數(shù)列求和地各種方法

1、標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)列求和的方法教學(xué)目標(biāo)1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2 掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法.3能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用相關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.教學(xué)內(nèi)容知識(shí)梳理1求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1) 公式法 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式n ai a.一 n n -1 ,S= naid .2 2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(I )當(dāng) q= 1 時(shí),Sn= nai;& 1 qn ) ai - anq(n )當(dāng) qz 1 時(shí),Sn= -1=TT.1 -qiq 常見的數(shù)列的前 n項(xiàng)和：12 3 - +n= 呃 , 1+3+5+(2n 1)= n22_212 +

2、22+32+ +n2=呦+1)(2n+1),13+23+33+ +n3=等6 1 2(2) 分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解.(3) 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾假設(shè)干項(xiàng).(4) 倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和時(shí)所用的方法,將一個(gè)數(shù)列倒過來排序,如果原數(shù)列相加時(shí),假設(shè)有公因式可提,并且剩余項(xiàng)的和易于求得,那么這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.(5) 錯(cuò)位相減法這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,主要用于求an bn的前n項(xiàng)和,其中an和bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(6) 并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)

3、合求解,那么稱之為并項(xiàng)求和.形如an= ( 1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.2 2 2 2 2 2例如,Sn= 100 99 + 98 97 + 2 1 = (100 + 99) + (98 + 97) + + (2 + 1) = 5 050.2.常見的裂項(xiàng)公式(1)1= ( );2n -1 2n 1設(shè)數(shù)列 1的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn. 2n 12n+1,n n 1 n 22 (n n 1 n 1 n 2anan + 1d anan + 1 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,那么丄=；(丄丄).數(shù)列求和題型 考點(diǎn)一公式法求和11. (2021 新課標(biāo)全國I )是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足

4、b = 1, b2= 3, anbn+1 + bn+1 = nbn.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求bn的前n項(xiàng)和2. (2021 新課標(biāo)全國n,17)等差數(shù)列an的公差不為零,a1 = 25,且a1, an, a13成等比數(shù)列(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求 a+ a4 + $+ a3n 2.變式練習(xí)1. (2021四川,16)設(shè)數(shù)列an(n= 1, 2,3,)的前n項(xiàng)和S滿足S= 2an a1,且a1,a2 + 1,a3成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2. (2021 福建,17)在等比數(shù)列an中,a2 = 3, a5= 81.(1) 求 an；(2) 設(shè)bn= log

5、san,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和 S考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法1.(山東)數(shù)列:aj 的前n項(xiàng)和S=3n2+8n,CbJ是等差數(shù)列,且 a bn bn d.(I)求數(shù)列 Mn ? 的通項(xiàng)公式；(n)令cn =気.求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.2.(2021 天津,18)數(shù)列a滿足 an+2= qan(q 為實(shí)數(shù),且 1), n N, a= 1, a2= 2,且 a?+ a3, a3 + a4, a4 + a5成等差數(shù)列.(1) 求q的值和 an的通項(xiàng)公式；lOg 2比門*(2) 設(shè)bn =, n N ,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和.a2n 1大全變式練習(xí)1. (2021 江西,17)首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列an, bn(b

6、nM0, n N)滿足la+ ibn + 2bn+心=0.an(1) 令6= /,求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式；(2) 假設(shè)bn=疔,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S2. (2021 四川,19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an, bn)在函數(shù)f(x) = 2x的圖象上(n N*).(1) 假設(shè)a = 2,點(diǎn)(a8, 4b7)在函數(shù)f (x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S;(2) 假設(shè)a1= 1,函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(a2, b2)處的切線在x軸上的截距為2,求數(shù)列 壬的前n項(xiàng)和Tn.3. (2021 湖北,18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為$,等比數(shù)列bn的公比為q,b = a, H =2,

7、q = d, S°= 100.(1)求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式；當(dāng)d>1時(shí),記Cn= b,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.4. (2021 山東,18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S.2S=才+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 假設(shè)數(shù)列bn滿足anbn = log 3an,求bn的前n項(xiàng)和Tn.記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.6. (2021湖南,19)設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為S,ai= 1,a? = 2,且an+2= 3S S+1+ 3, n N.(1)證實(shí)：a + 2= 3an；求s.考點(diǎn)三分組求和法1. (2021 福建,17)在等差數(shù)列an中,a2 = 4, a

