234平面與平面垂直的性質(zhì)定理精編版

1、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： 面面垂直的判定面面垂直的判定 （）利用定義（）利用定義 作出二面角的平面角，證明平面角是直角作出二面角的平面角，證明平面角是直角 （）利用判定定理線面垂直（）利用判定定理線面垂直 面面垂直面面垂直 l?l?線線垂直線線垂直 線面垂直線面垂直 ? ? ? ? lB A 面面垂直面面垂直 思考思考2 2 如圖，長方體中，如圖，長方體中，, (1)(1)里的直線都和里的直線都和垂直嗎？垂直嗎？ 不一定不一定 (2)(2)什么情況下什么情況下里的直線和里的直線和垂直？垂直？ 與與ADAD垂直垂直 D1C1B1F A1 E AD BC思考思考3 3 ?,?CD，AB?,AB?CD,

2、垂足為垂足為B B，那么直線，那么直線ABAB與平面與平面的位置關(guān)系如何？的位置關(guān)系如何？ 為什么？為什么？ 垂直垂直 E E D D C C B B A A ?內(nèi)作內(nèi)作BECD,BECD, 證明證明: :在平面在平面 垂足為垂足為B. B. ? CD ?則則ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. . E E D D B B A A ?, ABBE., ABBE. 又由題意知又由題意知ABCD,ABCD, 且且BE CD=B BE CD=B ABAB ?.C C 平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理 兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一兩個平面垂直，則一個

3、平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直個平面垂直 符號表示符號表示: : ?C C ?CDAB?A A B B D D ?AB?AB?CD?AB CD?B?關(guān)鍵點：關(guān)鍵點： 線在平面內(nèi)線在平面內(nèi). . 線垂直于交線線垂直于交線. . C C 作用：作用： 它能判定線面垂直它能判定線面垂直. . A A B B D D ? 它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂它能在一個平面內(nèi)作與這個平面垂 直的垂線直的垂線. . 面面垂直面面垂直 線面垂直線面垂直 （線線是一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）是一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線） 思考思考4 4 設(shè)平面設(shè)平面 ?平面平面 ?，點，點P P在平面在

4、平面 ?內(nèi)，過點內(nèi)，過點P P作平作平 面面 ?具有什么位置關(guān)系具有什么位置關(guān)系? ? ?的垂線的垂線a，直線，直線a與平面與平面 直線直線a a在平面在平面 ?內(nèi)內(nèi) a a P P 思考5已知平面?，?AB，直線a?，垂直垂直 a?AB，試判斷直線a與?的位置關(guān)系. b B l a A 例1如圖，已知平面?，?，? ? ?，直線a滿足a? ?,a? ?，試判斷直線a與平面?的位置關(guān)系.分析：分析：尋找平面尋找平面內(nèi)與內(nèi)與a a平行的直線平行的直線. . b a l A ?與與?交線交線解：解：在在內(nèi)作垂直于內(nèi)作垂直于 的直線的直線b b， b l a ?， b?， a ?，ab. 又又a a

5、. ?， 即直線即直線a與平面與平面平行平行. A a ?）. 結(jié)論：結(jié)論：垂直于同一平面的直線和平面平行（垂直于同一平面的直線和平面平行（ 例2.已知平面?，?，?滿足?，?，?求證：l?.分析：分析：作出圖形作出圖形. . （法一）（法一） （法二）（法二） ?l,l m b a n l a n m b A ?n ,?m ,證法證法1 1：設(shè)設(shè) 在在內(nèi)作直線內(nèi)作直線a n 在在內(nèi)作直線內(nèi)作直線bm l b a ?同理 b?a?n m ?b/ a?a?b/?b?b?b/ l?l?b?l?.?l?證法證法2 2：設(shè)設(shè) ?n,?m ,l 在在內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點A A（不在（不在m ,n上），上

6、）， 在在內(nèi)過內(nèi)過A點作直線點作直線 a n， 在在內(nèi)過內(nèi)過A點作直線點作直線 bm， ?n?a ?a?n? a n m b A l ?a?l?同理同理 b?lab?A? l ?.結(jié)論結(jié)論 如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面平面的交線垂直于這個平面. . 如圖：如圖： l 判斷線面垂直的兩種方法判斷線面垂直的兩種方法： 線線垂直線線垂直線面垂直；線面垂直； 面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直. 兩個平面垂直應(yīng)用舉例兩個平面垂直應(yīng)用舉例 例題例題1 1 如圖如圖4 4，ABAB是是O的直徑，點的直徑，點C C是是O上

