利用極坐標解圓錐曲線題

1、利用極坐標解題知識點精析：橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個定點(焦點 )的距離和一條定直線 (準線 )的距離的比等于常數(shù) e 的點的軌跡 ?以橢圓的左焦點 (雙曲線的右焦點、拋物線的焦點)為極點，過點F 作相應(yīng)準線的垂線，垂足為 K，以 FK 的反向延長線為極軸建立極坐標系?橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為：ep.?1 ecos?其中 p 是定點 F 到定直線的距離，p 0?當 0 e 1 時，方程表示橢圓； ?當 e 1 時，方程表示雙曲線，若0，方程只表示雙曲線右支，若允許0，方程就表示整個雙曲線；?當 e=1 時，方程表示開口向右的拋物線.引論（ 1）若ep1+e cos

2、則 0 e 1 當時，方程表示極點在右焦點上的橢圓當 e=1 時時，方程表示開口向左的拋物線當 e 1 方程表示極點在左焦點上的雙曲線（2 ）若ep1-esin當 0 e 1 時，方程表示極點在下焦點的橢圓當 e=1 時，方程表示開口向上的拋物線當 e 1 時 !方程表示極點在上焦點的雙曲線ep（3）1+esin當 0 e 1 時，方程表示極點在上焦點的橢圓當 e=1 時，方程表示開口向下的拋物線當 e 1 時 !方程表示極點在下焦點的雙曲線例題選編（1）二次曲線基本量之間的互求例 1.（復(fù)旦自招）確定方程10表示曲線的離心率、焦距、長短軸長。解法一：25 3cos3105313 cos53

3、10e， P5 313 cos5c33c25a5aa58b21051015c3a c3c38b(25)2(15)25882315長軸長25，短軸長5方程表示橢圓的離心率 e，焦距，454解法二：轉(zhuǎn)化為直角坐標（ 2）圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦 MN 經(jīng)過焦點 F，1、橢圓中， pa 2cb2， MNepep) a22ab2.cc1 ecos1 ecos(c2 cos2若橢圓方程為，半焦距為，焦點，設(shè)過的直線的傾斜角為交橢圓于A、 B 兩點，求弦長。解：連結(jié)，設(shè)，由橢圓定義得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，則弦長。同理可求得焦點在y 軸上的過焦點弦長為（ a 為長半軸， b 為短半軸，

4、c 為半焦距）結(jié)論：橢圓過焦點弦長公式：2、雙曲線中， （注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若 M 、 N 在雙曲線同一支上，MNepep2ab2；ecos1ecos() a2c2cos21若 M 、 N 在雙曲線不同支上，MNepep2ab2ecos1ecosc 2 cos2a21設(shè)雙曲線直線的傾斜角為，交雙曲線于，其中兩焦點坐標為A、 B 兩點，求弦長 |AB|。，過的解：（ 1）當時，（如圖2）直線與雙曲線的兩個交點A、 B在同一交點上，連，設(shè)，由余弦定理可得，由雙曲線定義可得整理可得，同理，則可求得弦長。（2）當或時，如圖3，直線l 與雙曲線交點A、 B在兩支上，連，設(shè)

5、，則，由余弦定理可得，整理可得，則因此焦點在x 軸的焦點弦長為同理可得焦點在y 軸上的焦點弦長公式其中 a 為實半軸， b 為虛半軸， c 為半焦距，為 AB 的傾斜角。pp2 p3、拋物線中， MN1 cos() sin 21 cos若拋物線與過焦點的直線相交于 A、 B 兩點，若的傾斜角為，求弦長 |AB| ？（圖 4）解：過 A、 B 兩點分別向則點 A 的橫坐標為x 軸作垂線，點B 橫坐標為為垂足，設(shè)，由拋物線定義可得，即則同理的焦點弦長為的焦點弦長為，所以拋物線的焦點弦長為例 2 已知拋物線 y2=2px（ p>0），過其焦點且斜率為 k 的直線交拋物線于 A，B 兩點，求 A

6、B 長.練習 1：過雙曲線 x 2- y21的右焦點，引傾斜角為的直線，交雙曲線與A、 B 兩點，453求AB解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點為極點的極坐標系即得53cosA(,),B( 2,)215353| 80AB|12 | |23cos23cos()733附錄直角坐標系中的焦半徑公式設(shè) P（ x,y）是圓錐曲線上的點，1、若 F1、 F2 分別是橢圓的左、右焦點，則PF1aex， PF2aex；2、若 F1、 F2 分別是雙曲線的左、右焦點，當點 P 在雙曲線右支上時，PF1exa ， PF2exa ；當點 P 在雙曲線左支上時，PF1aex ， PF2aex；3、若 F 是拋物線的焦點

