知識(shí)要點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系

1、第5講空間直角坐標(biāo)系知識(shí)梳理1.右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：x軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指;已知點(diǎn)的坐標(biāo)P（x,y,z）作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）沿x軸正方向（時(shí)）或負(fù)方向（x 0時(shí)）或負(fù)方向（x 0時(shí)）移動(dòng)|x|個(gè)單位，再沿y軸正方向（y 0時(shí)）移動(dòng)|y|個(gè)單位，最后沿x軸正方向（z 0時(shí)）或負(fù)方向（時(shí)）移動(dòng)|z|個(gè)單位，即可作出點(diǎn) 已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法: 過P作三個(gè)平面分別與 x軸、y軸、z軸垂直于A, B,C，點(diǎn)A, B,C在x軸、y軸、的坐標(biāo)分別是a,b,c，則（a,b, C）就是點(diǎn)p的坐標(biāo)2、在x軸上的點(diǎn)分別可以表示為（a,0,0）,（0,b

2、,0）,（0,0,c），在坐標(biāo)平面xOy， xOz， yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為 （a,b,0）, （a,0,c）, （0,b,c）；3、點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a, b, c）點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,b, c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a, b,c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為（a,b, c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為（a, b,c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于坐標(biāo)平面 yOz的對(duì)稱點(diǎn)為（a,b,c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（a, b, c）。4.已知空間兩點(diǎn)P（Xi,yi,Zi

3、）Q（X2,y2,Z2），則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為xiX2 y1y2 乙Z25. 空間兩點(diǎn)間的距離公式已知空間兩點(diǎn)P(為，知z, )Q(x2, y2, z2),則兩點(diǎn)的距離為 | PQ | J(X1 X2)2 (y1 y2)2 (zi Z2)2特殊地，點(diǎn)A(x, y, z)到原點(diǎn)O的距離為I AO| Jx2 y2 z2 ;5.以C(X0,y0,Z0)為球心，r為半徑的球面方程為(X x。)2 (y y。)2 (z z。)2 r2特殊地，以原點(diǎn)為球心，r為半徑的球面方程為 X2 y2 z2r2重難點(diǎn)突破重點(diǎn)：了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)和使用空間兩點(diǎn)間 的距離公式 難

4、點(diǎn)：借助空間想象和通過與平面直角坐標(biāo)系的類比，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)的對(duì)稱及坐標(biāo)間的關(guān)系 重難點(diǎn)：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置關(guān)系及空間兩點(diǎn)間的距離公式的使用1.借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點(diǎn)的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系問題1 :點(diǎn)P(a,b, C)到y(tǒng)軸的距離為解析借助長方體來思考，以點(diǎn)O, P為長方體對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(a,b,c)到y(tǒng)軸的距離為長方體一條面對(duì)角線的長度，其值為Ja2 C22.將平面直角坐標(biāo)系類比到空間直角坐標(biāo)系問題2:對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,y,z，求y孑 7(x 1)2 (y 2)2(z 1)2的最小解析在空間直角坐標(biāo)系中，Jx2 y2 z27(X 1)2 (y 2)2 (z 1)2

5、表示空間點(diǎn)(x,y,z)到點(diǎn)(0,0,0)的距離與到點(diǎn)(1,2,1)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)(0,0,0)與點(diǎn)(1,2,1)之間的線段長，所以z2J(x1)2(y2)2(z1)2的最小值為3禾U用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類問題(1) 判斷兩條相交直線是否垂直(2) 判斷空間三點(diǎn)是否共線(3) 得到一些簡單的空間軌跡方程考點(diǎn)1：空間直角坐標(biāo)系題型1:認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系(1)在空間直角坐標(biāo)系中,A.y軸上的點(diǎn)垂直于y軸的平面在空間直角坐標(biāo)系中，方程A.熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析y a表示.過y軸的平面.平行于X表示在坐標(biāo)平面xOy中，1, 3象限的平分線經(jīng)過z軸的一個(gè)平面y軸的直線B.平行于z

