2017年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、 20XX 年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科) 一、選擇題 1 已知全集 U=R 集合 A=x| xv- 2 或 x2，則？uA二( ) A. (- 2, 2) B. (-X,- 2)U( 2, +x) C. - 2, 2 D. (-X,- 2 U 2, +x) 2. 若復(fù)數(shù)(1 - i) (a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍 是( ) A. (-X, 1) B. (-X,- 1) C. (1, +x) D. (- 1, +x) 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能 力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 3. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 S 值為

2、( ) 2 3 5 4 .若 x, y 滿足 x+y2,則 x+2y 的最大值為( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 5.已知函數(shù) f (x) =3x-( 1 ) x，則 f (x)( ) J A.是偶函數(shù)，且在 R 上是增函數(shù) B.是奇函數(shù)，且在 R 上是增函數(shù) C是偶函數(shù)，且在 R 上是減函數(shù) D.是奇函數(shù)，且在 R 上是減函數(shù)6 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（ 【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐, 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三棱錐的三視圖、 體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能 力，屬于基礎(chǔ)題. 7 .設(shè)?？跒榉橇阆蛄?，貝 U 存在負(fù)數(shù)入使得*血”是嚇？口 0”

3、的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解答】解：“，n 為非零向量，存在負(fù)數(shù) 入使得兀=肚 I，則向量.n 共線且方 向相反，可得? 0. 反之不成立，非零向量- 的夾角為鈍角，滿足 ? 0,而 = i 不成立. IT，n 為非零向量，則 存在負(fù)數(shù)入使得 ir=總”是IT?n 0)的離心率為 ID 可得：.，解得 m=2.故答案為：2. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力 11. 已知 x 0, y 0,且 x+y=1，則 x2+y2的取值范圍是_J 1 , 1. 2 解：x0, y0,且 x+y=1，則 x2+y2=x

4、2+ (1-x) 2=2x2- 2x+1, x 0, 1, 則令 f (x) =2x2- 2x+1, x 0, 1，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=_，開口向上， 2 所以函數(shù)的最小值為：f (丄)=丄丁 .最大值為：f (1)=2 - 2+1=1. 2 Q氣2 則 x+y2的取值范圍是：,1.故答案為：J , 1. 2 2 . 9 9 * * 12. 已知點(diǎn) P 在圓 x2+y2=1 上，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-2, 0), O 為原點(diǎn)，則 A0?AP 的 最大值為 6 【解答】 解：設(shè) P (cos a sin ) .A0= (2, 0), AP = (cosa2, sin ). 則臚？沖=2 (coso

5、+2) b c,則 a+b c”是假命題的一組 整數(shù) a, b, c 的值依次為 -1,- 2，- 3 . 【解答】解：設(shè) a, b, c 是任意實(shí)數(shù).若 abc,則 a+bc”是假命題， 則若 abc,則 a+by 則” y4 ，即 4vyvxv8, 2X4X 即 x 的最大值為 7, y 的最大值為 6,即女學(xué)生人數(shù)的最大值為 6. 設(shè)男學(xué)生女學(xué)生分別為 x, y 人，教師人數(shù)為 z, y 則 yz，即 zv yv xv 2z 2 玄垃 即 z 最小為 3 才能滿足條件，此時(shí) x 最小為 5, y 最小為 4, 即該小組人數(shù)的最小值為12,故答案為：6, 12 三、解答題 15. 已知等差

6、數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足 ai=bi=1, a2+a4=10, b2b4=a5. (I)求an的通項(xiàng)公式；(U)求和：bi+b3+b5+b2n-i. 【分析】(I)利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求 an的通項(xiàng)公式; (U)利用已知條件求出公比，然后求解數(shù)列的和即可. 【解答】解：(I)等差數(shù)列an, a1=1 , a2+a4=10 ,可得：1+d+1+3d=10，解得 d=2 ,所以an的通項(xiàng)公式：an=1+ (n - 1 )x 2=2n-1. (U)由(I)可得 a5=ai+4d=9 , 等比數(shù)列bn滿足 b1=1 , b2b4=9.可得 b3=3 ,或-3 (舍去)(等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)

