版選修4-5

1、1不等式的基本性質對應學生用書P11實數(shù)大小的比較(1) 數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，可以利用數(shù)軸上點的左右位置關系來規(guī)定實數(shù)的大小在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大(2) 如果 a b0，則 ab；如果 a b 0，則 a b；如果 ab 0，則 a b.(3) 比較兩個實數(shù)a 與 b 的大小，歸結為判斷它們的差a b 的符號；比較兩個代數(shù)式的大小，實際上是比較它們的值的大小，而這又歸結為判斷它們的差的符號2不等式的基本性質由兩數(shù)大小關系的基本事實，可以得到不等式的一些基本性質：(1) 如果 a b，那么 b a；如果 ba，那么 a b. 即 ab? b a.(2) 如果 a b，b c，那么

2、 a c. 即 a b， b c? a>c.(3) 如果 a b，那么 a c>b c.(4) 如果 a b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b， c<0，那么 ac<bc.(5) 如果 a>b>0，那么 an>bn( n N， n2) (6) 如果 a>b>0，那么 n a n b( n N， n2) 3對上述不等式的理解使用不等式的性質時，一定要清楚它們成立的前提條件，不可強化或弱化它們成立的條件，盲目套用，例如：(1) 等式兩邊同乘以一個數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘以同一個數(shù)c( 或代數(shù)式 ) 結果有三種： c

3、0 時得同向不等式；c 0 時得等式； c<0 時得異向不等式(2) a b， c d? a c>b d，即兩個同向不等式可以相加，但不可以相減；而a>b>0， c>d>0? ac>bd，即已知的兩個不等式同向且兩邊為正值時，可以相乘，但不可以相除(3) 性質 (5) 、 (6) 成立的條件是已知不等式兩邊均為正值，并且n N， n2，否則結論不成立而當n取正奇數(shù)時可放寬條件，> ? n> n(n2 1，N)， > ?n a>n b(na b a bkka b 2k 1， k N) (4) 在不等式的基本性質中，條件和結論的邏輯

4、關系有兩種：“? ”與“ ? ”，即推出1/10關系和等價關系，或者說“不可逆關系”與“可逆關系”這要求必須熟記與區(qū)別不同性11質的條件如a b， ab 0? a b，而反之不成立對應學生用書P1實數(shù)大小的比較114例 1已知 x， y 均為正數(shù)，設m x y，n x y，試比較 m和 n 的大小 思路點撥 變形轉化為因式與0比較兩式作差 乘積形式 判斷正負，得出大小1 14x y4xy 2 4xyx y2 解 m n x y x y xy x yxy x y xyx y， x，y 均為正數(shù)， x>0， y>0， xy>0， x y>0， ( xy) 20. m n0，

5、即 m n.( 當 x y 時，等號成立 ) 比較兩個數(shù) ( 式子 ) 的大不，一般用作差法，其步驟是：作差變形判斷差的符號結論，其中“變形”是關鍵，常用的方法是分解因式、配方等44331已知 a，b R，比較 a b 與 a bab 的大小33 a ( a b) b ( b a) ( a b)222( a ab b ) ( a b) 2 ab23b2024( 當且僅當ab 時，取“”號)2/10所以 a4b4 a3b ab3.6a22在數(shù)軸的正半軸上，A 點對應的實數(shù)為9 a4， B 點對應的實數(shù)為 1，試判別 A 點在B 點的左邊，還是在B 點的右邊？6a2a2 32解：因為 9 a4 1

6、9 a40，6a2所以1.9 a4當且僅當 a ±3時取 “ ” ，所以當 a±3時， A點在 B 點左邊，當a ±3時， A 點與 B點重合不等式的證明 例 2已知 a>b>0， c<d<0， e<0.e e求證： a c>bd. 思路點撥 可以作差比較，也可用不等式的性質直接證明證明eee bd a c法一：ac b da cb de ba c da c，b d a>b>0， c<d<0， b a<0， c d<0. b a c d<0.又 a>0， c<0， a c&g

7、t;0.同理 b d>0， ( ac)( b d)>0. e<0，e ba c deea cb d>0. 即 a c>bd.c<d<0? c> d>0法二：?a>b>03/1011ac>b d>0? a c<b d ?ee.acb de<0進行簡單的不等式的證明，一定要建立在記準、記熟不等式性質的基礎之上，如果不能直接由不等式的性質得到，可以先分析需要證明的不等式的結構，利用不等式的性質進行逆推，尋找使其成立的充分條件3判斷下列命題的真假，并簡述理由(1) 若 a>b， c>d，則 ac>

8、;bd；a b(2) 若 a>b>0， c>d>0，則 c>d；(3) 若 a>b， c<d，則 ac>b d；(4) 若 a>b，則 an bn， n a>n b( n N 且 n2) 解： (1) 取 a3， b 2，c 2， d 3，即 3>2， 2> 3. 此時 ac bd 6. 因此(1) 為假命題ab(2) 因同向不等式不能相除，取a6， b 4，c 3， d2，此時 c d 2. 因此 (2) 為假命題(3) c<d， c> d，因此 (3) 為真命題(4) 當 a>b>0 時，才能成