8、4+ a?= 15.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn= 2% ' + n,求 b1 + b2 + b3+ be 的值.2n + n *2. (2021 湖南,16)數(shù)列&的前n項(xiàng)和S=, n N.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn= 2an + ( 1) nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和變式練習(xí)1. (2021 北京,15)an是等差數(shù)列,滿足 a匸3, a4= 12,數(shù)列bn滿足b= 4, b4= 20,且bn an為 等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)四裂項(xiàng)相消法1. (2021 新課標(biāo)全國I, 17)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)

9、和.an>0, a2 + 2an = 4S+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；1(2) 設(shè)bn=,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和.anch+ 12. (2021 新課標(biāo)全國,17)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且 2a1+ 3az= 1, al= 9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn= log 3a1 + log sa2 + + log san,求數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和.標(biāo)準(zhǔn)文案3. (2021 安徽,18)數(shù)列劉是遞增的等比數(shù)列,且ai+ a4= 9, a2as= 8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；an+ 1設(shè)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn =,求數(shù)列b的前n項(xiàng)和Tn.SS1+1變式練

10、習(xí)21. (2021 江西,16)正項(xiàng)數(shù)列劉滿足：an - (2n 1)an 2n= 0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；1令bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(n 十 1) an2. (2021 大綱全國,17)等差數(shù)列an中,ay= 4, a19 = 2ao. (1)求an的通項(xiàng)公式；1設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S.na3. 在數(shù)列sh中,ai= 1,當(dāng)n?2時(shí),其前(1) 求S的表達(dá)式；(2) 設(shè) bn= 2n+ 1,求bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.n項(xiàng)和S滿足考點(diǎn)五倒序相加法11122 014函數(shù) f(x)= 4x2(x R> .(1)證實(shí)：f(x)+ f(1 -x)=刁(2)假

11、設(shè) s= f(2021)+ f(20i5)+ f(2021), 貝 y s=.變式練習(xí)x4122 0141. 設(shè) f (x) = r ,假設(shè) S= f () + f () + f (),貝V S=4 + 2''2 015,'2 0152 015 八考點(diǎn)六并項(xiàng)求和1. (2021 新課標(biāo),16)數(shù)列an滿足 an+1+ ( 1)nan = 2n- 1,那么an的前 60 項(xiàng)和為2. (2021 山東,19)在等差數(shù)列an中,公差d= 2, a2是a1與a4的等比中項(xiàng)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn= an n 1,記 Tn = b1 + b2 b3 + b4

12、+ ( 1)'bn, 求 Tn.變式練習(xí)1.(2021 山東理,19)等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為S,且S, S, S成等比數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4n(2) 令bn= ( 1) 1,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Tn.ana +1n1*2. (2021 湖南,15)設(shè)$為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S= ( 1) an刃n N,那么:(1) as=;(2) S+ S2+ Soo=.考點(diǎn)七 數(shù)列| an|的前n項(xiàng)和問題11.(2021北京,11)在等比數(shù)列an中,假設(shè)a1 =,a4= 4,那么公比 q =； | a1| +1 a2|+ |an|=變式練習(xí)大全標(biāo)準(zhǔn)文案1. 2021 浙江

13、,19在公差為d的等差數(shù)列時(shí)中,ai= 10,且ai, 2a?+ 2, 5as成等比數(shù)列1求 d,an；2假設(shè) dv 0,求 | a11 +1 a2| + | a3| + | an|.考點(diǎn)八周期數(shù)列1.數(shù)列2 008,2 009,1, - 2 008,- 2 009,這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,那么這個(gè)數(shù)列的前2 014項(xiàng)之和S2 014等于A. 2 008 B . 2 010 C . 1 D . 0 變式練習(xí)n n1.2021 福建數(shù)列an的通項(xiàng)公式an = ncos-,其前n項(xiàng)和為S,那么S.仁等于A.1 006B.2 012C.503D.0考點(diǎn)九數(shù)列與不等式

