§9.3平面向量的數(shù)量積

1、§93 平面向量的數(shù)量積預(yù)備知識(shí)對(duì)功的概念的理解 平面向量的概念、運(yùn)算及運(yùn)算法則 平面向量的直角坐標(biāo)及運(yùn)算 重點(diǎn)兩向量的角概念平面向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及綜合應(yīng)用 難點(diǎn)向量數(shù)量積與向量的區(qū)別 一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的正投影 學(xué)習(xí)要求理解兩向量角的定義、求法 理解向量數(shù)量積的含義，掌握它們的運(yùn)算及性質(zhì) 掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及解決相關(guān)問(wèn)題功是你所熟悉的一物理量初中物理中對(duì)功的描述是這樣的：一個(gè)物體在大小為 F 的 力的作用下，發(fā)生了大小為 S 的位移，則 F 對(duì)物體位移作功(1)W=FS力F和位移S是向量，所謂力、位移的大小，實(shí)質(zhì)上是F和S的模：F

2、=|F|,S=|S|,因此 更嚴(yán)格的寫法應(yīng)該是W=|F|S|.SS -圖 9-24(1)圖 9-24(2)注意(1)或(2)其實(shí)隱含了一個(gè)前提：力 的作用方向與物體的位移方向一致 (見(jiàn) 圖9-24(1).若此前提不成立，如圖 9- 24(2)那樣，F(xiàn)與S之間有一個(gè)角=(FAS)，則僅F分解在位移方向的Fi才對(duì)位移作功.因?yàn)?|Fi|=|F|cos , 據(jù)F對(duì)位移作功W為W=|F|S|cos =|F| |S|cos(FAS).(3)向量之間類似于以(3)為結(jié)果的運(yùn)算，在實(shí)際中經(jīng)常遇到，故給予一個(gè)名稱，叫做向量 的數(shù)量積.1. 向量的數(shù)量積(1) 平面向量所成的角圖 9-25給定兩個(gè)非零平面向量a

3、 ,b，移它們的始點(diǎn)到同一點(diǎn)，以表示向量的線段所在直線為始終邊的角，叫做向量a,b所成的角，記作(aAb)(見(jiàn)圖9-25);為了使兩個(gè)非零向量所成的角唯一，規(guī)定 0 (a Ab).零向量0與任何向量所成的角認(rèn)為可以任意.為了方便有 時(shí)也把(aAb)叫做向量之間的夾角.從向量所成角定義，立即可知(a Ab)=0 a/b (即 a ,b 共線);(a Ab)= a =-b (即 a ,b 互為相反向量).特別地，當(dāng)(aAb)=_，則我們說(shuō)a與b垂直，記作a b .2(2) 向量的數(shù)量積已知向量a ,b, a ,b的數(shù)量積是一個(gè)以下式定義的數(shù)量：a b=|a|b|cos(aAb),(9-3-1)其中

4、(a Ab)表示向量a ,b之間所成的角.據(jù)向量數(shù)量積定義，前面力 F對(duì)位移S作功W可以表示為 W=F S .向量的加減運(yùn) 算，對(duì)應(yīng)著數(shù) 量的加減運(yùn)算向量作為既有方向、又有大小的量，與數(shù)量有著區(qū)別這種區(qū)別在運(yùn)算方面的體現(xiàn)， 是向量的有一些運(yùn)算在數(shù)量運(yùn)算中是找不到與之對(duì)應(yīng)的類別的，數(shù)量積就屬于這種運(yùn) 算這是因?yàn)橄蛄康臄?shù)量積，反映的是一個(gè)向量與它在另一個(gè)向量方向上投影的積.例1求下列向量的數(shù)量積：(1)|a|=5,|b|=4, (aAb)= 2 ，求 a b;(2)a =(3,4),|b|=l, (aAb)=，求 a b;322(3) a=(3,4), b =(-3,-4)，求 a b ;(4)a

