2.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1

1、1.拋物線的定義:我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.你SB謝慟貓獄起拋物線y2=2px的焦點坐標是：會準線方程為：X = V2、拋物線的標準方程:拋物線有許多重要性質(zhì)，我們根據(jù)拋物線的標準方程：= 2pX(/? >0)研究它的一些簡單幾何性質(zhì)1范圍：x>0,y e R2對稱性：關(guān)于x軸對稱，對稱軸又叫拋物線的軸.3 頂點： 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點它的頂點就是坐標原點.4 離心率:拋物線上的點M到焦點的距 離和它到準線的距離之比， 叫做拋物線的離心率.用e表示：e=l5 焦半徑:IPFI=x

2、0+p/2X6 通徑:通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物的通徑。通徑的長度：2Py2 = 2px(p>0)y2 = -2px(p>0)x2 = 2py(p>0)x2 =-2py(p>0)圖形<|7,y7I范圍x>0 jeRx<0 jeRXGR j>0xeR y<0對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱關(guān)于y軸對稱頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)焦半徑三+先2P2焦點弦p+x+旳1 拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它可以無 限延伸，但它沒有漸近線；2 拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心;3

3、拋物線只有一個頂點、一個焦點、一條準線;4 拋物線的離心率是確定的e=l;5 拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.例1已知拋物線關(guān)于兀軸對稱，它的頂點 在坐標原點，并且過點M2,-2邁),求它的標準 方程.解：因為拋物線關(guān)于兀軸對稱，它的頂點在原 點，并且經(jīng)過點M (2,-2血)，所以，可設(shè)它的方程 為y1 = 2pj(p > 0),因為點M在拋犁線上，所以(-2V2)2 =2p2I 1J此,0 = 2所求拋物線的標準方程是:y2 =4x練習：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面是拋物線 的一部分衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸 截面為拋物線的接受天線，經(jīng)反射聚集到焦 點處已知接收天線的口徑（直徑）

4、為4.8m,深 度為05m，求拋物線的標準方程.(1)圖 825例2.斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線b =4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點,求線段A 的長.法一:直接求兩點坐標，計算弦長(運算量一般較大);法二:設(shè)而不求，運用韋達定理，計算弦長(運算量一般);法三：設(shè)而不求數(shù)形結(jié)合活用定義運用韋達定理計算弦長.:純幾何計算.這也是一種較女子的思維AB = 8練習點M與點F(4,0)的距離比它到直線I:x+5=0的距離小1, 求點M的軌跡方程.解：由已知條件可知，點M 與點F的距禽等于它到直線 x+4=0的距*，根據(jù)拋腸線的 走義，點M的軌跡是以A F (4,0) 為怎點的拋腸線p/2=4,/

5、.p=8.久因為*、點盛柚的正半軸, 所以點M的軌跡方程為y2=16x.例3.已知拋物線的方程為y2=4x9直線2過定點P(-2J),斜率為R , k為何值時，直線Z與拋物線j2=4x :只有一個公共點；有兩個公 共點;沒有公共點？分析：用坐標法解決這個問題，只要討論直線 的方程與拋物線的方程組成的方程組的解的情況, 由方程組的解的個數(shù)判斷直線與拋物線的公共點個數(shù).解:依題意直線I的方程為y-l = k(x + 2)-1二加+ 2)® 消去工可得他 2-4y+4(2P+l)=0(I) j2=4x當k二0時，方程(的劇綃直鸚鋼嬲萌吟公共點.當心0時,方程仃)的根的判別式 =-W2 +k

6、 -1)當二o時，氐=一1或*這時，直線I與拋物線只有一個公共點.由>(),即2k2+k-l<0.解得1VEV丄.2于是，當-<k<個解，從而，方程組一 2(且心0 時，方程（I ）有2 ）有兩個解，這時，直線z與拋物線有2個公共點.由A<0,BP2F+k l>0,解得“1或上> 牛于是，當kv ,或心舟 時，方程沒有實數(shù)解， 從而方程組（I ）沒有解，弦時，直線Z與拋物線沒有公共點.綜上口J得：當k = -1,或£ =丄,或£ = 0時有一個公共點；2直線Z與拋物線只牛lvRvO或0<kv如寸，直線 公共點；2占當kv-1,或時，直線IZ與拋物線査兩個你能通過作圖 驗證這些結(jié)論 嗎？ ，>總結(jié):判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序: 把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行計算判別式相交（一個交點）>o A=o A<0相交相切 相離1）過拋物線V2 =8%的焦點，作傾斜角為45 的直線，則被拋物線截得的弦長為_L_；2）設(shè)