14、的應(yīng)用1. 2021 新課標(biāo)全國n, 17數(shù)列an滿足a1= 1, 叭 =3?+ 1.an的通項(xiàng)公式;(1)2.(2021 浙江,20)數(shù)列劉 滿足a1 = 2且an+1 = an - a：( n N).1證實(shí):an21Sn1*設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,證實(shí)： -WW -n N.2 n 十 2n 2 n 十 12 2 23.(2021 江西,理)正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足：s -(n n- 1)sn -(n n) =0(1) 求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式an ；n +1*5(2) 令bn廠,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.證實(shí)：對(duì)于任意的n N,都有Tn :(n +2) a64變式練習(xí)1. (2021

15、湖北,18)等差數(shù)列an滿足：a1= 2,且a1, a2, as成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 記S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù) n,使得S>60n+ 800?假設(shè)存在,求n的最小值；假設(shè)不存 在,說明理由.2$1 2 2 *2. (2021 廣東,19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S.ai= 1,- = an+1 孑一n-, n N.(1) 求a2的值；(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；111 7(3) 證實(shí)：對(duì)一切正整數(shù)n,有一+ _ + <7.a1 a2an 43*3. (2021 天津,19)首項(xiàng)為2的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S(n N),且一2S, S,

16、 4S成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；113*(2) 證實(shí) S + sW $( N).4. (2021 廣東,19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列劉的前n項(xiàng)和為S,且$滿足S (n2+ n 3)$ 3( n2+ n) = 0, n N*.(1)求ai的值； 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；11 11證實(shí)：對(duì)一切正整數(shù)n,有+<-.a1 ( a+ 1)a2 (a?+ 1)an (an +1)3答案考點(diǎn)一公式法求和一 11.(2021 新課標(biāo)全國I )&是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列 bn滿足b = 1 , b2= 3 , anbn +1+ bn + 1=nbn.3(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2)

17、求bn的前n項(xiàng)和.31【答案】(1)an 一1 (11)廠芍？大全【解析】試題分析； 用等蔓數(shù)列通項(xiàng)公武求八m求出通項(xiàng),再利用等比數(shù)列求和公式來求.試髄解析:由2&十雖=拭血=1=4 =+,得昭毎+玄=blb =1.毎=£得® = 2 ,所以數(shù)列務(wù)是苜頂為2,公差為3的等差數(shù)列'通項(xiàng)公式為嗎=3«-1(U)由和話加+殆=叫,得*=冬 因此陽是首項(xiàng)為1,公比為£的等比數(shù)列記色的 前刃頊和為S.那么3考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列2. (2021 新課標(biāo)全國n,17)等差數(shù)列an的公差不為零,ai = 25,且ai, aii, ai3成等比數(shù)列.(

18、1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 求 ai+ a4 + $+ a3n-2. 解設(shè)an的公差為d.由題意,an = ai ai3,即(ai+ i0d) = ai(ai+ i2d).于是 d(2 ai + 25d) = 0.又 ai = 25,所以 d= 0(舍去),d= 2.故 an= 2n+ 27.(2)令 S= ai + a4+ a7+ a3n 2.由知a3n-2= 6n+3i,故a3n-2是首項(xiàng)為25,公差為一6的等差數(shù)列.,一 nn2從而 Sn= 2 ai + a3n 2) = 2 6n+ 56) = 3n + 28n.變式練習(xí)i.(20i5四川,i6)設(shè)數(shù)列an(n= i,2,3,)的前

19、n項(xiàng)和S滿足Sn= 2an ai,且ai,a2 +i,a3成等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)數(shù)列丄的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解 (i)由 Sn= 2ai ai,有 an= S Sn-1 = 2an 2an-1( n?2),即 an= 2an-1( n?2), 從而 a2= 2ai, a3= 2a2= 4ai,又由于ai, a2 +1, a3成等差數(shù)列,即 ai+ a3= 2(a2+ 1),所以 ai + 4ai = 2(2 ai + 1),解得 ai = 2, 所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故 an= 2n.1 1(2)由(1)得-=歹,an 21 1所以Tn