7、，PFxp.2利用弦長求面積2 2例 3設(shè)過橢圓 xy1 的右焦點的弦 AB=8，求三角形 AOB 的面積。251622練習 2（ 08 年海南卷）過橢圓 xy1 的焦點 F 作一條斜率為2 的直線與橢圓交于A，54B 兩點， O 為坐標原點，求AOB 的面積簡解：首先極坐標方程中的焦點弦長公式|AB|2ep求弦長，然后利用公式e2cos211| AB |OF | sinAFO 直接得出答案。S AOB2年全國高考理科 )已知點 F 為橢圓 x2練習 3 (2005y 21的左焦點 .過點 F 的直線 l1 與橢2圓交于 P 、 Q 兩點， 過 F 且與 l1 垂直的直線 l 2 交橢圓于 M

8、 、 N 兩點， 求四邊形 PMQN 面積的最小值和最大值 .2解析：以點 F 為極點，建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：22 cos12設(shè)直線 l1 的傾斜角，則直線 l2的傾斜角為900 ，由極坐標系中焦點弦長公式知：|PQ|2，|MN |221 cos21 cos2 (900 )1 sin 2111222用他們來表示四邊形的面積S1 | PQ |g| MN |111112sin221sin2224gcos2161即求的最大值與最小值1 1 sin2 22 16由三角知識易知：當 sin 21時，面積取得最小值16 ；當 sin 20 時，面積取得最大值 29利用弦長公式解決常量問題x

9、2y21 (ab 0)例 4過橢圓 a 2b 2的左焦點 F，作傾斜角為 60的直線 l 交橢圓于 A、 B兩點，若 FA2 FB ，求橢圓的離心率 .簡解：建立極坐標系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標方程為e pe pe p1ecos則 FA1 ecos 60 0 , FB1 ecos 240 0 ， e p2e p，解得 e2；ee31122練習 4求過橢圓距離。2的左焦點，且傾斜角為的弦長 AB 和左焦點到左準線的3 cos42解：先將方程化為標準形式：3則離心率 e121， ep，331 cos3p2所以左焦點到左準線的距為2。設(shè) A(1,5) ，代入極坐標方程，則

10、弦長),B( 2,44AB1222245173cos3cos4（3）定值問題4例 5.拋物線y22 px( p 0) 的一條焦點弦被焦點分為a,b 的兩段，證明：11定值。ab解：以焦點F 為極點，以FX 軸為極軸建立極坐標系，則拋物線的極坐標方程為p，設(shè) A(a, ), B(b,)1 cos將 A,B 兩點代入極坐標方程，得ap, bpcos1cos()1則 11=1cos1cos() =2 （定值）abppp點睛：引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論：若圓錐曲線的弦MN 經(jīng)過焦點 F，則有112MFNFep例 6經(jīng)過橢圓的的焦點作兩條相互垂直的弦AB 和弦 CD,求證11AB為定值。CD證明

11、：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為ep，又設(shè)1 ecosA1,1,B2,+ ,C3,2+,D4 ,3+則代入可得2|AB|2ep，| AB|12ep則11= 2-e21e2 cos2e2 sin 2ABCD2ep注釋。此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立。注意使用的范圍。推廣 1 若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點為極點建立極坐標方程。推廣 2 若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例 7 (2007重慶理改編 )中心在原點 O 的橢圓 x2y21 ，點 F 是其左焦點，在橢圓上任3627取三個不同點 P1,P2 ,P3 使 P1FP 2 P2 FP3

12、 P3 FP11200 證明：111FP 2為定值，并求此定值FP1FP3解析：以點 F 為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為：9，設(shè)點 P1 對應(yīng)2cos的極角為，則點 P2 與 P3 對應(yīng)的極角分別為1200 、1200 ， P1 、 P2 與 P3 的極徑就分別是|FP1|9、|FP2|9與 |FP3 |2cos2cos(1200)9，因此2cos(120 0)1112 cos2 cos(1200 )2cos(120 0)FP1FP 2FP3999，而在三角函數(shù)的學習中，我們知道coscos(1200 )cos(1200)0 ，因此1112為定值FP1FP 2FP33點睛：極坐標分別表示| FP1 |、 | FP2 |與 | FP3|，這樣一個角度對應(yīng)一個極徑就不會象解析幾何那樣，一個傾斜角，對應(yīng)兩個點，同時對應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標表示圓錐曲線的優(yōu)點推廣：若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？例 8（ 2006全國聯(lián)賽江蘇）橢圓x 2y21 的右焦點為 F， P12242516，P， ， P 為 24 個依逆時針順序排列在橢圓上的點，其中P1 是橢圓的右頂點，并且P1FP2= P2FP3= P3FP4= =P FP . 若這 24 個點到右焦點的距離的倒數(shù)和為S，