數(shù)理方程期末試題07082B答案

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我0c1 1北京交通大學(xué)2007-2008 學(xué)年第二學(xué)期數(shù)理方程與特殊函數(shù)期末考試試卷（B）/（參考答案）學(xué)院_ 專(zhuān)業(yè)_班級(jí)_學(xué)號(hào)_姓名_題號(hào)-一-二二三四五六七八總分得分閱卷人一、 計(jì)算題（共 8080 分，每題 1616 分）1 1.求下列定解問(wèn)題（1515 分）2 2u2u虧a2A, 0 xt2x2l,t0,u |x 0M1,ux lM2,u |t 00,|t 00.t2 2.用積分變換法及性質(zhì)，求解半無(wú)界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題：(1515 分)2門(mén)utta uxx,0 x,t0,u(x,0)0, ut(x,0)0,u(0,t)(t), lim u(x,t)x0.

2、3 3.設(shè)弦的兩端固定于x 0及x l，弦的出示位移如下圖所示。初速度為零，又沒(méi)有外力 作用。求弦做橫向振動(dòng)時(shí)的位移u（x,t）。u(x,0)u(x,0)百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我2 2解問(wèn)題的定解條件是u(x,t)(CnCOStDnsin罕t)sinx由初始條件可得Dn4 4.Cnih0c2hl2c(l c)n20,xsin * xdx在(x l)sinxdx證明在變換x x at,at, x x atat 下,波動(dòng)方程Utta2uxx具有形式解un0,并由此求出波動(dòng)方程的通解。5 5.用分離變量法解下列定解問(wèn)題2uu |x 0U |t 022Ua2x0,u |xI0 計(jì)sin2rxs

3、i提示：1 1）可以直接給出問(wèn)題的固有函數(shù),不必推導(dǎo);2 2）利用參數(shù)變易法。解對(duì)應(yīng)齊次方程的定解問(wèn)題的固有函數(shù)是sin牛x，其解可以表示成u(x,t)vn(t )sin 牛 x1把原問(wèn)題中非齊次項(xiàng)f（x,t） sin xs in2at按照固有函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)因此有n 1f(x,t)sin 2- xsin牛tfn(t)si nxfn(t)2 asinjt,n 2;0, n 1,3,4,.利用參數(shù)變易法，有百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我3 3tV2(x,t)魯sin罕sin(t )d /(/si n罕t tcost)Vn(x,t)0,n1,3,4,5,.u(x,t)著(占sin牛t tcos牛t

4、)sin-x6 6. 用 BesselBessel 函數(shù)法求解下面定解問(wèn)題于是2uu |r R22/ Ua (2r0,U |r 0u |t 0r21 ,RtIt解用分離變量法求解。令u( ,t) R()T(t)，則可得以及(I)T (t)T(0)a22T(t) 02R()(II )R()R(,R(0)2 2R( ) 0設(shè)n n 0為 BesselBessel 函數(shù)Jo(x)的正零點(diǎn),則問(wèn)題(IIII)的特征值和特征函數(shù)分別為問(wèn)題(I I)的解為于是原問(wèn)題的解是由初始條件得到Rn(Tn(t)u( ,t)()20J。(記)anCnCOSRn( )Tn(t)CnJ0(十)COsftu( ,0)(1)

5、dJ2(n)8nJ1(n)百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我4 4由于n是J(x)的零點(diǎn)，也即J(n)0,而且又有百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我5 5u( ,t)Rn( )Tn(t)證明題(共 2 2 分，每題 1010 分)7 7.證明平面上的 GreenGreen 公式(弓-(Qcos Pcos )dsDC再設(shè) u,vu,v 在 D D 內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在D+CD+C 上有-階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令Qu,Pu氣得到u vdu vX XDDu(vcosv7cos)ds u 十 dsCC交換 u,vu,v，得到v udDu v(X XDu v Jy y)duV(二COSuycos )dsvTdsC C上面第二式減去第一式，得到(v u u v)d(v-uV)dsDC證畢。J Jo(x)(x) J J2(X)(X)4 4 J Ji(x)(x)故于是最后得到原問(wèn)題的解是J2(n)_2_J1(n)n4J2(n)J2(n)a)COS 屮(v(v2u u u uD2v)dv)d(Vn(Vn u u -rr)ds-rr)dsC其中 C C 是區(qū)域 D D的邊界曲線,dsds 是弧長(zhǎng)微分。證明為 coscos設(shè) p(x,p(x, y),y), Q(x,Q(x, y)y)在 D+CD+C 上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), coscos ，則有n n 為 C C 的外法線方向,其方向余弦百度文庫(kù)-讓每個(gè)人