20、= 2 +牙+12. 2021 福建,17在等比數(shù)列an中,a2 = 3, a5= 81.1求 an；2設(shè)bn= log san,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和 S解1設(shè)an的公比為q,依題意得£q= 3,a1q4= 81,a1 = 1解得芒q= 3.因此,an= 3 1.(2)由于 bn= log 3an= n 1,所以數(shù)列 b的前n項(xiàng)和n (b1 + bn)考點(diǎn)二錯(cuò)位相減法1.2021 山東,理,18數(shù)列:aj的前n項(xiàng)和S=3n2+8n, 1 bj是等差數(shù)列,且a bn bn d.I求數(shù)列的通項(xiàng)公式；n令cn = 1.求數(shù)列"cj的前n項(xiàng)和Tn.nbn 2nn【答案】Ibn =

21、3n 1 ； (n)Tn = 3n2n '2【解析】試題分析=T= S籌羞數(shù)列的通頂密式求解口根提I知對(duì)列耳的逍項(xiàng)公式'胃月錯(cuò)位相減去求具前口壩相,試題解析； I 主題意知當(dāng)淪2時(shí),円=片-件1=亦斗4當(dāng) n = 1時(shí)、 1S 11,所以角,+5設(shè)數(shù)列他的侖差為由卩*即嚴(yán)=婦十 bj172 皿所以打=知十1一由知八注,又Tn二GC2 C3宀宀Cn ,得Tn =3 2 22 3 23 4 24(n 1) 2n 1,2Tn =3 2 233 244 25(n 1) 2n 2,兩式作差,得-Tn =3 2 222324dn 1 一(n 1) 2n 2=3 442 衛(wèi)一(n 1) 2n

22、 2212n 2所以 Tn =3n 2n '2考點(diǎn)：數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；錯(cuò)位相減法2. (2021 天津,18)數(shù)列an滿足 an +2= qan(q 為實(shí)數(shù),且 1), n N*, a 1, a2= 2, 且a2 + a3 , a3 + & , a4 + a5成等差數(shù)列.(1) 求q的值和an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn=lOg 2an, n N,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.a2n- 1解 (1)由,有(a3+ a4) (a2 + a3) = (a4 + a5) (a3 + a4),即 a4 a2 = a5 a3,所以 a2(q 1) = &(q 1

23、),又由于 qM 1,故 a3= a2= 2,由 a3= ag,得 q = 2.n 1當(dāng) n = 2k 1( k N)時(shí),an=驗(yàn)1 = 2 = 2 2 ;nk當(dāng) n = 2k( k N)時(shí),an= a2k=2 = 22.n 12 2 , n為奇數(shù),所以,an的通項(xiàng)公式為an=n.22, n為偶數(shù).log 2a2nn*(2) 由(1)得 bn= _= on1, n N.a2 n 12設(shè)bn的前n項(xiàng)和為S,那么 1 x2*0+ 2X*+ 3X秒+ (n 1) x22 + nx土,=1 x*+ 2X * + 3X£+ (n 1) x十 + nx£上述兩式相減得:11 1111

24、n 2 nqS= 1 + 2+ 藝+ 尹歹=1 21 2n + 2*整理得,s = 4 1, n N.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4n + 22n1,* n N.變式練習(xí)1.(2021 江西,17)首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列an, bn(bnM0, n N*)滿足ab+1 &+b+ 2bn+ 1bn= 0.an(1)令Cn=,求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式；bn假設(shè)b尸3n：求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S.解 (1)由于 anbn+1 an+ 1bn+ 2bn+0, bn0( N),an+1 anbn+1 bn2,即即 Cn+ 1 Cn 2.所以數(shù)列Cn是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,故Cn 2n 1.(2)

25、由 bn 3n1 知 an Cnbn (2n 1)3n 1,于是數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 S 1 x30+ 3x31 + 5x 32+ (2n 1) x3n1,3S 1 x31+ 3x 32 + + (2n 3) x 3n 1+ (2n 1) 3n,相減得一2S 1 + 2 (31+ 32 + + 3n 1) (2n 1) 3n 2 (2n 2)3n, 所以 S (n 1)3 + 1.2.(2021 四川,19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an, bn)在函數(shù)f(x) 2x的圖象上(n N).(1)假設(shè)a1 2,點(diǎn)(a8, 4by)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S；1an 假設(shè)a