9、立，取a 2，b 3，當 n 為偶數(shù)時不成立，因此(4) 為假命題4已知 ，y11>，都是正數(shù)，且 > ，a bxa bx yxy求證： x a>y b.證明：因為 a， b， x， y 都是正數(shù)，1 1x y且 > . x>y，所以> ，a ba ba b所以 x<y.4/10ab故 x1<y 1，x a y bxy即x< y . 所以 x a>y b.利用不等式的性質求范圍例 3(1) 已知：2 < 2 ，求 的范圍(2) 已知： 1 a b1,1 a 2b3，求 a 3b 的范圍 思路點撥 求代數(shù)式的范圍應充分利用不等式的

10、基本性質 解 <(1) ，22 2 2 ， 2 2 . 且 . 且 0. <0. 即 的范圍為 ， 0) (2) 設 a 3b1( a b) 2( a 2b) ( 12) a ( 1 2 2) b.解得 15， 22.3355522 3 3( a b) 3， 2 3( a 2b) 3.1111 3 a 3b1. 即 a 3b 的范圍為，1.3求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質應用的一個重要方面，嚴格依據(jù)不等式的性質和運算法則進行運算，是解答此類問題的基礎，在使用不等式的性質中，如果是由兩個變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉化為同向不等式后作和x5若 8x 10,2 y 4

11、，則 y的取值范圍是_解析： 2 y 4，5/10111 4y 2. 又 8x 10，x 2 y 5.答案： (2,5)6已知 1 4， 2 1，求 2 的取值范圍解：設 2 m( ) n( ) ，1m n 2，m 2，?mn 1.n 3.2又 1 4， 2 1112，2233 32 2，51? 22 2.51 2 的取值范圍為 2， 2對應學生用書P31已知數(shù)軸上兩點，B對應的實數(shù)分別為x，若<<0，則 | | 與| 對應的點Ayx yxyP，Q的位置關系是 ()B P 在 Q的右邊AP 在 Q的左邊D 不能確定C P， Q兩點重合解析： x<y<0， | x|>

12、;| y|>0. 故 P 在 Q的右邊答案： B2下列命題中不正確的是 ()33A若a>b，則 a>bB若 a>b，c>d，則 a d>b c6/10a bC若 a>b>0， c>d>0，則 d>cD若 a>b>0， ac>bd，則 c>d解析：當 c>0， d>0 時，才有 a>b>0， ac>bd? c>d.答案： D3已知 a>b>c，則下列不等式正確的是()B ac2>bc2A ac>bcD |ac|>| |C ( )>()b

13、cb abca b解析： a>b>c? a b>0? ( a b) b>( a b) c.答案： Ccab4已知 a， b， c (0 ， )，若 ab b c c a，則 ()B b caA c a bD c baC a b ccabcaba bca b c解析：由 a b b cc a，可得 a b 1b c 1 c a1，即ab b ca b c c a ，又 a， b， c (0 ， )，所以 a b b c c a. 由 a b b c 可得 a c；由 b c c a 可得 b a，于是有 c a b.答案： A125已知 0 a1，則 a，a， a 的大小

14、關系是 _1a1a1解析： a aa 0，1 a .a又 2 (1) 0，a aaa2 . a2 1.aaaa21答案： a aa6給出四個條件：b>0>a， 0>a>b， a>0>b， a>b>0.7/1011能得出 a b成立的有 _1 11 1b a1 1解析：由 a<b，得 a b<0， ab<0，故 可推得 a<b成立答案：7設x2 25，2 24 ，若>，則實數(shù)a，b應滿足的條件為 _a byab aax y解析： x>y， x y a2b2 52ab a2 4a( 1) 2(a 2) 2>0

15、.ab ab10或 a20.即 ab1或 a 2.答案： ab1或 a 28若>0， >0，求證：b2a2 .abababb2 a2ab證明： a b a b ( ab) b aa b2a b，ab( ) 20恒成立，且已知 0，b 0，aba a b>0， ab>0.a b2a bb2a2ab0. a b a b.9若 f ( x) ax2 bx，且 1 f ( 1) 2,2 f (1)4，求 f ( 2) 的取值范圍解： f ( 1) ab， f (1) a b，f ( 2) 4a 2bAf ( 1) Bf (1)，則A B 4，?A 3，B A 2B 1. f (

16、 2) 3f( 1) f (1) 2 f (1) 4,1 f ( 1) 2，33f ( 1) 6，5 f (1) 3f ( 1) 10，5 f ( 2) 10.10已知 a>0， a1.8/10(1)比較下列各組大小a21與 ； 31 與2 ；a aaaa a5 1 與 a3 a2.(2) 探討在 m， n N 條件下， am n 1 與 am an 的大小關系，并加以證明解： (1) a>0， a1， a2 1 ( a a) a2 1 2a( a 1) 2>0.a21>a a. a31 ( a2 a) a2( a 1) ( a 1)( a 1)( a 1) 2 0，a3 1>a2 a， a5 1 ( a3 a2) a3( a21) ( a2 1) ( a21)( a3 1) 當 a>1 時，a3>1， a2>1， ( a2 1)( a3 1)>0.當 0<a<1 時， 0<a3<1,0< a2<1， ( a2 1)( a3 1)>0.即 a5 1>a