7、的動點，過動上的動點，過動點點C C的直線的直線VCVC垂直于垂直于O所在平面，所在平面，D D、E E分別是分別是VAVA、VCVC的中的中點，直線點，直線 DE DE與平面與平面VBCVBC有什么關(guān)系？試說明理由有什么關(guān)系？試說明理由 解：由VC垂直于O所在平面，知VCAC，VCBC，即 ACB是二面角A-VC-B的平面角由ACB是直徑上的圓周角，知 ACB =90。 因此，平面 V AC平面VBC由DE是VAC兩邊中點連線，知 DEAC，故DEVC由兩個平面垂直的性質(zhì)定理，知直線DE與平面VBC垂直。 注意：本題也可以先推出注意：本題也可以先推出ACAC垂直于平面垂直于平面VBCVBC，

8、再由，再由DEDEACAC，推出上面的結(jié)論。推出上面的結(jié)論。 例例2 2S S為三角形為三角形ABCABC所在平面外一點，所在平面外一點，SASA平面平面ABCABC，平面，平面SABSAB平面平面SBCSBC。 求證：求證：ABBCABBC。 證明：過證明：過A點作點作ADSB于于D點點. 平面平面SAB 平面平面SBC, AD平面平面SBC， ADBC. 又又 SA 平面平面ABC， SA BC. ADSA=A D A B S C BC 平面平面SAB. BC AB. 練習(xí)練習(xí)1 1：如圖，以正方形如圖，以正方形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC為折為折痕，使痕，使ADCADC和和A

9、BCABC折成相垂直的兩個面，折成相垂直的兩個面，求求BDBD與平面與平面ABCABC所成的角。所成的角。 D D 折成折成 A O C A O B C B 2 .如圖，平面如圖，平面AED 平面平面ABCD，AED是等邊三角形，四邊形是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，是矩形， （1）求證：）求證：EACD 2（2）若）若AD1，AB ，求，求EC與平面與平面ABCD所成的角。所成的角。 E D M C A B (2012(2012北京模擬北京模擬) )如圖，正方形如圖，正方形ADEFADEF與梯形與梯形ABCDABCD所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABC

10、D，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4，M M為為CECE的的中點中點. . (1)(1)求證：求證：BMBM平面平面ADEFADEF； (2)(2)求證：平面求證：平面BDEBDE平面平面BEC. BEC. 【證明】【證明】(1)(1)取取DEDE中點中點N N，連接，連接MNMN，AN. AN. 在在EDCEDC中，中，M M，N N分別為分別為ECEC，EDED的中點，的中點， 1所以所以MNCDMNCD，且，且MN= CD. MN= CD. 21由已知由已知ABCDABCD，AB= CDAB= CD， 2所以所以MNAB,MNAB,且且MN=AB, MN=AB, 所以四邊形

11、所以四邊形ABMNABMN為平行為平行 四邊形四邊形. .所以所以BMAN.BMAN. 又因為又因為ANAN?平面平面ADEFADEF，且，且BM BM ?平面平面ADEFADEF， 所以所以BMBM平面平面ADEF. ADEF. (2)(2)因為四邊形因為四邊形ADEFADEF為正方形，為正方形， 所以所以EDADEDAD， 又因為平面又因為平面ADEFADEF平面平面ABCDABCD， 且平面且平面ADEFADEF平面平面ABCD=AD. ABCD=AD. 又因為又因為EDED 平面平面ADEFADEF， ?所以所以EDED平面平面ABCD. ABCD. 所以所以EDBC.EDBC. 在直

12、角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，AB=AD=2AB=AD=2，CD=4CD=4， 可得可得BC= BC= 2 2， 在在BCDBCD中，中，BD=BC= BD=BC= 2 2，CD=4CD=4，所以，所以BCBDBCBD， BDED=D,BDED=D, 所以所以BCBC平面平面BDEBDE， 又因為又因為BCBC?平面平面BCEBCE， 所以平面所以平面BDEBDE平面平面BEC. BEC. 總結(jié)提煉 定義面面垂直是在建立在二面角的定義的基礎(chǔ)上的 理解面面垂直的判定與性質(zhì)都要依賴面面垂直的定義 證明面面垂直要從尋找面的垂線入手 已知面面垂直易找面的垂線，且在某一個平面內(nèi) 解題過程中應(yīng)注意充分領(lǐng)悟、應(yīng)用 線線垂直線線垂直 面面垂直面面垂直 線面垂直線面垂直 線面垂直線面垂直 面面垂直面面垂直 線