26、i= 1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2, b2)處的切線在x軸上的截距為2-龐,求數(shù)列6的前n項(xiàng)和Tn.解 (1)由得,b7 = 2a7, b8=2a&= 4S,有 2a&= 4X 2a?= 2a?+ 2.解得 d = a8 a7 = 2.n (n 1)所以,s = na1 +2 d=2n+n(n 1)2=n 3n. 函數(shù)f (x) = 2x在(, b2)處的切線方程為y 2a2 = (2adn 2)( x a?),1它在x軸上的截距為a2亠 1 1由題意得,a2 疋二2 戰(zhàn),解得 a2= 2.所以 d = a2 a1= 1.從而 an= n,bn = 2.所以123 n 1

27、nTn= + 2 + 2+ "21 + 2,2Tn = 1+1+?+ 2.因此,2Tn T尸 1 + 1+ 22 + +1 n1 n2n+1 n 22所以,Tn =3. (2021 湖北,18)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為S,等比數(shù)列bn的公比為q,已知 b = a1, b= 2, q= d, So= 100.(1)求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式;當(dāng)d>1時(shí),記Cn= b,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.'10a1 + 45d= 100,解由題意有,輒2,即戸1 + 9d = 20,R1d = 2,標(biāo)準(zhǔn)文案解得*a 9, 或 2d=9.2=3+大全a = 2n 11a

28、n=9 (2n+ 79)bn= 2(2)由 d>1,知 an= 2n 1,bn= 2n 1 故 6= 2| 3 1 (n 1) x 31n1 3' 丿,于是Tn = 1 + 3+ |2+ £+?+ 2n,113579 2n 3 2n 12Tn= 2+ 2+ 23 + 24+ 戸+ + 2"-1 + 2n .可得1111 2n 1 2n+ 3尹=2+2+ 2 - 2"=32",故 Tn= 62n + 32n14. (2021 山東,18)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S2Sn= 3“+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；(2) 假設(shè)數(shù)列bn滿足anbn

29、 = lOg 3an,求5的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由于 2S= 3n + 3,所以 2a1 = 3+ 3,故 a1= 3, 當(dāng) n> 1 時(shí),2S 1= 3n 1+ 3,n 1an = 3此時(shí) 2an = 2Sn 2S1-1 = 3 3 1 = 2 x 3 1,即所以3,n= 1, an= |3n 1,n> 1.1 由于 anbn = log 3an,所以 b1 = 3,當(dāng) n> 1 時(shí),bn= 31nlog 33n1= (n 1) 31 n1所以 T1= b1 = 3;1 1 21 n當(dāng) n> 1 時(shí),Tn = b1 + ba + b3 + + bn = 3 + (1

30、 x 3 + 2x 3 + (n 1) x 3 ), 所以 3Tn= 1+ (1 x 30 + 2x 31+-+ (n 1) x 32n),2 兩式相減,得 2Tn= 3 + (30+ 31+ 3 2+ 32 n) (n 1) x 31 n6n+ 32x 3n,13所以Tn=云-6n + 34 x 3n,標(biāo)準(zhǔn)文案經(jīng)檢驗(yàn),n= 1時(shí)也適合.136n + 3綜上可得“ 12 - 4.1115. (2021 浙江,17)數(shù)列an和bn滿足a1= 2,b1= 1,an+1 = 2an(nN), b+b2+b3+-bn= bn+123n1( n N*).(1)求 an 與 bn；記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和

31、為Tn,求Tn.解(1)由 a1 = 2, an+1= 2an,得= 2n(n M).由題意知：當(dāng) n= 1 時(shí),b = b2 1,故 b2 = 2.1當(dāng)n?2時(shí),-bn= bn+ 1 bn,整理得nbn+1bn=,所以 bn= n(n N*).n+1 n(2)由(1)知nanbn= n 2 .因此 Tn= 2 + 2 22+ 3 23+ n 2n,234n+12Tn = 2 + 2 2 + 3 2 + n 2,所以 Tn 2Tn= 2+ 22+ 23+ 2n n 2n+1.故 Tn= (n 1)2+ 2(n N).6. (2021 湖南,19)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,a= 1, a2 =