5、=(1,3)，求 a a ;(5)a=0, b=(x,y)，求 a b .2解 (1)a b=|a |b |cos(a Ab)=5 4 cos2 =-10 ;3因?yàn)?aAb)=- , cos(aAb)=0,所以 a b=0; 2 |a|=|b|= 3242 =5;因?yàn)?b=-a ,但人小=，所以 a b=|a |b|cos(a Ab)=-25 ;(4) (a Aa)=0 , cos(aAa)=1，所以 a a=|a |a |cos(a Aa)=|a |2=12+32=10;因?yàn)?|0|=0,所以不論向量 b 為何，a b=|a|b|cos(aAb)=0 |b|cos(a Ab)=0 .課內(nèi)練習(xí)

6、11. 求下列向量的數(shù)量積：(1)|a|=2,|b|=8, (a")=_，求 a b ;(2)a =(1,3),|b|=_ , (bAa)=，求 a b ;432(3)a=(-3,-2), b =(3,2)，求 a b ;(4)a =(5,3)，求 a a ;(5)a=(10,y) , b=0,(3)向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則根據(jù)向量數(shù)量積的定義，立即可知成立如下運(yùn)算法則： 交換律：a b = b a ； 數(shù)乘分配率：(a) b =a ( b )= (a b),(任意R)； 分配率：(a+b)c = ac+bc.例 2 設(shè) AB =(3,-1), |CD|=2, =(AB acd)=_

7、，求3(1)(2AB )(3CD ); (2)( AB +2CD ) AB ； (3)(-4 AB ) (AB+2 CD ).解 |AB |= .32 ( 1)2 = .10 .(1) (2 AB ) (3CD )=6( AB CD )=610 2cos_=6 .10 ;3(2) ( AB +2 CD ) AB = AB AB +2CD AB=10.10cos0+2 210 cos=10+2 一 10 .3(3) (-4 AB )(AB +2CD )=-4 AB AB -8CD AB =-40-8 2 .10 cos-3=-8(5+ 10 ).課內(nèi)練習(xí)25、1. 已知 |a |=4, |b|=

8、3, a 與 b 的夾角為 ，求(2a b) (a +2b).62. 已知 A(-1,2),B(1,4), |CD |=4, =(AB，aCD)=，求3(1) AB (3CD ); (2)(2 AB + CD ) AB ; (3) AB (- AB +2CD ).(4) 向量數(shù)量積的基本結(jié)論從向量數(shù)量積的定義，可以得到一些經(jīng)常用到的基本結(jié)論，這些結(jié)論是必須熟記的 a b a b=0; 當(dāng)a/b且同向時(shí)，a b = |a |b |;當(dāng)a/b且方向相反時(shí)，a b=-|a |b|; a a =|a f,所以 |a |=a a ; cos(a Ab)=a b|a | |b|(9-3-2)最后一個(gè)公式（

9、9-3-2）對(duì)求向量所成角十分有用. 例3已知|a |=4, |b|=5，分別在下列條件下求a b :(1)a/b ;(2)a b.解(1)當(dāng)a/b時(shí)，則(aAb)=0( a,b同向)或 (a ,b方向相反)，所以 a b=4 5=20 或 a b=-4 5=-20;當(dāng)a b時(shí)，a b=0.例 4 已知 |a|=2, |b|=4, a b=-6,求(aAb)的余弦值.cos(a Ab)= a b|a| |b|課內(nèi)練習(xí)31. 已知 a/b, |a |=1, |b|= 2，求 a b.2. 下述四個(gè)命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？并說(shuō)明理由:(1)0 a =0 ； (2)|a|=a a ； (3

10、)ab = |a|b|; (4)a b=|a b|； (5)|a b|=|a |b|cos(a Ab)|；(6)(a b)(a b)=(a a)(b b)=|a|2|bf； (7)a/b存在實(shí)數(shù) ，使 a b= |a 2；(8)(a + b) (a-b)=|a|2-|b|2； (9)(a+b) (a-b)=a2-b2.3. 已知 |a |=1, |b|=4, a b=2、3，求(a Ab).2. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積(9-3-1)是不依賴于坐標(biāo)系的幾何定義，如果在坐標(biāo)平面上討論，把向量數(shù) 字化(即求出向量的坐標(biāo))，那末就能以坐標(biāo)計(jì)算來(lái)表示向量的數(shù)量積