6、軸的一條直線.平行于z軸的一個(gè)平面【解題思路】認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系，可以類比平面直角坐標(biāo)系，如在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系中，方程X 1表示所有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的集合解析(1) y a表示所有在y軸上的投影是點(diǎn)(0,a,0)的點(diǎn)的集合，所以 y a表示經(jīng)過點(diǎn)(0,a,0)且垂直于y軸的平面(2)方程y x表示在任何一個(gè)垂直于 z軸的一個(gè)平面內(nèi)，1, 3象限的平分線組成的集合【名師指引】(1)類比平面直角坐標(biāo)系，可以幫助我們認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系要從滿足某些特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)特征去思考問題。如:經(jīng)過點(diǎn)(a,0,0)且垂直于X軸的平面上的點(diǎn)都可表示為(a, y,z)題型2：空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對(duì)稱問題例2 點(diǎn)

7、P(a,b,c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，點(diǎn)p關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為P?，則P2的坐標(biāo)為【解題思路】類比平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱關(guān)系，得到空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱關(guān)系解析因點(diǎn)P和P關(guān)于z軸對(duì)稱，所以點(diǎn)P和P的豎坐標(biāo)相同，且在平面xOy的射影關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(a, b,c),又因點(diǎn)R和P2關(guān)于平面xOy對(duì)稱，所以點(diǎn)P2坐標(biāo)為(a，b，c)【名師指引】解決空間點(diǎn)的對(duì)稱問題，一要借助空間想象，二要從它們?cè)谧鴺?biāo)平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點(diǎn) p2為點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),故坐標(biāo)為(a, b, c)【新題導(dǎo)練】1.已知正四棱柱 ABCDAiBiCiDi的頂點(diǎn)

8、坐標(biāo)分別為 A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0),A(0,0,5)，則Ci的坐標(biāo)為解析正四棱柱ABCD AiBiCiDi過點(diǎn)A的三條棱恰好是坐標(biāo)軸,Ci的坐標(biāo)為(2, 2, 5)2 .平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為A( 1,1,3), B(3,2, 3)，對(duì)角線的交點(diǎn)為M (i,0,4)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為解析由已知得線段 AC的中點(diǎn)為M,線段BD的中點(diǎn)也是M,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易得C(3, i,5) , D(i, 2,ii)3.已知 M (4,3,i)，記M到x軸的距離為a , M到y(tǒng)軸的距離為b , M到z軸的距離為c ,則()A. a b ccab D

9、 . b c a解析借助長方體來思考a、b、c分別是三條面對(duì)角線的長度。5，選C考點(diǎn)2:空間兩點(diǎn)間的距離公式題型：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題例3 如圖：已知點(diǎn) A(1,1,0)，對(duì)于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn) P，在Oy軸上是否存在一點(diǎn)B，使得PA AB恒成立？若存在,求出 B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。Z【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明PA2 AB2 PB2解析設(shè) P(0,0,c) B(0,b,0),對(duì)于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn) P ,假設(shè)在Oy軸上存在一點(diǎn)B，使得PAB YP則 PA2 AB2 PB2(0 1)2(0 1)2 (c 0)2 (10)2(1 b)2(0 0)2(0 0

10、)2(0 b)2 (c 0)2即 3 (b 1)2 b2，解得：b 2所以存在這樣的點(diǎn) B，當(dāng)點(diǎn)B為(0,2,0)時(shí)，PA AB恒成立【名師指弓I】在空間直角坐標(biāo)系中，禾U用距離可以證明垂直問題。此外，用距離還可以解 決空間三點(diǎn)共線問題和求簡單的點(diǎn)的軌跡?！拘骂}導(dǎo)練】4.已知 A(x,5x,2 x 1), B(1,x2,2x)，當(dāng)A, B兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，x的值為A.191914解析| AB |V(x 1)2(3 2x)2(3x 3)2Jl4x212x19J14(x ?)2| AB |取得最小值5已知球面(X 1)2 (y2 22) (z 3)9,與點(diǎn)A( 3,2,5)，則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)

