【教學(xué)論文】淺談數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式

1、淺談數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的，從數(shù)學(xué)內(nèi)容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數(shù)學(xué)的方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學(xué)意義上看，有對(duì)稱之美、和諧之美、奇異之美等。（一）語言美數(shù)學(xué)有著自身特有的語言 數(shù)學(xué)語言，其中包括：1 數(shù)的語言 符號(hào)語言關(guān)于"n;九章算術(shù)如斯說：割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣 ”面對(duì)“，這一差點(diǎn)被無理的行為淹沒的無理數(shù)，我們一直難以忘懷那位因發(fā)現(xiàn) “邊長為 1 的正方形，其對(duì)角線長不能表示成整數(shù)之比 ”這一 “數(shù)學(xué)悖論 ”而被拋進(jìn)大海的希帕索斯（公元前五世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成

2、員）。還有 sin?、"等等, 一個(gè)又一個(gè)數(shù)的語言，無不將數(shù)的完美與精致表現(xiàn)得淋漓 盡致。2 形的語言 視角語言從形的角度來看 對(duì)稱性（ “中心對(duì)稱 ” 、 “軸對(duì)稱 ”演繹了多少遙相呼應(yīng)的纏綿故事）；比例性（美麗的 “黃金分割法 ”分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和諧性（如對(duì)數(shù)中：對(duì)數(shù)記號(hào)、底數(shù)以及真數(shù)三者之間的關(guān)聯(lián)與配套實(shí)際上是一種怎樣的經(jīng)典的優(yōu)化組合！）；鮮明性（ “最大值 ” 、“最小值 ”讓我們聯(lián)想起“ 山的偉岸 ”與 “水的溫柔 ” ，并深切地感悟到：有山有水的地方，為何總是人杰地靈的內(nèi)在神韻）和新穎性（一個(gè)接一個(gè)數(shù)學(xué) 悖論”的出現(xiàn)，保持 了數(shù)學(xué)乃至所有自然科學(xué)的新鮮與活

3、力）等等。（二）簡潔美愛因期坦說過： “美，本質(zhì)上終究是簡單性。 ”他還認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡單性的美學(xué)準(zhǔn)則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱得上至美。歐拉給出的公式：V E + F = 2 ,堪稱簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F,都必須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡單的公式，概括了無數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？！在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2兀R勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方+=。正弦定理：AABC的外接圓半徑R,

4、則數(shù)學(xué)的這種簡潔美，用幾個(gè)定理是不足以說清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進(jìn)步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過： “數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著 ” 。龐加萊指出： “在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱，是它們的巧妙、平衡” 。（四）、和諧美美是和諧的和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性沒有那門學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰的闡明自然界的和諧性。 Carus,Paul數(shù)論大師賽爾伯格曾經(jīng)說，他喜歡數(shù)學(xué)的一個(gè)動(dòng)機(jī)是以下的公式：，這個(gè)公式實(shí)在美極了，奇數(shù) 1、3、5、這樣的組合可以給出，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)家

5、來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風(fēng)景。歐拉公式：，曾獲得 “最美的數(shù)學(xué)定理”稱號(hào)。歐拉建立了在他那個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個(gè)常數(shù)之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，包容得如此協(xié)調(diào)、有序。與歐拉公式有關(guān)的棣美弗歐拉公式是?D?D （1） o這個(gè)公式把人們以為沒有什么共同性的兩大類函數(shù)? D? D 三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)緊密地結(jié)合起來了。對(duì)他們的結(jié)合，人們始則驚詫，繼而贊嘆? D? D 確是“天作之合 ” 。和諧的美，在數(shù)學(xué)中多得不可勝數(shù)。如著名的黃金分割比，即0 .61803398。在正五邊形中，邊長與對(duì)角線長的比是黃金分割比。建筑物的窗口，寬與高度的比一般為；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點(diǎn)，人的肘關(guān)節(jié)是手

6、臂的黃金分割點(diǎn)，肚臍是人身高的黃金分割點(diǎn)；當(dāng)氣溫為 23 攝氏度時(shí)，人感到最舒服，此時(shí)23:37 （體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的 0.618 處，弦樂器的聲碼放在琴弦的 0.618處，會(huì)使聲音更甜美。建筑設(shè)計(jì)的精巧、人體科學(xué)的奧秘、美術(shù)作品的高雅風(fēng)格，音樂作品的優(yōu)美節(jié)奏，交融于數(shù)的對(duì)稱美與和諧美之中。黃金分割比在許多藝術(shù)作品中、在建筑設(shè)計(jì)中都有廣泛的應(yīng)用。達(dá) 芬奇稱黃金分割比為神圣比例”.他認(rèn)為 美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上 ” 。與有關(guān)的問題還有許多， “黃金分割 ” 、 “神圣比例” 的美稱，她受之無愧。（四）奇異美全世界有很大影響的兩份雜志曾聯(lián)合邀請(qǐng)全世界

