理論力學(xué)5—摩擦

1、5.1 滑動(dòng)摩擦5.2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象5.3 考慮摩擦的平衡問題5.4 滾動(dòng)摩擦第五章 摩 擦摩擦的類別：摩擦的類別：干摩擦固體對(duì)固體的摩擦。流體摩擦流體相鄰層之間由于流速的不同而引起的切向力。滑動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢引起的摩擦。滾動(dòng)摩擦由于物體間相對(duì)滾動(dòng)或有相對(duì)滾動(dòng)趨勢引起的摩擦。 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體具有相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)，彼此間產(chǎn)生的阻礙相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢的力，稱為滑動(dòng)摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對(duì)滑動(dòng)的趨勢或相對(duì)滑動(dòng)的方向相反，它的大小根據(jù)主動(dòng)力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動(dòng)摩擦力，最大靜滑動(dòng)摩擦力和動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。若僅有滑動(dòng)趨勢而沒有

2、滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動(dòng)摩擦力；若存在相對(duì)滑動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的摩擦力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。5.1 滑動(dòng)摩擦在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，該物體在重力P和法向反力FN的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。今在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，當(dāng)拉力F由零值逐漸增加但不很大時(shí)，物體仍保持靜止。可見支承面對(duì)物體除法向約束反力FN外，還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向力，此力即靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱靜摩擦力，常以FS表示，方向向左，如圖。5.1.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFNPFSF靜摩擦力的大小隨水平力F的增大而增大，這是靜摩擦力和一般約束反力共同的性質(zhì)。靜摩擦力又與一般約束反力不同，它并不隨力F的

3、增大而無限度地增大。當(dāng)力F的大小達(dá)到一定數(shù)值時(shí)，物塊處于將要滑動(dòng)、但尚未開始滑動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)，只要力F再增大一點(diǎn)，物塊即開始滑動(dòng)。當(dāng)物塊處于平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大值，即為最大靜滑動(dòng)摩擦力，簡稱最大靜摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再繼續(xù)增大，但靜摩擦力不能再隨之增大，物體將失去平衡而滑動(dòng)。這就是靜摩擦力的特點(diǎn)；5.1.1 靜滑動(dòng)摩擦力及最大靜滑動(dòng)摩擦力FNPFSF0:0 xSSFFFFFmax0sFF綜上所述可知，靜摩擦力的大小隨主動(dòng)力的情況而改變，但介于零與最大值之間，即 由實(shí)驗(yàn)證明：最大靜滑動(dòng)摩擦力的大小與兩物體間的法向反力的大小成正比，即：maxsNFf F這就是靜滑

4、動(dòng)摩擦定律。式中fs稱為靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)。靜摩擦定律（庫侖摩擦定律）靜摩擦系數(shù)的大小需由實(shí)驗(yàn)測定。它與接觸物體的材料和表面情況(如粗糙度、溫度和濕度等)有關(guān)，而與接觸面積的大小無關(guān)。5.1.2 動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)滑動(dòng)摩擦力已達(dá)到最大值時(shí)，若主動(dòng)力F再繼續(xù)加大，接觸面之間將出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)。此時(shí)，接觸物體之間仍作用有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡稱動(dòng)摩擦力，以Fd表示。實(shí)驗(yàn)表明：動(dòng)摩擦力的大小與接觸體間的正壓力成正比，即dNFf F式中f是動(dòng)摩擦系數(shù)，它與接觸物體的材料和表面情況有關(guān)。動(dòng)摩擦力與靜摩擦力不同，沒有變化范圍。一般情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，即 f fs。5.1.2

5、動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律 實(shí)際上動(dòng)摩擦系數(shù)還與接觸物體間相對(duì)滑動(dòng)的速度大小有關(guān)。對(duì)于不同材料的物體，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)的速度變化規(guī)律也不同。多數(shù)情況下，動(dòng)摩擦系數(shù)隨相對(duì)滑動(dòng)速度的增大而稍減小，但當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)速度不大時(shí)，動(dòng)摩擦系數(shù)可近似地認(rèn)為是個(gè)常數(shù)。5.2.1 摩擦角 當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對(duì)平衡物體的反力包含法向反力FN和切向摩擦力Fs ,這兩個(gè)力的合力稱為支承面的全約束反力，即FR= FN + Fs ，它與支承面間的夾角j將隨主動(dòng)力的變化而變化，當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，j角達(dá)到一最大值jf。全約束力與法線間的夾角的最大值j f稱為摩擦角。5.2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象FNFsFRjFNFmaxFRjjf由圖