32、2,且 勿+2= 3S S+計(jì)3, n N.(1)證實(shí)：& + 2= 3an ；求s.(1)證實(shí)由條件,對(duì)任意 n N,有an+2 = 3Si Si+1 + 3,因而對(duì)任意 n N*, n?2,有 an+1 = 3S-1 S+ 3.兩式相減,得 an+2 an+ 1 = 3an an+1 ,艮卩 an+ 2= 3an , n?2.又 a = 1, a2= 2,所以 a3 = 3S S2+ 3= 3a1 (a1 + 比)+ 3 = 3a1,故對(duì)一切 n N , an+2= 3an. 解 由1知,禺工0,所以吏二=3.于是數(shù)列a2n 1是首項(xiàng)a1= 1,公比為3等比數(shù)列；數(shù)列a£

33、是首項(xiàng) ana2 = 2,公比為3的等比數(shù)列.因此a2n1 = 3n1,血=2 x 3n1.于是 $n= a1 + a2+,+ a2n=(a1+ a3+ a2 n-1) + (a2 + a4+ a2 n)n 1n 1=(1 + 3+-+ 3) + 2(1 + 3 + + 3)=3(1n 1+ 3 + + 3)=3 ( 3n 1)2從而$n- 1 = S2n 一 a2n =3 ( 3n 1)23 n 2=2(5 x 3 1). 3n 32 5X 31,當(dāng)n是奇數(shù),綜上所述,s=3| 3? 1,當(dāng)n是偶數(shù).考點(diǎn)三分組求和法1. (2021 福建,17)在等差數(shù)列an中,a2 = 4, a4+ a?

34、= 15.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn= 2an ° + n,求 b1 + b2 + b3+ be 的值.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,呂計(jì)d= 4,由得 a1+3d) + ( a1+ 6d)= 15,ai= 3, 解得1d=1.所以 an= a1 + (n 1)d = n+ 2.由(1)可得bn= 2n+ n,所以 b1+ b2 + b3+-+ b10= (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) + (2 + 10)2310=(2 + 2 + 2 +-+ 2 ) + (1 + 2 + 3 + + 10)102 (1 2 )( 1+ 10)X 10

35、=12+ 2=(2 11 2) + 5511=2 + 53= 2 101.22. (2021 湖南,16)數(shù)列a的前n項(xiàng)和S=n N.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； 設(shè)bn= 2an + ( 1) nan,求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和.解(1)當(dāng) n= 1 時(shí),a1 = S= 1;當(dāng)n?2時(shí),an = Si Si1 =n2+ n22(n 1) +(n 1)2=n.大全故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an= n.由(1)知,bn= 2n+ ( 1)nn.記數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和為 T2n,那么 T2n= (21+ 22 + 22n) + ( 1 + 2 3+ 4 + 2n).記 A= 21 + 22+-+ 22

36、n, B= 1 + 2 3+ 4 + 2n,貝=22n+1B= ( 1+ 2) + ( 3+ 4) + (2n 1) + 2n = n.故數(shù)列bn的前 2n 項(xiàng)和 T2n = A+ B= 22n+1+ n 2.變式練習(xí)1. (2021 北京,15)an是等差數(shù)列,滿足a1= 3, a4= 12,數(shù)列bn滿足b= 4, b4= 20,且bn an為等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意得d=旦=七=3.所以 an= a1+ ( n 1) d= 3n(n= 1, 2,).設(shè)等比數(shù)列bn an的公比為q,由題意得8,解得q= 2.3

37、b4 a420 12q bi ai_ 4 3 所以 bn an= (b ai) q 1 = 2 1.從而 bn= 3n+ 2n Y n= 1, 2,) 由(1)知 bn= 3n+ 2n 1(n= 1, 2,).n3 n 11 2 n數(shù)列3 n的前n項(xiàng)和為刃(門+1),數(shù)列2的前n項(xiàng)和為1 x? = 2 1.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為|nn+ 1 + 2n 1.考點(diǎn)四裂項(xiàng)相消法21. (2021 新課標(biāo)全國I, 17)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.an>0, an+ 2an = 4S+ 3.(1) 求an的通項(xiàng)公式；1(2) 設(shè)bn=,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和.an+ 12解 (1)由 an+ 2