7、符 號(hào)相同).72=3 , b2n-1是等比數(shù)列,公比為 3,首項(xiàng)為 1. b1+b3+b5+b2n - 1- U7 16. 已知函數(shù) f (x) = cos (2x- ) - 2sinxcosx 0 (I) 求 f (x)的最小正周期； (II) 求證：當(dāng) x - 【解答】 解：(I) f (x) = :cos (2x- ) - 2si nxcosx 3 = ；(丄 co2x+ sin2x)- sin2x, = cos2x+ sin2x, =sin (2x+ T= =n, f (x)的最小正周期為 u ，-彳/ 勺， )w 1 , f ( x)- y 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及周期

8、的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì), 屬于基礎(chǔ)題 17. 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè) 400 名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分 層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了 100 名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成 7 組: 20 , 30), 時(shí)，f (x)- ), 冗() x - 4 - sin (2x+ 2 3 30 , 40) , -80 , 90,并整理得到如下頻率分布直方圖： (I)從總體的 400 名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于 70 的概率； (H)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的學(xué)生有 5 人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50) 內(nèi)的人數(shù)； (川)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于 70,且樣

9、本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男女 生人數(shù)相等試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例. 【分析】(I)根據(jù)頻率=組距X高，可得分?jǐn)?shù)小于 70 的概率為：1 - (0.04+0.02) x 10； (U)先計(jì)算樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的頻率，進(jìn)而計(jì)算分?jǐn)?shù)在區(qū)間40, 50)內(nèi)的頻 率，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40，50)內(nèi)的人數(shù)； (川)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于 70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男女 生人數(shù)相等進(jìn)而得到答案. 解：(I)由頻率分布直方圖知：分?jǐn)?shù)小于 70 的頻率為：1- (0.04+0.02) X 10=0.4 故從總體的 400 名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于 70 的概率為

10、0.4； (U)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的學(xué)生有 5 人，故樣本中分?jǐn)?shù)小于 40 的頻率為： 0.05， 則分?jǐn)?shù)在區(qū)間40,50)內(nèi)的頻率為：1 - (0.04+0.02+0.02+0.01) X 10- 0.05=0.05, 估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間40, 50)內(nèi)的人數(shù)為 400X 0.05=20 人， (川)樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的頻率為：0.6, 由于樣本中分?jǐn)?shù)不小于 70 的男女生人數(shù)相等. 故分?jǐn)?shù)不小于 70 的男生的頻率為：0.3, 由樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于 70, 故男生的頻率為：0.6,即女生的頻率為：0.4, 即總體中男生和女生人數(shù)的比例約為： 3： 2. 【點(diǎn)評(píng)】本

11、題考查的知識(shí)點(diǎn)是頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，難度不大，屬 于基礎(chǔ)題. 18 .如圖，在三棱錐 P- ABC 中，PA 丄 AB, PAI BC, AB 丄 BC, PA=AB=BC=2 D 為線段 AC 的中點(diǎn)，E 為線段 PC 上一點(diǎn). (1)求證：PAL BD; (2)求證：平面 BDEX 平面 PAC 【分析】(1)運(yùn)用線面垂直的判定定理可得 PAX 平面 ABC,再由性質(zhì)定理即可 得證； (2) 要證平面 BDE1 平面 PAC，可證 BD 丄平面 PAC，由(1)運(yùn)用面面垂直的判 定定理可得平面 PACL平面 ABC,再由等腰三角形的性質(zhì)可得 BDLAC,運(yùn)用面 面垂直的性質(zhì)定理

12、，即可得證； (3) 由線面平行的性質(zhì)定理可得 PA/ DE,運(yùn)用中位線定理，可得 DE 的長(zhǎng)，以 及DE 丄平面 ABC,求得三角形 BCD 的面積，運(yùn)用三棱錐的體積公式計(jì)算即可得 到所求值. 【解答】解：(1)證明：由 PAL AB, PAL BC, AB?平面 ABC, BC?平面 ABC,且 ABA BC=B 可得 PA!平面 ABC, 由 BD?平面 ABC,可得 PAL BD; (2) 證明：由 AB=BC, D 為線段 AC 的中點(diǎn),可得 BDLAC, 由 PA!平面 ABC, PA?平面 PAC 可得平面 PACL平面 ABC, 又平面 ABCA平面ABC=AC BD?平面 A