7、的數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)選 “近 50 年的最佳數(shù)學(xué)問題” ，其中有一道相當(dāng)簡單的問題：有哪些分?jǐn)?shù)，不合理地把b 約去得到，結(jié)果卻是對(duì)的？經(jīng)過一種簡單計(jì)算，可以找到四個(gè)分?jǐn)?shù)：。這個(gè)問題涉及到 “運(yùn)算謬誤，結(jié)果正確 ”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現(xiàn)一種奇異美嗎。還有一些 “歪打正著等式” ，比如人造衛(wèi)星、行星、彗星等由于運(yùn)動(dòng)的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點(diǎn)距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)e V 1時(shí)，形成的是橢圓.當(dāng)e > 1時(shí)，形成的是 雙曲線.當(dāng)e = l時(shí)，形成的是拋物線.常數(shù)e由0.999變?yōu)?、變?yōu)?.001,相差很小，形

8、成 的卻是形狀、性質(zhì)完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。橢圓與正弦曲線會(huì)有什么聯(lián)系嗎？做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，把厚紙卷幾次，做成一個(gè)圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。（五）對(duì)稱美在古代 “對(duì)稱 ”一詞的含義是 “和諧 ” 、 “美觀 ”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱圓形 ? D? D 圓心是它的對(duì)稱中心，圓也是軸對(duì)稱圖形 ? D? D 任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸。梯形的面積公式：S =,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

9、，其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a -1是首項(xiàng)，an是第n項(xiàng)，這兩個(gè)等式中，a與a1是對(duì)稱的，b與a是對(duì)稱的。 h 與 n 是對(duì)稱的。對(duì)稱美的形式很多，對(duì)稱的這種美也不只是數(shù)學(xué)家獨(dú)自欣賞的，人們對(duì)于對(duì)稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對(duì)數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對(duì)稱的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱不守恒定律。從中我們體會(huì)到了對(duì)稱的美與成功。（六）創(chuàng)新美歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5 ：“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行” 和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角” ，這些似乎是天經(jīng)地義的絕對(duì)真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5 的

10、結(jié)論： “過直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行” ，在這種幾何里，“三角形內(nèi)角和小于二直角” ，從而創(chuàng)造了羅氏幾何。黎曼幾何學(xué)沒有平行線。這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無飄渺的，當(dāng)我們進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測量時(shí)，用羅氏幾何學(xué)是很方便的，原子物理、狹義相對(duì)論中也有應(yīng)用；而愛因斯坦建立的廣義相對(duì)論中，較多地利用了黎曼幾何這個(gè)工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計(jì)算上的困難。每一個(gè)理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個(gè)奇思妙想、每一個(gè)似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們?cè)俅竽懺O(shè)想一下，是不是還存在一個(gè)能包容歐氏幾何和

11、非歐幾何的更廣泛的幾何學(xué)呢？事實(shí)上，通過高斯曲率可以將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內(nèi)在幾何學(xué)中，還可以通過克萊因幾何學(xué)與變換群的觀點(diǎn)將三種幾何統(tǒng)一起來。在不斷創(chuàng)新的過程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展。（七）統(tǒng)一美數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。英國數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了 15 年，沒能獲得成功。后來，他 “被迫作出妥協(xié)” ，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1，a2，a3，a4為實(shí)數(shù)）的數(shù)，其中i、j、k如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。若 a3

12、=&=0,則四元數(shù)aI+a2i+a3j+a4k是一般的復(fù)數(shù)。四元數(shù)的研究推動(dòng)了線性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性代數(shù)理論。物理學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過程。統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說的： “追求更有力的工具和更簡單的方法”。愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡潔的表達(dá)式E=mc2 揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。但他還是沒有完成統(tǒng)一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，宇宙沒有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠(yuǎn)的追求。（八）類比美解析幾何中的代數(shù)語言具有意想不到的作用，因?yàn)樗恍枰獜膸?/p>

13、何考慮也行?？紤]方程我們知道，它是一個(gè)圓。圓的完美形狀，對(duì)稱性，無終點(diǎn)等都存在在哪里呢？在方程之中！例如，與對(duì)稱，等等。代數(shù)取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個(gè)代數(shù)方程的性質(zhì)中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質(zhì)。這個(gè)事實(shí)使得數(shù)學(xué)家們通過幾何圖形的代數(shù)表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們?yōu)槭裁床荒芸紤]下述方程呢？以及形如的方程呢？這是一個(gè)偉大的進(jìn)步。僅僅靠類比，就從三維空間進(jìn)入高維空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實(shí)世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情?。∮盟未軐W(xué)家程顥的詩句可以準(zhǔn)確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風(fēng)云變態(tài)中。（九）抽象美、自由美從初等數(shù)學(xué)的基本概念到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各種