38、an= 4S1 + 3, 2可矢口 an+ 1 + 2an+ 1 = 4S+1 + 3.可得 a：+1 a2 + 2( an+1 an) = 4an+1,即即2 22( an+ 1 + an) = an+ 1 an= ( an + 1 + an)( an + 1 an).由于 an >0,可得 an +1 an= 2.又 a1 + 2a1 = 4a1 + 3,解得 a1 = 1(舍去),a1= 3.所以an是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an= 2n+ 1.(2)由 an= 2n+ 1 可知1 1bn=anan+1(2n + 1)( 2n + 3)=11 1=2 創(chuàng)+ 1 2n

39、+ 3 丿設(shè)數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和為Tn,貝UTn= b+ b2+ + bnL1 +17 + 話n3 (2n+ 3)2. 2021 新課標(biāo)全國,17等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且 2a1+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的前n項(xiàng)和. 設(shè) bn= log 3a1 + Iog3a2 + log san,求數(shù)列解1設(shè)數(shù)列 an的公比為q. 由 a；= 9a2a6, 得 a3= 9a4,2 1所以q2= 9.1由條件可知q>0,故q= 3.3由 2ai + 3a2= 1 得 2ai + 3aq= 1,1所以a1= 3.1故數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an=亍.(2) b

40、n= log 3a1 + log 3a2+ log 3an=-(1 + 2+ n)n ( n+1)=- 2 ,故 bn=-2_11n ( n+1) =2( n n +1)1 1 1+ + = 2bJ b2+ bn2i1丄)L 空In n+ 1 丿廠 n+ 1所以數(shù)列bnL的前n項(xiàng)和為一2nn + .3. (2021 安徽,18)數(shù)列a是遞增的等比數(shù)列,且a1+ a4= 9, a2a3= 8.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; 設(shè)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,bn = ,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Tn. SS1 +1解 (1)由題設(shè)知 a1 a4= a2 a3= 8.又a1 + a4= 9.可解得a- 1,a4

41、= 8a1 = 8, 或=(舍去).a4= 1由 a4= a1 q得公比 q= 2,故 an= ag 1 = 2 1小 a1(2) $=(1 qn)1 qbn =an+ 1SS+1所以 Tn= b1 + b2+bn =12n+1 1.變式練習(xí)1.(2021 江西,16)正項(xiàng)數(shù)列a滿足：an (2 n 1)an 2n= 0. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；1令bn=,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.(n+ 1) an解 (1)由 an (2n 1) an 2n = 0,得(an2n)( an+1) = 0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列,所以 an= 2n.丄1(2)由 an= 2n, bn=)a,(n +1)

42、 an11A 1貝廿 bn = = 一 , Tn =那么 2n (n+1)2 n n+ 1,1 1 1 1 11111 +一一 + + 一一一222 3 n 1 n n n+1=1帚丄_n_2 n+ 12 (n+1)'2. (2021 大綱全國,17)等差數(shù)列an中,ay = 4, a19 = 2a9.(1)求an的通項(xiàng)公式；1設(shè)bn =,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S.nan解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,貝yan = a1+ ( n 1)d.由 ay = 4,得 a1+ 6d = 4,a19 = 2a9,a1+ 18d = 2 (a1+ 8d),1解得 a1 = 1, d = q.n+

43、1an的通項(xiàng)公式為ai =.1 2 2 2 bn = nan = n( n+1)= n-市, S 2 2 L ,2 2 L + |2 丄)空 -$= 1 2 + 2 一 3 + n n+ 1 = n+1.3. 在數(shù)列劉中,a1= 1,當(dāng)n?2時(shí),其前n項(xiàng)和S滿足Sn= an S2 .(1) 求S的表達(dá)式；Sn(2) 設(shè) bn= 2n+ 1,求bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.n2n 11答案(1 ) n 一 2, an 二 Sn -Sn4 可求得 Sn-2n 1考點(diǎn)五倒序相加法1 11.函數(shù) f(x) = 4+2(x R).證實(shí)：f(x) + f (1 x)=-;變式練習(xí)x54 卄122 014 小1