13、BC,且 BDL AC,即有 BD 丄平面 PAC BD?平面 BDE 可得平面 BDE!平面 PAC (3) PA/ 平面 BDE PA?平面 PAC 且平面 PACT平面 BDE=DE 可得 PA/ DE, 又 D 為 AC 的中點(diǎn)，可得 E 為 PC 的中點(diǎn)，且 DE= PA=1, 2 由 PA!平面 ABC,可得 DEX 平面 ABC 可得 SBDC= SAB(= X X 2X 2=1 , 2 2 2 則三棱錐 E- BCD 的體積為丄 DE?SBDC= X 1 X 1=. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間的線線、線面和面面的位置關(guān)系的判斷， 主要是平行和垂 直的關(guān)系，注意運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理以

14、及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理， 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，同時(shí)考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象 能力和推理能力，屬于中檔題. 19.已知橢圓 C 的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為 A (- 2, 0)，B (2，0)，焦點(diǎn)在 x 軸上，離 心率為2-. (I)求橢圓 C 的方程； (n)點(diǎn) D 為 x 軸上一點(diǎn)，過 D 作 x 軸的垂線交橢圓 C 于不同的兩點(diǎn)M， N,過 D 作 AM 的垂線交 BN 于點(diǎn) E.求證： BDE 與 BDN 的面積之比為 4: 5. 【分析】(I)由題意設(shè)橢圓方程， 由 a=2,根據(jù)橢圓的離心率公式， 即可求得 c, 則 b2=a2- c2=1，即可求得橢圓的方程；

15、(n)由題意分別求得 DE 和 BN 的斜率及方程，聯(lián)立即可求得 E 點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) 三角形的相似關(guān)系，即可求得 一=，因此可得 BDE 與厶 BDN 的面積之比 I BN | 5 為 4: 5. 2 2 【解答】解：(I)由橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)橢圓方程： (a b 0), a b 則 a=2, e=，則 c= :, b2=a2- c2=1,.橢圓 C 的方程亠 廠; (U)證明：設(shè) D (Xo, 0), (- 2 0, 2 由 M , N 在橢圓上，則,i、,則 xo2=4 - 4yo2, 則直線 AM 的斜率 kAM= 7=，直線 DE 的斜率 kDE=- 切+2 x0+2 y0 直線

16、 DE 的方程：y=-切2 (x-xo), 直線 BN 的斜率 kBN=，直線 BN 的方程 y= = (x-2), 切-2 呵-2 Xn+2 尸一2仗-“) % ( ” ，解得：* I 過 E 做 EH 丄 x 軸， BH3A BDN, 則丨 EH 丨= , 5 口 =1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)， 直線與橢圓的位置關(guān)系，直 線的斜率公式，相似三角形的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題. 則 2O.已知函數(shù) f (x) =e cosx- x. (1) 求曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程； (2) 求函數(shù) f (x)在區(qū)間0,丄-上的最大值和最小值.

17、【分析】(1)求出 f(x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得 到所求方程； (2)求出 f (x)的導(dǎo)數(shù)，再令 g (x) =f( x),求出 g (x)的導(dǎo)數(shù)，可得 g (x) 在區(qū)間0,二的單調(diào)性，即可得到 f (x)的單調(diào)性，進(jìn)而得到 f (x)的最值. 2 【解答】解：(1)函數(shù) f (x) =excosx- x 的導(dǎo)數(shù)為 f(x) =ex (cosx- sinx)- 1， 可得曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0，f (0)處的切線斜率為 k=e0 (cosO-sin0)-仁 0, 切點(diǎn)為(0, ecos0- 0),即為(0, 1), 曲線 y=f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程為 y=1; (2)函數(shù) f (x) =excosx-x 的導(dǎo)數(shù)為 f(x) =ex (cosx- sinx) - 1, 令 g (x) =ex (cosx- sinx)- 1, 貝 U g (x)的導(dǎo)數(shù)為 g(x)