11、離的最大值與最小值分別是解析球心 C(1, 2,3), AC6，球面上的點(diǎn)與點(diǎn) A距離的最大值與最小值分別是9和3 6.已知三點(diǎn)A( 1,1,2),B(1,2, 1),C(a,0,3),是否存在實(shí)數(shù)a ,使A B、C共線？若存在,求出a的值；若不存在，說明理由。解析AB7( 1 1)2 (1 2)2 (2 1)2 晶AC 7( 1 a)2(1 0)2 (2 3)2J(a 1)2 2,BC J(1 a)2 (2 O)2 ( 1 3)2J(a 1)2 20,因?yàn)锽C AB，所以，若 A,B,C三點(diǎn)共線，有BC AC AB 或 AC BC AB,若 BC AC AB，整理得：5a218a190 ,此

12、方程無解;若 AC BC AB，整理得：5a218a190 ,此方程也無解。所以不存在實(shí)數(shù)a，使A、B C共線。搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1將空間直角坐標(biāo)系(右手系)畫在紙上時(shí)，我們通常將 x軸與y軸，x軸與z軸所成的角畫成().750A. 90° B . 1350 C . 450 D解析：選B2.點(diǎn)P(3,4,5)在yoz平面上的投影點(diǎn)P的坐標(biāo)是A. (3,0,0) B . (0,4,5)C . (3,0,5)(3,4,0)A. 10.738.38解析A點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為B(2,3, 5),AB V(2 2)2 3 ( 3)2 5 ( 5)2105. ( 200

13、7年湛江模擬)點(diǎn) P(1,2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為R , P關(guān)于平面xOz的對(duì)稱點(diǎn)為F2，則 |PF2| =解析P( 1,2, 3) , F2(1, 2,3) ,IPP2I 566. 正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P (-1 , 2, -1 ) , Q (3, -2 , 3),則正方體的體積是解析P,Q不共面，PQ為正方體的一條對(duì)角線，PQ 価，正方體的棱長為 4,解析：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，選3.三棱錐 O ABC 中，0(0,0,0), A(2,0,0), B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱錐的體積為(A. 1解析OA,OB,OC 兩兩垂直，VO ABC 1 - 1 2 313

14、2 ( 2007山東濟(jì)寧模擬)設(shè)點(diǎn) B是點(diǎn)A(2,-3,5)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)，貝U |AB|等于()體積為64綜合提高訓(xùn)練7. 空間直角坐標(biāo)系中，到坐標(biāo)平面xOy , xOz, yOz的距離分別為2, 2, 3的點(diǎn)有A.1個(gè)B.2 個(gè) C.4 個(gè)D.8個(gè) 解析：8 個(gè)。分別為(3, 2, 2)、(3, 2, -2 )、(3, -2 , 2)、(3, -2 , -2 )、(-3 , 2, 2)、(-3 , 2, -2 )、(-3 , -2 , 2)、(-3 , -2 , -2 )8.（2007山東昌樂模擬）三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(1, 2,11), B(4,2,3),C(6,

15、1,4),則ABC的形狀為（A.正三角形B.銳角三角形C .直角三角形.鈍角三角形9. （2008年佛岡一中模擬）已知空間直角坐標(biāo)系 0 xyz中有一點(diǎn)A(1, 1,2），點(diǎn)B是平面xOy內(nèi)的直線x y 1上的動(dòng)點(diǎn)，則A, B兩點(diǎn)的最短距離是（解析C| AB| J(1 4)2 ( 2 2)2 (11 3)2V89| AC| J(4 6)2 ( 2 1)2(11 4)2|BC| 7(4 6)2 (2 1)2 (3 4)2AC2 BC2 AB2V172解析因?yàn)辄c(diǎn)B在xoy平面內(nèi)的直線x1上，故可設(shè)點(diǎn)B為（x,x 1,0),所以 AB 7(x 1)2( x 2)2(02)2如2x 9扣自21721 434所以當(dāng)丄時(shí)，AB取得最小值 丄4，此時(shí)點(diǎn)2 210.如圖，以棱長為a的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系 O正方體的對(duì)角線 AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱 CD上。xyz，點(diǎn)P在（1）當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),探究PQ的最小值;（2）當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q為棱CD的中點(diǎn)時(shí),探究PQ的最小值;解析由已知 A(a,a,O),