11、.首先考察坐標(biāo)基底向量i, j的數(shù)量積，有i i=1； i j=j i=0; j j=1.(4)現(xiàn)設(shè)向量 a, b的坐標(biāo)為a =(x1 ,y1), b=(X2,y2)，即a =x1i +y 1j, b=x2i +y2j,貝Va b =(x1i + y 1j) ( X2i + y2j)=X1X2i + y1y2j j- +X1y2i j- +y1X2j i -,即a b=X1X2+y 1y2.(9-3-3)這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們坐標(biāo)的的對(duì)應(yīng)乘積的和.以坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的基本公式，能得到我們熟知的一些公式：設(shè) a=(X, y)，則 a a =|a |2=X2+y2,即向量模公式|a

12、|= X2 y2 ；特別地當(dāng)a = AB，且起終點(diǎn)坐標(biāo) A(X1,y1),B (X2,y2)為已知時(shí)，由 AB =(X2-X1,y 2-y1)，即得|a |=|AB | (X2 X1)2 (y2 yj2 ,此即為兩點(diǎn)間的距離.例5求下列向量的數(shù)量積：(1)a=(2, -1), b=(3, 1)，求 a b ； (2)c=(-1, -1), d=(1, -1)，求 c d .解應(yīng)用公式(9-3-3),(1) a b=2 X3+(-1) 1=5 ；(2) c d=(-1) 1+(-1) (1)=0，由此還可知 c d .例 6 已知 a=(1,2), b=(-2, 3)，求(a+b)(a-b),

13、(a-b) (2a+b).解 解Ia+b = (1,2)+(-2,3)=(-1,5) , a-b=(1,2 )-(-2, 3)=(3, -1),2a+b=2(1,2) +(-2,3)= (0, 7),(a+b ) (a-b)=(-1) 3+5 x(-1)=-8 ；(a -b) (2a+b)=3 +(-1) 7= 7.解n (a + b) (a-b)=|a|2-|b|2=(1+22)-(-2) 2+32=-8 ；(a-b) (2a+b)=2|a|2-a b-|b|2=10-1 +2)+2 +-13=-7 .在向量a ,b(包括它們的坐標(biāo))、數(shù)量積a b、向量所成角(a Ab)及向量模|a |,|

14、b |這幾個(gè)因 素之間，知道了其中的一些因素，就能求出其余因素，這是向量類問(wèn)題數(shù)學(xué)練習(xí)的主要內(nèi)容.例 7(1)已知 a=(-2, 6), a b=-6，設(shè) b=(6, y)，求 y ;已知 a=(2,2), (aAb)=, |b|=2,求 b 的坐標(biāo).4解 (1)a b=(-2) 6+6y =-6，解得 y=1;(2)|a |=2 2 ,a b=|a|b|cos(aAb)=4 2cos=4.4設(shè) b=(x, y),則據(jù) |b|=2 及(9-3-3)又有x2 y2=2,I a b=2x+2y=4.由第二式得y=2-x,代入第一式得x2+(2-x)2=4, xi=0, X2=2;yi=2-xi=2

15、, y2=2-x2=0.所以 b=(0,2)或 b=(2,0).課內(nèi)練習(xí)41. 求下列向量的數(shù)量積：(1) a=(-2, 1), b=(3, -1)，求 a b; (2)c=(4, -1), d=(2, -1)，求 c d .2. 已知 a=(2, -1), b=(-1,5)，求(2a+b) (2a-b),(a-2b) (2a+b).3. 設(shè) a=(x, 6), a b=-6, b=(2, -1)，求 x.34. 已知 |a |=1, (a Ab)= , b=(-1,2)，求 a 的坐標(biāo).4(2) 平面向量所成角的計(jì)算公式cos(a Ab )=X1X2y22 2 2 2X1 y1 皿 y2把(