6、可知，角jf與靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)f的關(guān)系為：maxsNfsNNtanFf FfFFj5.2.1 摩擦角即：摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)?？梢?，摩擦角與摩擦系數(shù)一樣，都是表示材料的表面性質(zhì)的量。當(dāng)物塊的滑動(dòng)趨勢方向改變時(shí)，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，F(xiàn)R的作用線將畫出一個(gè)以接觸點(diǎn)A為頂點(diǎn)的錐面，稱為摩擦錐。設(shè)物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個(gè)頂角為2jf的圓錐。FNFmaxFRjjf 5.2.2 自鎖現(xiàn)象物塊平衡時(shí)，靜摩擦力不一定達(dá)到最大值，可在零與最大值Fmax之間變化，所以全約束反力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦

7、力不可能超過最大值，因此全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束反力必在摩擦角之內(nèi)。f0jjFNFmaxFRjjfqjfjfjfFRFRAAj (1)如果作用于物塊的全部主動(dòng)力的合力FR的作用線在摩擦角jf之內(nèi)，則無論這個(gè)力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因?yàn)樵谶@種情況下，主動(dòng)力的合力FR與法線間的夾角q jf，因此， FR和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q j j f，而j j f ，支承面的全約束反力FRA和主動(dòng)力的合力FR不能滿足二力平衡條件。應(yīng)用這個(gè)道理，可以設(shè)法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖

8、條件。因?yàn)槁菁y可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當(dāng)于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當(dāng)物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jf。因此螺紋的自鎖條件是faj5.2.2 自鎖現(xiàn)象5.3 考慮摩擦的平衡問題考慮摩擦?xí)r，求解物體平衡問題的步驟與前幾章所述大致相同，但有如下的幾個(gè)特點(diǎn)：(1)分析物體受力時(shí)，必須考慮接觸面間切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的數(shù)目；(2)為確定這些新增加的未知量，還需列出補(bǔ)充方程，即Fs fsFN，補(bǔ)充方程的數(shù)目與摩擦力的數(shù)目相同；(3)由于物體平衡時(shí)摩擦力有一定的范圍(即0FsfsFN)，所以有摩擦?xí)r平衡問

9、題的解亦有一定的范圍，而不是一個(gè)確定的值。工程中有不少問題只需要分析平衡的臨界狀態(tài)，這時(shí)靜摩擦力等于其最大值，補(bǔ)充方程只取等號(hào)。有時(shí)為了計(jì)算方便，也先在臨界狀態(tài)下計(jì)算，求得結(jié)果后再分析、討論其解的平衡范圍。P129思考題5-7:分析后輪驅(qū)動(dòng)的汽車前、后輪摩擦力的方向。前輪后輪F1N1F2N2MAA aPQ 解解1：（解析法）：（解析法） 以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下以物塊為研究對(duì)象，當(dāng)物塊處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。圖坐標(biāo)。minQP1Nmax1Fxy0sincos:0max1minaaPFQX0cossin:01minaaP

10、NQY1max1fNF例例1 將重為將重為P的物塊放在斜面上，斜面傾的物塊放在斜面上，斜面傾角角 大于接觸面的摩擦角大于接觸面的摩擦角 （如圖），（如圖），已知靜摩擦系數(shù)為已知靜摩擦系數(shù)為 f ，若加一水平力，若加一水平力 使使物塊平衡，求力物塊平衡，求力 的范圍。的范圍。amjQQ聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQaaaasincoscossinminPxymaxQmax2F2N 當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，當(dāng)物塊處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。0sincos:0max2maxaaPFQX0cossin:02maxaaPNQY2max2fN