14、原理都具有普遍的抽象性與一般性。正如開普勒所說的：“對(duì)于外部世界進(jìn)行研究的主要目的，在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語言透露給我們的” 。數(shù)學(xué)的第一特征在于她具有抽象思維的能力，在數(shù)學(xué)中所處理的是抽象的量，是脫離了具體事物內(nèi)容的用符號(hào)表示的量。它可以成為任何一個(gè)具體數(shù)的代數(shù)，但它又不等于任何具體數(shù)。比如“N表示自然數(shù)，它不是N個(gè)崗位，N只雞或N張照片也不是哪一個(gè)具體的數(shù)，分不清是0?是1?或者說100? 知道”中蘊(yùn)含著 不知道"，具體“中充滿了 “不具體” ，它就是這樣一個(gè)抽象的數(shù)！達(dá) 芬奇是15至16世紀(jì)的一位藝術(shù)大師和科學(xué)巨匠。他用一句話概括了他的藝術(shù)專論的

15、思想： “欣賞我的作品的人，沒有一個(gè)不是數(shù)學(xué)家”歷史上不少著名人物都迷戀音樂，大數(shù)學(xué)家克蘭納克就是一例。一位數(shù)學(xué)王子何以如此迷戀音樂？原因也許是多方面的，依我看，最重要的一點(diǎn)就是數(shù)學(xué)和音樂均為一種抽象語言，它們都充滿了抽象美、自由美。而且，數(shù)學(xué)和音樂還是兩個(gè)人造的金碧輝煌的世界，前者僅用十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和若干符號(hào)便造出了一個(gè)無限的、絕對(duì)真的世界，后者僅用五條線和一些蝌蚪狀的音符就造出了一個(gè)無限的、絕對(duì)美的世界。如果說，音樂是人類感情活動(dòng)最優(yōu)美的表現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)便是人類理性活動(dòng)最驚人的產(chǎn)品。（十）辯證美熟悉數(shù)學(xué)的人都體會(huì)到在數(shù)學(xué)中充滿著辯證法。如果說各門科學(xué)都包含著豐富的辯證思想，那么，數(shù)學(xué)則有自己

16、特殊的表現(xiàn)方式，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言以及簡明的數(shù)學(xué)公式能明確地表達(dá)出各種辯證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。例如：初等數(shù)學(xué)中：點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)；曲線與方程之間的關(guān)系；概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)所揭示出的事物的必然性與偶然性的內(nèi)在聯(lián)系等。以及高三數(shù)學(xué)里所涉及的：極限概念，特別是現(xiàn)代的極限語言，很好地體現(xiàn)了有限與無限，近似和精確的辯證關(guān)系；牛頓 萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運(yùn)算方式之間的聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化等等。這類事例在數(shù)學(xué)中比比皆是。當(dāng)然，要真正掌握好 “數(shù)學(xué)美 ” ，僅僅知道一些數(shù)學(xué)知識(shí)還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還必須善于發(fā)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)運(yùn)算之間的關(guān)系，建立和運(yùn)用它們之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。唯其如此，才能發(fā)揮出蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)中的辯證思維的

17、力量。數(shù)學(xué)中許多計(jì)算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關(guān)系并對(duì)他們進(jìn)行過適宜的轉(zhuǎn)化而成的。掌握了 “兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實(shí)，全部數(shù)學(xué)無處不在貫徹 “兩優(yōu)擇其重，兩劣擇其輕”這一原則。數(shù)學(xué)無處不體現(xiàn)著辯證法，數(shù)學(xué)家們無時(shí)不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授 80 年代在北大講學(xué)時(shí)說： “人們常說，三角形內(nèi)角和等于180°,但是，這是不對(duì)的！ ”說三角形內(nèi)角和為 180° 不對(duì)，不是說這個(gè)事實(shí)不對(duì)，而是說這種看問題的方法不對(duì)。應(yīng)該說三角形外角和是360° ！把眼光盯住內(nèi)角，只能看到：三角形內(nèi)角和是180° ；四邊形內(nèi)角和是360° ；五邊形內(nèi)角和是540°n邊形內(nèi)角和是（n-2） *180°,雖然找到了一個(gè)計(jì)算內(nèi)角和的公式，但公式里包含邊數(shù)no如果看外角呢？三角形外角和是360° ，四邊形外角和是360° ，五邊形外角和是360°,，n邊形外角和是360°。這就把多種情況用一個(gè)十分簡單的結(jié)論概括起來了，用一個(gè)與 n 無關(guān)的常數(shù)代替了與 n 有關(guān)的公式，找到了更一般的規(guī)律。 ”其實(shí)，數(shù)學(xué)又何嘗不是美學(xué)？數(shù)學(xué)的力量是無窮的，數(shù)學(xué)美猶如但丁神曲中的詩句，優(yōu)美和諧的樂曲，別