16、9-3-3)向量模計(jì)算公式代入已有的向量所成角計(jì)算公式(9-3-2)，得(9-3-4)只要知道向量的(9-3-5)直線間夾角或向量間所成角的計(jì)算，一直是令人頭痛的事.(9-3-4)表明,坐標(biāo)，就能計(jì)算出它們之間的所成角，是今后計(jì)算的主要手段.特別地，從向量數(shù)量積基本結(jié)論和(9-3-4)，還能得到a bX1X2+y1y2=0,這也是用來(lái)判定向量垂直的主要手段之一.例8求向量a與b所成角：(1)a=(2,1) , b=(3,-1) ; (2) a =(2,-1) , b=(-3,-1). 解(1)應(yīng)用公式(9-3-4)cos(a Ab )=22 3 1 ( 1)(a Ab)=；4cos(aAb)=

17、2(-1)()一=-,(aAb)=，.V22 ( 1)2 ；( 3)2 ( 1)224例 9 已知點(diǎn) A(1,2), B(2,3), C( 2,5).求證 BAC =.2證明 AB =(2-1,3-2)=(1 , 1), AC =( 2-1,5-3)=( 3, 3 ),AB AC =1 X( 3)+1 >3=0,所以 AB AC，即 BAC = _ .2例 10 已知 a=(1,2), b=( 3, 2)，求 k 使 ka +b 與 a 3b 垂直. 解 ka + b=(k 3, 2 k +2 ), a 3b=(10, 4).為使ka+b與a 3b垂直，只需取 k使(ka + b) (a

18、 3b)=0,即卩(k-3) >0+(2 k+2) >4)=0, 2k-38=0 , k=19.所以使ka+b與a 3b垂直的k值為19,即卩19a +b與a 3b垂直.例 11 已知點(diǎn) A(1,0), B(5,2)，求點(diǎn) P(x,y)，使 PA PB .解 PA =(1-x,0-y), PB =(5-x,2-y),PA PB =(1- x)(5- x)+(- y )(2-y )= x2-6x +y 2-2y +5 =(x-3)2+(y-1)2-5,PA PB PA PB =(x-3)2+(y-1)2-5=0,所以坐標(biāo)滿足(x-3)2+(y-1)2-5=0的點(diǎn)P(x,y),都使使P

19、A PB.結(jié)果表明，以(3,1)為圓心、,5為半徑的圓上所有點(diǎn)都滿足 要求.從圖9-26可見(jiàn)，這個(gè)圓正好以 AB為直徑，APB是立在直徑上的圓周角，自然有 PA PB .9-例12有一塊不規(guī)則形狀的四邊形草坪，已知其中一對(duì)鄰邊互相垂直；四邊長(zhǎng)如圖27所示伸位為m)，求BC ,CD的夾角.解 以垂直相交的兩邊的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系如圖9-27，貝U B,D 的坐標(biāo)為 B(0,36), D(48,0).設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x ,y),貝UCB =(-x,36-y), CD =(48-x, -y), 2 2cos(CB aCD )= CB CD =x 48x y 36y |CB | |CD |52 5

20、0又由 |CB |=52, |CD |=50，得x2+(36-y)2=522, (48-x)2+y2=502,展開(kāi)得 x2+y2-72y=522-362, x2+y2-96x=502-482,相加兩式，得x2+y2-48x-36y =802.代入(1)得COS(CB ACD )=-802 0.3085, (CB ACD ) 72 . 2600所以BC,CD的夾角約為72 .課內(nèi)練習(xí)51 .求求向量a與b所成角:(1)a=( 1,2), b=(2, 3); (2)a=( 1, 2), b=(2, 5).2. 證明以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形:(1) A( 1,4), B(5, 2),

21、C(3, 4); (2)A( 2, 3), B(19, 4), C( 1, 6).3. 已知a=(4, 2), b=( 3, 3)，當(dāng)k為何值時(shí)，a+b與ka 2b垂直？4. 已知點(diǎn) A(0,1), B(5,2)，求點(diǎn) P(x ,y)，使 PA PB 且 PA=PB .5. 要把例12的草坪截成矩形形狀，允許直角有誤差3% .當(dāng)工人完工后測(cè)量一下，發(fā)現(xiàn)BC長(zhǎng)47.5m, BD長(zhǎng)36.5m,需不需要返工？提高部分（平面向量的應(yīng)用）引進(jìn)向量是實(shí)際的需求，當(dāng)然在實(shí)際中會(huì)有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)向量作為一種表示有多 個(gè)因素的量，也成為表述和解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題的有力工具在本節(jié)中，我們僅舉幾例以 說(shuō)明應(yīng)用向量的