11、F聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：PffQaaaasincoscossinmax故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：QPffQPffaaaaaaaasincoscossinsincoscossinminQP1RmjminQ1RPmjaPmaxQmj2R2RmaxQPmja 解解2：（幾何法）：（幾何法） 當(dāng)物體處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀當(dāng)物體處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。由力三角形可得：由力三角形可得：)(minmPtgQja 當(dāng)物體處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀當(dāng)物體處于向上滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，可得力三角形如圖。態(tài)時(shí)，受力如圖，

12、可得力三角形如圖。由力三角形可得：由力三角形可得：)(maxmPtgQja故力故力 應(yīng)滿足的條件為：應(yīng)滿足的條件為：Q)()(mmPtgQPtgjaja將上式展開亦可得同上結(jié)果。將上式展開亦可得同上結(jié)果。aPABa例例2 梯子梯子AB長為長為2a，重為，重為P，其一端置于水，其一端置于水平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設(shè)梯平面上，另一端靠在鉛垂墻上，如圖。設(shè)梯子與地和墻的靜摩擦系數(shù)均為子與地和墻的靜摩擦系數(shù)均為 ，問梯子與，問梯子與水平線的夾角水平線的夾角 多大時(shí)，梯子能處于平衡？多大時(shí)，梯子能處于平衡？fPABANBNAFBFxymina解解1：（解析法）以梯子為研究對(duì)象，當(dāng)梯：（解析法）

13、以梯子為研究對(duì)象，當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，此時(shí)如圖，此時(shí) 角取最小值角取最小值 。建立如圖坐。建立如圖坐標(biāo)。標(biāo)。amina0:0ABFNX（1）0:0PFNYBA（2）:0)(FmA0sin2cos2cosminminminaaaaNaFPaBB（3）由摩擦定律：由摩擦定律：AAfNF （4）BBfNF （5）將式（將式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：ABfNN BAfNPN即可解出：即可解出：21fPNA21ffPNBPABANBNAFBFxymina故故 應(yīng)滿足的條件是：應(yīng)滿足的條件是：amja222此

14、條件即為梯子的自鎖條件。此條件即為梯子的自鎖條件。將將 代入（代入（2）求出）求出 ，將，將 和和 代入（代入（3），得：），得：ANBFBFBN0sin2coscosminmin2minaaaff將將 代入上式，解出：代入上式，解出：mtgfj)2(22122minmmmmtgctgtgtgtgjjjja解解2：（幾何法）：（幾何法） 當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡當(dāng)梯子處于向下滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)，受力如圖，顯然狀態(tài)時(shí)，受力如圖，顯然 ，于是于是BARRPABminaCmjmjARBREmmmACECAEjjja2222min故故 應(yīng)滿足的條件是：應(yīng)滿足的條件是：amja222例例3 在用鉸

15、鏈在用鉸鏈 O 固定的木板固定的木板 AO和和 BO間放一重間放一重 W的勻質(zhì)圓柱的勻質(zhì)圓柱, 并用大并用大小等于小等于P的兩個(gè)水平力的兩個(gè)水平力P1與與 P2維持維持平衡平衡,如圖所示。設(shè)圓柱與木板間如圖所示。設(shè)圓柱與木板間的摩擦系數(shù)為的摩擦系數(shù)為 f , 不計(jì)鉸鏈中的摩不計(jì)鉸鏈中的摩擦力以及木板的重量擦力以及木板的重量,求平衡時(shí)求平衡時(shí)P的的范圍。范圍。2dP1P2ABCDWO2q ( 分析：分析：P小，下滑；小，下滑； P大，上滑大，上滑)F=fN (2) F1F2CDWON1N2設(shè)圓柱處于下滑臨界狀態(tài)設(shè)圓柱處于下滑臨界狀態(tài),畫受力圖畫受力圖.由對(duì)稱性得由對(duì)稱性得:N1 = N2 = N