44、.設(shè) fx=而,假設(shè) S=f亦+ f血H貢,那么 S=考點(diǎn)六并項(xiàng)求和1. (2021 新課標(biāo),16)數(shù)列an滿足 an+1+ ( 1)nan= 2n1,那么a的前 60項(xiàng)和為.理科解析 當(dāng) n = 2k 時(shí),a2k +1 + a2k=4k 1,當(dāng) n = 2k 1 時(shí),a2k a2k1 = 4k 3 , a2k+1 +2, a2k+3+ a2k+1 = 2,a2k 1 = a2k +3 , a1 = a5 = = a61. a + a2 + a3+ +a60 = (82+ 83)+ (a4 + as) + (a60 + a61)= 3+ 7+ 11 + (2 X 60 1) = 30X( 3+

45、 119)30 x 61 = 1830.答案 1 830文科解析Tan+1 + ( - 1)nan= 2n 1,a2= 1 + ai, a3= 2 ai, a4= 7 ai, a5= ai, a6 = 9 + a1, a7= 2 a1, a8 = 15 a1, a9= a1, a10 = 17+ a1, an= 2 a1, a12= 23 a, a57 = a, a58= 113 + a, a59= 2 a1, a60= 119 a1,a1 + a2+ a60 = (a1 + a2 + a3 + a4)+ (a5+ a6+ a7 + a8)+ (a57 + a58 + a59 + a6

46、6;)15X( 10 + 234)=10 + 26 + 42+ 234= 1 830.答案 D2.(2021 山東,19)在等差數(shù)列an中,公差 d= 2, a2是a1與a4的等比中項(xiàng)(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) bn = a n n 1,記 Tn = b1 + b2 b3 + b4 + ( 1) bn,求 Tn.解 (1)由題意知(a+ d) 2= a1(a+ 3d),即(a1 + 2) = a1 (a1 + 6),解得a1= 2.所以數(shù)列劉的通項(xiàng)公式為an= 2n.-n (n + 1)由題意知bn= a= n( n+ 1).所以 Tn= 1X 2+ 2X3 3X 4+-+ (

47、1)nnx (n+1).由于 bn +1 bn= 2( n+1),可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn = ( b1 + b2) + ( b3 + b4) + ( bn 1 + bn)=4 + 8 + 12+-+ 2nn2 (4 + 2n)2n (n+2)2 ,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn = Tn 1 + ( bn)(n 1)(n+1)n( n+ 1)2(n+ 1) 22<+匚,n為奇數(shù),所以Tn =n (n+ 2),n為偶數(shù).亠 2變式練習(xí)1.(2021 山東理,19)等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為S,且S , S, S成等比數(shù) 列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4n令bn= ( 1) n_ 1,求數(shù)列b

48、n的前n項(xiàng)和Tn.anNn+ 1解由于S = a1,c2X 1S2 = 2a1 + -2 X 2= 2a1 + 2,c4X 3S4 = 4a1 + -2X 2= 4a1 + 12,由題意得(2a1 + 2) = a1(4a+ 12),解得 a1= 1,所以 an= 2n 1. bn= ( 1)n 1 4nanQn+ 1=(1)n14n(2n 1)_( 2n+ 1)=(1)n1(1 + 1 2n 1 + 2n+ 1 .當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),TC丄".丄I'Tn = 1+鼻2+2 + + I 3丿Q 5丿r 1 + 1 1 + 1 、 bn 3+ 2n 1 丿門1 十 2n+ 1 丿2n11 2n+ 1= 2n+ 1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn =1+3 3+5)<3丿3 5丿+匚+一1'_ . _ 2n 3+ 2n 1 + 2n 1+ 2n+ 112n + 21 + 2n+ 1 = 2n+ 1.n為奇數(shù),n為偶數(shù).2n + 22n+ 1,所以Tn=c2n+ 1+( 1)2n+ 1.2n+ 1'或Tn =1 *2. (2021 湖南,15)設(shè)S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,( 1)0尹nN,貝U:(1) " ；(2) S