22、思想和方法.圖1例1 在厶ABC 中，D, E分別是 AB, AC 的中點(diǎn)（見(jiàn)圖11）,求證 DE/BC，且 DE = BC 2證明 須論證的是初中所熟悉的命題，在此重新予以證明，目的在于體會(huì)應(yīng)用向量的方法的優(yōu)點(diǎn).因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，所以一 11 -AD = AB , AE = AC 22在厶ABC中,1 1 1 - 1 12 2 2 2DE = AE - AD = AC - AB= (AC-AB)= BC 即 DE = BC 1 所以 DE/BC，且 DE= BC 2圖2例2試從向量加減的平行四邊形法則，導(dǎo)出平行四邊 形對(duì)角線的長(zhǎng)與兩各鄰邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.解 設(shè)圖2中ABCD為

23、一平行四邊形，則AC = AB + AD , DB = AB - AD ,|AC |2=AC AC =( AB + AD ) (AB + AD )=| AB |2+2 AB AD +| AD |2,(1)|DB |2= DB DB =( AB - AD ) ( AB - AD )=| AB |2-2 AB AD +| AD |2,(2)(1)+ (2 )得 |AC |2+| DB f=2 (| AB |2+| AD |2).怎么樣？用向 量方法論證一 些幾何命題確 實(shí)簡(jiǎn)便吧？即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.例3 （1）對(duì)任何直線I: Ax + By+C=O，證明向量 N

24、=（A,B）與I垂直；向量 M（-B,A）與I 平行.(2) 對(duì)任何 兩條直線 I仁 A1x+B1y+C1=0, I2: A2X + B2y+C2=0 ,證 明 I1/I2A1B2-A2B1=0證明（1）所謂向量與直線平行（垂直），是指表示向量的帶箭頭的短線段與直線平行; 向量與直線垂直，是指表示向量的帶箭頭的短線段與直線垂直.取點(diǎn) Po(xo,y 0) I, P(x,y) I，則 P0P =(x-xo,y-yo), Ax 0+ By o+C=0, Ax + By +C=0;相減兩式得A(x-xo)+B(y-yo)=O , 即卩 P0P N=0，所以 P0P N 因?yàn)辄c(diǎn)Po, P決定了直線I，

25、所以N I .N M=-AB +AB =0,所以N M，而N I，所以M/I (2)記 M1=(-B1,A1), M2=(-B2,A2)，貝V M1/I1, M2/I2.|1|2M1/M2-B 1：(-B2)=A1：A2AiB2-A2Bi=0 .例4 一條柔軟的繩子中點(diǎn)處懸掛了重物，使繩子下垂成夾角見(jiàn)(圖3).設(shè)物體重 W，求繩子兩邊所受的拉力.解記ei,e2為垂直向上方向、水平方向的單位向量(見(jiàn)圖3).重物所受重力為-Wei ,繩子兩邊所受拉力為Fi,F2 ,則 |Fi|=|F2|.由力平衡得Fi+F2=Wei, |Ficos_ |ei+|F2 cos_ |ei=Wei,W2|Ficos_|

26、=W, |Fi|=|F2|=_22cos-2所以繩子兩邊所受的拉力為W .當(dāng)=0 ,繩子兩邊所受拉力最小為2cos-2t-W圖3在學(xué)習(xí)了下一章之后，就能W，隨著增分析繩子兩邊 "2'不等長(zhǎng)的情況了.2 2大，繩子兩邊所受拉力將越來(lái)越大.例5質(zhì)點(diǎn)繞定點(diǎn)在半徑為R的圓周上以勻角速度旋轉(zhuǎn)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度.所以| vy(t) =:Rcos t，vy(t)=-Rcos t，或lvx(t)=:-Rsin t，或vx(t)=Rsin t.當(dāng) t = 0，vy(0) =R>0，所以應(yīng)取第組，即(vy(t)=:Rcos t，(vx(t)=:-Rsin t，即v(t)=(Rcos t, -