16、F1 = F2 = F Fy = 0聯(lián)立聯(lián)立(1)和和(2)式得式得:qqcosfsin2WN2Fcos + 2Nsin - W=0 (1) qq 取取OA板為研究對(duì)象畫受力圖，此時(shí)的水平力板為研究對(duì)象畫受力圖，此時(shí)的水平力有極小值有極小值PminqqctgdPctgrNmin1qqcosfsind2WrPmin(2)求求P的極大值的極大值當(dāng)當(dāng)P達(dá)到極大值時(shí)達(dá)到極大值時(shí),圓柱處于上滑臨界狀態(tài)圓柱處于上滑臨界狀態(tài).只要改變受力圖只要改變受力圖中摩擦力的指向和改變中摩擦力的指向和改變 F 前的符號(hào)即可前的符號(hào)即可.P1N1 ACOF1 q qFxFyOim (F) = 0F1F2CDWON1N2P

17、1N1 ACOF1 q qqqcosfsin2WN mO(Fi) = 0qqctgdPctgrNmin1max用摩擦角用摩擦角j j表示得表示得:qqcosfsind2WrPmaxqqqqcosfsind2WrPcosfsind2WrjqjjqjsindcosWrPsindcosWr 當(dāng)角當(dāng)角j j等于或大于等于或大于q q時(shí)時(shí),無論無論P(yáng)多大多大,圓柱不會(huì)向上滑圓柱不會(huì)向上滑動(dòng)而產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象動(dòng)而產(chǎn)生自鎖現(xiàn)象.例重例重W的方塊放在水平面上，并有一水平力的方塊放在水平面上，并有一水平力P作用。設(shè)方塊底作用。設(shè)方塊底面的長度為面的長度為b, P與底面的距離為與底面的距離為a，接觸面間的摩擦系數(shù)為，

18、接觸面間的摩擦系數(shù)為f ，問，問當(dāng)當(dāng)P逐漸增大時(shí)，方塊先行滑動(dòng)還是先行翻倒？逐漸增大時(shí)，方塊先行滑動(dòng)還是先行翻倒？WPabWPACaFNFmax解：解：1 假定方塊處于滑動(dòng)臨界平衡狀態(tài)假定方塊處于滑動(dòng)臨界平衡狀態(tài)Fy = 0N - W = 0Fx = 0P - Fm = 0即 P = Fm=f N = f WFmax= f FN2 假定方塊處于翻倒臨界平衡狀態(tài)假定方塊處于翻倒臨界平衡狀態(tài),畫受力圖。畫受力圖。WPabNFA MA(Fi) = 00Pa2bWa2WbP 3 討論討論:比較比較 Wb/2a 與與 f W 可知可知(1)如果如果 f W Wb/2a ,即即 f b/2a , 則方塊先

19、翻倒。則方塊先翻倒。 （Wb/2a為將要翻倒時(shí)所需為將要翻倒時(shí)所需P力）力） （ W為為將要滑動(dòng)時(shí)所需將要滑動(dòng)時(shí)所需P力力. ）(2)如果如果 f W Wb/2a ,即即 f b/2a , 則方塊先滑動(dòng)則方塊先滑動(dòng).(3)如果如果 f W = Wb/2a ,即即 f = b/2a , 則滑動(dòng)與翻倒則滑動(dòng)與翻倒將同時(shí)發(fā)生將同時(shí)發(fā)生.lDBADOA例例5 均質(zhì)三角板均質(zhì)三角板OAB的重量為的重量為W1，均，均質(zhì)圓輪質(zhì)圓輪C的重量為的重量為W2，圓輪的外半徑，圓輪的外半徑為為R，內(nèi)半徑為，內(nèi)半徑為r，且，且R2r，D、E處處靜摩擦系數(shù)都為靜摩擦系數(shù)都為f，若水平拉力，若水平拉力Q作用作用于于H處，處

