高中數(shù)學(xué)《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》素材3 新人教A版選修1-2

1、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念一、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1復(fù)數(shù)的引入：回想數(shù)系的每一次擴(kuò)充都主要來自兩個(gè)方面：一方面數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要；另一方面由于實(shí)際的需要.而復(fù)數(shù)的引入屬于前者我們知道，方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，于是需引入新數(shù)i使方程有解，顯然，需要數(shù)系的擴(kuò)充過程：自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：由實(shí)數(shù)的運(yùn)算類似地得到新數(shù)i可以同實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘運(yùn)算，于是得到：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，并且把的這一表現(xiàn)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中的a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫復(fù)數(shù)的虛部注意復(fù)數(shù)的虛部是，而不是3復(fù)數(shù)相等的充要條件且注意事項(xiàng)：（1）復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)集（3）兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是

2、實(shí)數(shù)，則不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的幾何意義1復(fù)數(shù)可以用平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)來唯一表示，于是：復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)集，可以建立一一對應(yīng)2建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)0于是有下面的一一對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)3由于平面向量與坐標(biāo)平面的點(diǎn)一一對應(yīng)，于是有：復(fù)數(shù)平面向量在這些意義下，我們就可以把復(fù)數(shù)說成點(diǎn)或向量，這給研究復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義帶來了方便 4復(fù)數(shù)的模就是這個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模，復(fù)數(shù)的模為三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算1復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則其運(yùn)算法則類似于多項(xiàng)式的合并同類

3、項(xiàng) 復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律對于任意的，有：交換律：結(jié)合律：復(fù)數(shù)加法的幾何意義設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)可見，復(fù)數(shù)的加法可以按向量加法的法則進(jìn)行復(fù)數(shù)減法的幾何意義設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)（如圖2），根據(jù)向量加法的三角形法則有：于是：由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)于是得到向量的減法運(yùn)算法則為：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差與連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量相對應(yīng)2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算運(yùn)算法則：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只是把換為，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可運(yùn)算律：交換律：結(jié)合律：分配律：虛數(shù)i的乘方及其規(guī)律：，可見，即具有周期性且最小正周期為4共軛復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，即當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)它的幾何意義是：共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)關(guān)于x軸對稱主要用于復(fù)數(shù)的化簡以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.3復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算