27、 Rsint).(3)又vx(t)2+yy(t)2= 2R2，(1+tan2 t)vy(t)2= 2R2，vy(t)2= 2R2cos2 t，圖4例7如圖5(1)，一條河 的兩岸平行，河的寬度d =500m, 艘船從A處出發(fā)到河 對(duì)岸，已知船的速度M1|=10km/h，水流速度 v2平行 于河岸，|v2|=2km/h .為使渡河 行駛航程最短，船應(yīng)取怎樣的 航向？渡河所用時(shí)間是多少？一 一 一1Av1 v 1/h%ie1 Le2Av2圖 5(1)圖 5(2)解 以定點(diǎn)為原點(diǎn)0、旋轉(zhuǎn)起始點(diǎn)A在x軸正向，建立如圖4所示的坐標(biāo)系.單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度為，故質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)弧長(zhǎng)為R，即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小為R.在

28、時(shí)刻 t>0 時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn) B 處，則 B(Rcos t,Rsin t)， OB =(Rcos t,Rsin t).設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為 V(t)=(Vx(t),Vy(t).因?yàn)樗俣妊貓A周的切線方向，故v(t) OB . OB =v(t) OB =Rvx(t)cos t+Rvy(t)sin t=0， vx(t)=-vy(t)tan t, ( t +k );2當(dāng)(t 一+k )時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 y軸上，vy(t)=0，且當(dāng)k為偶 2數(shù)時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于 y軸正向，v(t)向左，vx(t)<0 ；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)質(zhì) 點(diǎn)位于y軸負(fù)向，v(t)向右，vx(t)>0，仍然成立.綜上所述，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v(

29、t)為(3).(精確到1(s).)解要行駛航程最短，船應(yīng)取垂直于河岸方向行駛，為此應(yīng)使船的速度與水流速度的合速度v垂直于河岸(見(jiàn)圖5(2).記V2方向的單位向量為e2,垂直于河岸的單位向量為ei(見(jiàn)圖5(2)，貝UV2=|v2|e2, vi=-|vi|sin e2+|vi|cos ei, 其中 為vi與ei所成角.為保證合速度v垂直于河岸， 應(yīng)使(-|vi|sin e2+|vi|cos ei)+|v2|e2=(-|vi|sin +|v2|)e2+|vi|cos ei=|vi|cos ei,即-|vi|sin +|v2|=0, sin =凹 2=0.2 ,11.536 .10此時(shí)|v|=|vi|

30、cos10 0.9798=9.798(km/h).以此大小的速度度過(guò)寬500m的河道，需時(shí)t為t= 0-5 (h) 184(s).9.798所以，為使渡河行駛航程最短，應(yīng)使船按偏向河流上游方向11.536行駛，渡河約需用時(shí)184秒.例8 某人以1.5m長(zhǎng)的繩索，施力 25N，把重物沿坡度為 30的斜面拖上了 6m,拖拉 點(diǎn)距斜面的垂直高度為1.2m 求此人對(duì)物體位移所作的功(見(jiàn)圖6).解 因繩索長(zhǎng)1.5m，拖拉點(diǎn)距斜面的垂直高度為1.2m，斜面坡度為30，所以作用力F與斜面之間所成的角度滿足sin= 1.2s in60 =2 3 = =?1.55所以cos = 1 sin2記沿斜面向上方向的單位向量為F對(duì)位移作功e,則位移S=6e.上=30 13 (J).530 13 (J).AW=F S=|F| |S|cos =25 6所以此人對(duì)物體位移所作的功為 課內(nèi)練習(xí)1. 如圖，在 AABC 中，D, E兩點(diǎn)為 AB、AC的三等分1 點(diǎn)，求證：DE / = - BC .32. 在菱形ABCD中，用向量證明兩條對(duì)角線互相垂直.3. 對(duì)例 3 中直線"