20、， , ,試求系統(tǒng)試求系統(tǒng)能保持平衡能保持平衡Q的最大值（不計(jì)滾動(dòng)摩的最大值（不計(jì)滾動(dòng)摩阻）。阻）。 0Em解解 該題若先判斷出該題若先判斷出D、E兩處接觸面兩處接觸面滑動(dòng)趨勢，再畫出這兩個(gè)接觸處摩擦力的滑動(dòng)趨勢，再畫出這兩個(gè)接觸處摩擦力的方向，存在一定困難，但若應(yīng)用平衡方程方向，存在一定困難，但若應(yīng)用平衡方程作定性受力分析，則可正確確定兩接觸處作定性受力分析，則可正確確定兩接觸處摩擦力方向。摩擦力方向?？纱_定可確定D、E處摩擦力方向均自右向左處摩擦力方向均自右向左，圓輪的受力圖如圖，圓輪的受力圖如圖: :0)(21rRQRFQF4110Dm0)(22rRQRFQF432 0yF0212WNN

21、212WNN 0Dm 0Em本題的解題步驟為本題的解題步驟為1以圓輪為研究對(duì)象，由以圓輪為研究對(duì)象，由Q2以三角塊為研究對(duì)象，其受力圖為圖以三角塊為研究對(duì)象，其受力圖為圖（c） 00m032111lNlFlW11132WFN3假設(shè)假設(shè)D D處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下)32(1111WFffNF)1(max1141)1 (32QWffF求得求得：1)1 (max)1 ( 38WffQ，所以無法確定所以無法確定D、E 處哪處先滑動(dòng)。處哪處先滑動(dòng)。 21FF21NN4假設(shè)假設(shè)E處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下處先達(dá)到臨界狀態(tài)，則在臨界狀態(tài)下)4132()32(2

22、)2(max121122WQWfWFWffNF)3(3)32(421)2(maxfWWfQ求得求得：)2(max)1(maxmax,minQQQ5系統(tǒng)能保持平衡的最大為系統(tǒng)能保持平衡的最大為這說明，對(duì)系統(tǒng)中多處存在摩擦的平衡問題，當(dāng)系統(tǒng)的這說明，對(duì)系統(tǒng)中多處存在摩擦的平衡問題，當(dāng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)破壞時(shí)，各處摩擦力一般不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大值。平衡狀態(tài)破壞時(shí)，各處摩擦力一般不會(huì)同時(shí)達(dá)到最大值。此題平衡狀態(tài)破壞時(shí)圓盤處于滾動(dòng)狀態(tài)。此題平衡狀態(tài)破壞時(shí)圓盤處于滾動(dòng)狀態(tài)。5-4 滾動(dòng)摩擦滾動(dòng)摩擦(1) (1) 滾阻力偶和滾阻力偶矩滾阻力偶和滾阻力偶矩QPcrA設(shè)一半徑為設(shè)一半徑為r的滾子靜止地放在水的滾子靜止地

23、放在水平面上，滾子重為平面上，滾子重為P。在滾子的中。在滾子的中心作用一較小的水平力心作用一較小的水平力Q。取滾子為研究對(duì)象畫受力圖。取滾子為研究對(duì)象畫受力圖。Fx = 0 Q - F = 0Fy = 0 N - P = 0mA(Fi) = 0 m - Qr = 0m = Q rQPcrANFm(2) (2) 產(chǎn)生滾阻力偶的原因產(chǎn)生滾阻力偶的原因AoQPNFRAoQPB 滾子與支承面實(shí)際上滾子與支承面實(shí)際上不是剛體不是剛體, ,在壓力作用下在壓力作用下它們都會(huì)發(fā)生微小變形。它們都會(huì)發(fā)生微小變形。 設(shè)反作用力的合力為設(shè)反作用力的合力為R并作用于并作用于B點(diǎn)點(diǎn), ,滾子在力滾子在力P , , Q與與R作用下處于平衡狀態(tài)。作用下處于平衡狀態(tài)。 將力將力 R 沿水平與豎直兩個(gè)方向分解沿水平與豎直兩個(gè)方向分解, ,則水平分力即為摩擦力則水平分力即為摩擦力F，豎直分力即豎直分力即為法向反力為法向反力N。由于物體變形力由于物體變形力N向前偏移一微小距離向前偏移一微小距離e。eAoQPNFmAoQPFN將力將力F與與N向向A點(diǎn)簡化，得到作用于點(diǎn)簡化，得到作